UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina de Controle II
Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
“Projetar usando o método do Lugar das raízes, significa redesenhar o lugar
das raízes do sistema pela adição de pólos e de zeros na função de
transferência de malha aberta do sistema, forçando o novo lugar das raízes a
passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano complexo”.
Ogata
Compensação de Sistemas
Compensação é a modificação da dinâmica de um sistema para satisfazer
determinadas especificações de desempenho.
O dispositivo que será inserido no sistema com a finalidade de satisfazer
essas especificações, é chamado de compensador.
O compensador compensa a deficiência do sistema original.
Os compensadores e controladores mais utilizados são os de Avanço e
Atraso de fase e os Controladores PID.
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Efeitos da adição de Pólos e Zeros no lugar das raízes
Efeito da adição de pólos: a adição de pólos, tem o efeito de deslocar o lugar
das raízes para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade do sistema e
fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta.
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Efeitos da adição de Pólos e Zeros no lugar das raízes
Efeito da adição de zeros: a adição de um zero tem o efeito de deslocar o
lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e
mais rápida com a acomodação da resposta.
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Amplificadores Operacionais
Também chamados abreviadamente de Amp-ops.
São utilizados para amplificar sinais em sensores de circuitos
Também são utilizados em filtros com a finalidade de compensação de
sistemas.
onde as entradas e1 e e 2 podem ser sinais cc ou ca e K é o ganho
diferencial (ganho de tensão).
O valor de K é cerca de 105 a 106 para freqüências de até 10 Hz e torna-se
aproximadamente unitário para freqüências entre 1 MHz e 50 MHz.
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Amplificadores inversores
O Ampop amplifica a diferença entre e1 e e 2 .
Como o ganho geralmente é muito alto é necessário
haver uma realimentação negativa da saída para a
entrada, afim de tornar o amplificador estável.
A equação para esse circuito será:
Como
e nesse caso
será uma valor muito pequeno, quase zero, portanto:
e
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Amplificadores não-inversores
Neste caso temos:
Como
, neste caso
temos:
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Resumindo
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Uso da impedância para obtenção de funções de transferência
Podemos considerar as impedâncias resistivas, capacitivas e indutivas nos
cálculos para facilitar a obtenção de funções de transferência.
E i s   E s 
'
E s   E o s 
'

Z1
Z2
Como E '  s   0 , temos:
E o s 
E i s 
 
Z2
Z1
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Redes de Avanço ou Atraso com Amplificadores Operacioanais
A figura mostra um circuito eletrônico com Amplificador Operacional.
Sabemos que:
E s 
Z
Fazendo...
  2
E i s 
e que,
E o s 
E s 
 
Z1
Essa rede será uma Rede de Avanço de fase se
ou
portanto,
Ficamos
Essa rede será uma Rede de Atraso de fase
se com:
Com a adição do circuito inversor teremos:
Rede de Avanço de Fase
Rede de Avanço ou Atraso
Rede de Atraso de Fase
Inversor de sinal
R4
R3
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Compensadores de Avanço de fase
Uma das formas de se construir um Compensador de avanço de fase é usar
amplificadores operacionais para a construção de redes de avanço de
fase
 =2 rad/s
conforme exposto.
n
60o
Considere o sistema mostrado
A função de transferência de malha fechada é
Vê-se que a função de transferência de malha aberta é:
Os pólos de Malha fechada estão situados em:
Deseja-se modificar os pólos de malha fechada de modo que n
haja alteração no valor do coeficiente de amortecimento.
= 4 rad/s, sem que
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Portanto, temos que redimensionar o lugar das raízes do sistema da figura anterior para
que n seja
4 rad/s, e que  seja igual a 0,5.
1º Passo: Determinar a localização do pólo de malha fechada desejado. Com base nas
especificações acima, o pólo é:
Percebe-se que para esse pólo, um simples ajuste do ganho não resolverá o problema.
Por essa razão, vamos inserir um compensador de avanço
De fase no ramo direto.
x
2º Passo: Determinar a soma dos ângulos junto a um dos
pólos de malha fechada na posição desejada, com os
pólos e zeros de malha aberta do sistema original e em
seguida encontrar o ângulo necessário a ser acrescentado
Para que a soma total dê  180 o  2 k  1 .
x
Projeto de Sistemas de Controle pelo
jω
Método do Lugar das Raízes
 1  arctag
3, 46
 60
2
180
Pela condição de ângulo
temos:
0  90  120
o
o
2 k
o
  180
 210
o
 30   180
o
o
 60
o
 120
o
2 k
 1
x
2 k
90o
-2 - 1
 1
o
j3
j2
o
60o
  180
 210
x
Mas queremos o ângulo no
sentido anti horário, então:
o
x
120o
σ
- j1
+2
- j2
 1
x
- j3
Vemos que pela condição de ângulo, para que o gráfico do lugar das raízes passe o ponto desejado a
função de transferência do compensador tem que ser tal que acrescente 30º no lugar das raízes
original.
Agora devemos determinar localização dos pólos e zeros do compensador de avanço de fase. Há
muitas possibilidades de fazer isso.
Uma possibilidade bem simples seria fazer a função de transferência do Compensador igual a
Isso nos daria os 30º necessários para deslocar o lugar das raízes de tal forma que atenda aos
requisitos de desempenho desejados.
s2
s4
Projeto de Sistemas de Controle pelo
Método do Lugar das Raízes
Método geral para encontrar a função de transferência do
compensador
1 Passo: Trace uma reta
x horizontal passando pelo ponto do pólo desejado.
2 Passo: Trace outra reta conectando o pólo desejado a origem.
3 Passo: Agora trace uma bissetriz entre essas duas retas.
4 Passo: Desenhe por fim duas retas que façam os ângulos de   / 2 com a bissetriz.
As intersecções dessas retas com o
eixo real negativo fornecem os pontos
jω
x
Como o sistema é de avanço de fase, então:
Z= - 2,9 e P= - 5,4
x
15o
O sistema compensado ficará assim:
x
- 5,4
j3
j2
15o
x
- 2,9-2 - 1
x
120o
σ
- j1
- j2
x
- j3
+2
Análise de Resposta em
Frequencia
Análise de Resposta em Frequencia
Resposta em Frequencia
O termo Resposta em Freqüência representa a resposta de um sistema no regime
estacionário quando aplicamos uma entrada senoidal.
As informações obtidas aqui serão diferentes das informações obtidas com a analise
do lugar das raízes.
Os métodos de resposta em freqüência foram desenvolvidos por NYQUIST, BODE,
NICHOLS e muitos outros.
Pela Análise da Resposta em Freqüência, a resposta em regime estacionário de uma
determinada função de transferência de um sistema, pode ser obtida diretamente a partir
da sua função de transferência senoidal.
G  s   G  j 
Análise de Resposta em Frequencia
Y s   G s  X s 
Y s   G s  X

s 
2
2
 G s 
X
 s  j   s  j  
Aplicando Frações parciais
Y s  
a
 s  j 

b
 s  j 
Então:
a  G s 
b  G s 
X
s 
2
2
s 
 
2
 s  j 

s   j
X  G  j 
2j
s   j
X
2
 s  j 
X  G  j 
2j
X  G  j 
Y s  
2j
 s  j 
X  G  j 

2j
 s  j 
Fazendo:
G  j   G  j   e
j
G  j   G  j   e
 j
Análise de Resposta em Frequencia
X  G  j   e
Y s  
y t  
X  G  j   e
j
2j
X  G  j   e
s  j 
j
e
j t

X  G  j   e
2j
y t   X  G  j  
Aplicando transformada inversa teremos:
2j

 s  j 
2j
e
j  t  

 j
e
 j  t  
2j
y t   X  G  j    sen  t   

 j
e
 j t