Método do Lugar das Raízes
Conceito de Lugar das Raízes;
O Procedimento do Lugar das Raízes;
Projeto de Parâmetros pelo Método do Lugar das Raízes;
Sensibilidade e Lugar das Raízes;
Controlador de Três Termos (PID);
Exemplo de Projeto;
Lugar das Raízes usando MATLAB.
Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
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Procedimento para Lugar das Raízes
As raízes da EC de um sistema fornecem uma visão do conjunto valiosa com
referencia à resposta do sistema
12 Passos para o esboço do Lugar da Raízes:
Passo 1: Escrever a EC como
1 + F ( s) = 0
Reorganizar a equação de modo que o parâmetro K apareça como um fator
multiplicativo sob a forma
1 + KP ( s ) = 0
Passo 2: Fatorar P(s) e escrever na forma de pólos e zeros como segue:
M
1+ K
∏ (s + z )
i =1
n
i
∏ (s + p )
j =1
=0
j
Passo 3: Localizar os pólos e zeros no plano s com síbolos selecionados.
Geralmente, há interesse em determinar o lugar das raízes à medida que K varia
n
M
no intervalo
0≥K ≤∞
∏ (s + p ) + K ∏ (s + z ) = 0
j =1
j
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i =1
i
2
n
M
∏ (s + p ) + K ∏ (s + z ) = 0
j =1
j
i =1
i
Nota-se que o lugar das raízes da EC 1+KP(s)=0 inicia-se nos pólos de P(s) e
termina nos zeros de P(s) à medida que K aumenta a partir de zero até
infinito.
Numero de zeros nos infinito é igual a n-M.
Passo 4: Localizar os segmentos do eixo real que são lugares das raízes.
O lugar das raízes no eixo real esta sempre em uma seção do eixo real à
esquerda de um numero impar de pólos e zeros.
Exemplo de Sistema de 2a. Ordem:
Um sistema de malha única com retroação possui a seguinte EC (passo 1):
1

K  s + 1
2

1 + GH ( s ) = 1 + 
1

s  s + 1
4

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Passo 2: FT GH(s) reescrita em termos de pólos e zeros:
Determinar o Lugar das raízes para o ganho
0≥K ≤∞
2K ( s + 2)
1+
=0
s ( s + 4)
(Passo 3)
Passo 4: Determinar o Lugar da raízes sobre o eixo real.
O Critério do ângulo é satisfeito no eixo real entre os valores 0 e -2.
Por exemplo, o Ganho K na raiz s=s1=-1 é
2 K s1 + 2
=1
s1 s1 + 4
ou
−1 −1 + 4 3
K=
=
2 −1 + 2
2
-6
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-1
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Método do Lugar das Raízes
Passo 5: Determinar o número de lugares separados, LS. Como os lugares se
iniciam nos pólos e terminam nos zeros, o numero de lugares separados é igual
ao número de pólos.
Passo 6: O lugar das raízes deve ser simétrico em relação ao eixo real,
porque as raízes complexas devem aparecer aos pares de raízes complexas
conjugadas.
Passo 7: Os lugares avançam em direção aos zeros no infinito segundo
assíntotas centradas em A com ângulos A.
Quando o numero de zeros finitos de P(s), nz, é menor do que o número de pólos,
np, de um numero N=np-nz, então N seções de lugares devem finalizar em zeros no
infinito.
Estas retas assíntotas estão centradas em um ponto no eixonreal
M
σA =
∑ polos de P(s) − ∑ zeros de P(s)
n p − nz
∑ (− p ) − ∑ (− z )
=
j =1
j
i =1
i
n p − nz
O ângulo das assíntotas com relação ao eixo real
φA =
( 2q + 1) 1800
n p − nz
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onde q = 0,1, 2,K ,(n p − nz − 1),
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Exemplo: Sistema de 4a. Ordem
Um sistema de controle com retroação, de malha única, tem uma EC
K ( s + 1)
1 + GH ( s) = 1 +
s ( s + 2)( s + 4) 2
Deseja-se esboçar o lugar das raízes a fim de determinar o efeito do ganho K.
n
σA =
φA =
( 2q + 1) 1800
n p − nz
M
∑ (− p ) − ∑ (− z )
j =1
j
i =1
n p − nz
i
=
(−2) + 2( −4) − ( −1) −9
=
= −3
4 −1
3
onde q = 0,1, 2,K , (n p − nz − 1),
φ A = +600 , q = 0
φ A = 1800 , q = 1
φ A = 3000 , q = 2
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Passo 8: Determinar o ponto no qual o lugar cruza o eixo imaginário (se isto
ocorrer).
O ponto no qual o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário é calculado
usando-se o critério de Routh-Hurwitz.
Passo 9: Determinar o ponto de saída do eixo real (se existir).
A saída do lugar das raízes do eixo real ocorre onde a variação líquida no
ângulo causada por um pequeno deslocamento é zero.
O lugar deixa o eixo real onde existem raízes múltiplas.
A analiticamente encontra-se o máximo de K=p(s), derivando-se o polinômio, e
igualando a zero. p ( s ) = K
dK dp ( s )
=
=0
ds
ds
Exemplo, sendo
G ( s) =
K
K
→ 1 + G(s) = 1 +
( s + 2)( s + 4)
( s + 2)( s + 4)
K = p ( s ) = −( s + 2)( s + 4) = −( s 2 + 6 s + 8)
dp( s )
= −(2s + 6) = 0 a
ds
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s = −3
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Passo 10: Determinar o ângulo de saída do lugar a partir de um pólo e o ângulo
de chegada do lugar em um zero, usando o critério de fase
O ângulo de saída do lugar a partir de um pólo é a diferença entre o ângulo
líquido devido a todos os outros pólos e zeros e o ângulo do critério
±180º(2q+1).
É particularmente de interesse para pólos complexos (e zeros).
Exemplo: seja a FT a malha aberta de 3a. ordem
F ( s) = G( s) H (s) =
K
( s + p3 )( s 2 + 2ζωn s + ωn2 )
As localizações do pólo e os ângulos dos vetores no pólo complexo p1
Os ângulos num ponto de teste s1, a uma
distancia infinitesimal de p1, deve
satisfazer o critério de ângulo.
θ 2 = 900 e θ1 + θ 2 + θ3 = θ1 + 900 + θ3 = 1800
θ1 = 900 − θ3
θ 2 − θ3 = γ → θ1 = 900 + γ
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Método do Lugar das Raízes
Passo 11: Determinar que satisfazem o critério de fase na raiz sx, x=1,2,...np.
O critério de fase é
P ( s ) = 1800 ± q3600 ,
onde q = 1, 2,K
Passo 12: Determinar o valor do parâmetro Kx em uma raiz especifica sx usando o
requisito de magnitude.
O requisito de magnitude se sx é
n
Kx =
∏ s+ p
j =1
M
∏ s+z
i =1
j
i
s = sx
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12 Passos
Regra
1. Escrever a EC de modo que K seja um multiplicador
1 + KP( s ) = 0
M
2. Fatorar P(s) em termos dos np pólos e nz zeros
1+ K
∏ (s + z )
i
=0
i =1
n
∏ (s + p )
j
j =1
3. Assinalar os pólos e zeros s malha aberta de F(s) no plano s com
símbolos selecionado
x = pólos, O = zeros, = raízes da EC.
O lugar começa no pólo e termina no zero.
4. Assinalar os segmentos do eixo real que são lugares das raízes.
O lugar se situa a esquerda de um no. ímpar de
pólos e zeros.
5. Determinar o no. de lugares separados, LS
LS=np, quando nz np; nz =no. de zeros finitos, np=
no. de pólos finitos
6. Os lugar das raízes são simétricos em relação ao eixo real horizontal
7. Os lugares perseguem em direção aos zeros no infinito ao longo de
assintotas centralizadas em A e com ângulo de A
σA =
n
M
j =1
i =1
∑ ( − p j ) − ∑ ( − zi )
φA =
n p − nz
( 2q + 1) 1800
n p − nz
8. Determinar o ponto em que o lugar cruza o eixo imaginário, usando o
critério de Routh-Hurwitz.
9. Determinar o ponto de saída sobre o eixo real (se existir)
10. Determinar o ângulo de partida e ângulo de chegada, usando o
critério do ângulo de fase.
11. Determinar as localizações das raízes que satisfazem o critério do
ângulo de fase
a)Fazer K=p(s); b) Obter dp(s)/ds=0;
c)Determinar as raízes (b) ou usar o método gráfico
para obter o máximo de p(s).
P ( s ) = 1800 ± q3600 ,
em s = p j ou zi
P ( s ) = 1800 ± q3600 , na localização da raiz sx
12. Determinar o valor do parâmetro Kx na raíz especifica sx.
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n
Kx =
∏ s+ p
j =1
M
∏ s+ z
j
10
i
i =1
s = sx
Exemplo: Sistema de 4a. Ordem
1. Deseja-se traçar o lugar das raízes para a EC de um sistema à medida que K
varia para K>0, no caso em que
K
1+
2. Determinando os pólos, tem-se
s + 12 s + 64 s + 128s
1+
4
3
2
=0
K
=0
s ( s + 4)( s + 4 + j 4)( s + 4 − j 4)
À medida que K varia de zero a infinito. O sistema não possui zeros finitos.
3. Os pólos são localizados sobre o plano s.
4. Existe um segmento do lugar das raízes sobre o eixo
real entre s=0 e s=-4
5. Como o no. de pólos np é igual a 4, tem-se LS=4.
6. Os lugares das raízes são simétricos com respeito ao
eixo real.
7. Os ângulos das assíntotas são ( 2q + 1)
φA =
1800 , q = 0,1, 2,3
4
φ A = +450 ,1350 , 2250 ,3150
O centro das assíntotas é
σA =
−4 − 4 − 4
= −3
4
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8. A EC é reescrita como
s ( s + 4)( s 2 + 8s + 32) + K = s 4 + 12 s 3 + 64 s + 128s + K = 0
O arranjo de Routh será
s 4 1 64 K
s 3 12 128
s 2 b1 K
s1 c1
s0 K
b1 =
12(64) − 128
= 53,33
12
c1 =
53,33(128) − 12 K
53,33
O valor limite de ganho para garantir estabilidade é K=568,89.
E as raízes das equação auxiliar são
53,33s 2 + 568,89 = 53,33( s 2 + 10,67) = 53,33( s + j 3, 266)( s − j 3, 266)
Ponto onde cruza o eixo imaginário
9. O ponto de saída é estimado pelo cálculo
K = p ( s ) = −( s + 4)( s + 4 + j 4)( s + 4 − j 4)
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8. A EC é resescrita como
s ( s + 4)( s 2 + 8s + 32) + K = s 4 + 12 s 3 + 64 s + 128s + K = 0
s 4 1 64 K
s 3 12 128
s 2 b1 K
O arranjo de Routh será
b1 =
12(64) − 128
= 53,33
12
53,33(128) − 12 K
c1 =
53,33
1
s c1
s0 K
9. O ponto de saída é estimado pelo calculo
K = p ( s ) = − s ( s + 4)( s + 4 + j 4)( s + 4 − j 4)
Entre s=-4 e s=0.
O Maximo de p(s)
aproximada s=1,5.
é
encontrado
na
p(s)
0
51
68,5 80
85
75
0
s
-4,0
-3,0
-2,5
-1,5
-1,0
0
-2,0
posição
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10. O ângulo de saída no pólo complexo p1 pode ser estimado utilizando-se o critério
de ângulo, como se segue:
0
0
0
θ1 + 90 + 90 + θ3 = 180
Onde 3 é o ângulo subtendido por um vetor que sai do pólo p3.
Os ângulos de s=-4 e s=-4-j4 são ambos iguais a 900. Como 3=135, então
θ1 = −1350 = +2250
11. Determinar as localizações das raízes que satisfaçam o critério de fase, na Fig.
12. Determine o valor de K em s=s1.
O ganho K pode ser obtido graficamente
(=0,707).
Os comprimentos dos vetores que ligam os polos a
malha aberta ao lugar das raízes em s1 são
calculadas e resulta um ganho em s1 de
K = s1 s1 + 4 s1 − p1 s1 − p1 = (1,9)(2,9)(3,8)(6,0) = 126
Resposta Transitória
y (t ) = 1 + c1e −σ1t sen(ω1 + t ) + c2e −σ 2t sen(ω2 + t )
y (t ) ≅ 1 + c1e −σ1t sen(ω1 + t )
Raíz Dominante
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