Regras para esboço do Lugar das
Raízes
1. O número de ramos do lugar das raízes
é igual ao número de pólos do sistema;
2. O lugar das raízes é simétrico em
relação ao eixo real;
3. O eixo real que está a esquerda de um
número ímpar de pólos e/ou zeros finitos
de malha aberta faz parte do lugar das
raízes;
Regras para esboço do Lugar das
Raízes
4. O lugar das raízes se inicia nos pólos
finitos de malha aberta e termina nos
zeros finitos e infinitos de malha aberta;
5. Os ramos do lugar das raízes que vão
para infinito tendem a retas assintóticas
fornecidas pelas equações:
a 
a 
  pólos finitos   zeros finitos
Núm. pólos finitos 
Num. zeros finitos
2k  1
Núm. pólos finitos 
Num. zeros finitos
onde k  0,  1,  2 ,.....
Refinando o Lugar das Raízes
1. Pontos de saída e pontos de chegada no
eixo real: m 1
n
1
  z    p
1
i
1
i
2. Cruzamento com o eixo imaginário é
feito através do critério de Routh
obtendo o valor do ganho que esta na
transição de estabilidade;
3. Ângulo de partida e chegada em pólos
ou zeros complexos conjugados
Pontos de Chegada e de Saída
do eixo real
• Exemplo: Esboce o lugar das raízes para
k s  3s  5
KG s H s  
s  1s  2
m
n
1
1
1   z  1   p
i
i
Pontos de Saída e Chegada
1
1
1
1



  3   5  1   2
  5   3   2  1

  3  5   1  2
11 2  26  61  0
 1  1,45 ;  2  3,82
Exemplo de
lugar das raízes
mostrando os
pontos de saída
(–1) e entrada
(2) no eixo real
Plano s
 2  3,82
 1  1,45
Exemplo de
lugar das raízes
mostrando os
pontos de
cruzamento
com o eixo
imaginário
  2,355 j
K  0,375
Plano s
 2  3,82
 1  1,45
  2,355 j
Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas
Funções de Transferência mostradas abaixo e
observe que uma pequena mudança na posição
do zero altera consideravelmente a forma do
Lugar das Raízes:
K s  1,5
G1 s  
ss  0,5s  10
K s  1
G2 s  
ss  0,5s  10
 3,641 0,85 j
G1 s   2  15  31,5  7,5  
  0,272
3
2
 4,5738

3
2
G2 s   2  13,5  21  5    1,8864
 0,2897

Pólos e zeros a
malha aberta e
cálculos de:
a. ângulo de
saída;
b. ângulo de
chegada
Exemplo: calcule
os ângulos de
partida para o
sistema
-1.0000 +1.0000i
-1.0000 - 1.0000i
Lugar das raízes
para o sistema da
Fig. 8.16
mostrando ângulo
de saída
3 1 2 4  180
o
1  108,4 o
 2  90o
 3  45o
 4  26,565o
Determinando e calibrando os pontos exatos no
lugar das raízes para cruzamento com linha de
%UP=20%
K s  3
Gs  
ss  1s  2s  4
Raio
Ângulo
0,45
(graus)
0,5
0,747
1,0
1,5
2,0
–158,4
–180,0
–199,9
–230,4
–251,5
1,5
Plano s
 0,333 0,655j
,5