Técnica do Lugar das Raízes – Root Locus
a. Sistema a
malha
fechada;
b. função de
transferência
equivalente
Entrada
Função de
Transferência
Sinal
do canal direto
atuante
Função de
Transferência
da retroação
Saída
Pólos e Zeros da F.T.M.F. em função
dos pólos e zeros da F.T.M.A
N G s 
N H s 
G s  
; H s  
DG s 
DH s 
N G s 
K
DG s 
KN G s DH s 
T s  

N G s  N H s  DG s DH s   KN G s N H s 
1 K
DG s  DH s 
Os Zeros de T(s) são os zeros de G(s) e os pólos de
H(s), mas os pólos de T(s) não podem ser
determinados diretamente, eles precisam ser
calculados e mais do que isto, dependem do valor de K
Exemplo
• Calcule os pólos e zeros para a F.T.M.F.
quando G(s) e H(s) são dadas por:

s  1
Gs  
ss  2
;

s  3
H s  
s  4
Os Zeros valem: -1 e -4
Os pólos serão dados pelas raízes do polinômio abaixo que
dependem de K.
s 3  6  K s 2  8  K s  3K
m
F s  
 s  z 
i
i 1
n
 s  p 
produtodos fatores com plexosdo num erador
produtodos fatores com plexosdo denomin ador

j
j 1
m = número de zeros ; n = número de pólos
Como F(s) é um número complexo ele pode ser representado através
da forma polar ou seja, por um MÓDULO e uma FASE :
M

m
M 
 com prim ento dos vetores correspondentes aos zeros

 s  z 
i
i 1
n
 com prim ento dos vetores correspondentes aos pólos  s  p 
i
j 1
   angulosdos zeros 

 s  zi 
m
i 1
n
-

j 1
 angulodos pólos
s  p 
j
FUNDAMENTO GERAL DO LUGAR
DAS RAÍZES – PÓLOS DE MALHA
FECHADA
KG s 
T s  
1  KG s H s 
Raízes do denominador, qualquer valor de " s"
tal que 1  KG s H s   0
ou KG s H s   1  KG s H s   1 e
fase de KG s H s   2n  1180 n  0,  1,  2,....
o
Veja exemplo para o sistema de câmara apresentado anteriormente para
por exemplo o pólo em -1 que acontecerá para um ganho k=9
Exemplo
K s  2 
Seja G s  
s s  3s  5
Verifique se o pont o 3,3  3 j é uma raíz de malhafechada.
Em caso afirmat ivopara que valorde K ist o irá ocorrer?
Quais são as out rasraízes do sist ema para est e ganho?