Análise do Lugar das Raízes
6.1. Introdução
6.2. Gráfico do Lugar das Raízes
6.3. Regras Gerais para a Construção do Lugar das Raízes
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição –
Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
1
Introdução (1)
Aula 1

Característica básica da resposta
transitória de um sistema de malha
fechada: LOCALIZAÇÃO DOS PÓLOS de
malha fechada

Se o ganho for variável, os pólos
dependerá do ganho escolhido

O projetista deve saber como os pólos
de malha fechada se movem no plano s
na medida que o ganho de malha varia
Introdução (2)
Aula 1

Os pólos de malha fechada são as raízes
da equação característica.

A determinação das raízes de uma
equação de grau superior a 3 pode ser
trabalhosa e pode não resolver, pois a
medida que o ganho varia, as raízes
mudam e os cálculos devem ser refeitos.

Se somente o ajuste do ganho não for
suficiente, será necessário a introdução
de um compensador (Controle II).
Introdução (3)

Aula 1
Método do Lugar das raízes (ou root locus)
permite que as raízes da equação característica
sejam representadas graficamente para todos
os valores de um parâmetro do sistema
Gráfico do Lugar das Raízes
Condições de Ângulo e de Módulo
Aula 1
Gráfico do Lugar das Raízes
Condições de Ângulo e de Módulo

Um lugar dos pontos no plano complexo
que satisfaz somente a condição angular
é o lugar das raízes.

As raízes da equação característica que
correspondem a um dado valor de ganho
podem ser determinadas pela condição
de módulo.

Aula 1
O LUGAR DAS RAÍZES É O LUGAR DOS
PÓLOS
DE MALHA
FECHADA QUANDO
O
muitos
casos
G(s)H(s)
envolve
GANHO K VARIA DE ZERO A INFINITO.
Em
um
parâmetro de ganho K e a equação
característica pode ser escrita como:
Gráfico do Lugar das Raízes
Condições de Ângulo e de Módulo
Aula 1
Gráfico do Lugar das Raízes
Condições de Ângulo e de Módulo
Aula 1
Gráfico do Lugar das Raízes
Condições de Ângulo e de Módulo
Aula 1

Pelo fato dos pólos e zeros complexos
conjugados de malha aberta, caso
existam, situarem-se sempre
simetricamente em relação ao eixo real,
o lugar das raízes será sempre também
simétrico ao eixo real.

Portanto, será necessário apenas
construir a metade superior do lugar das
raízes e desenha a imagem espelhada da
metade superior na metade inferior do
plano s.
Exemplo 6.1. (0)
1
2
Aula 1
Exemplo 6.1. (1)
Aula 1
Exemplo 6.1. (2)
Aula 1
Exemplo 6.1. (3)
Os pólos de malha aberta deste sistema são: s = 0, s = -1, s = -2
1
2
Aula 1
Exemplo 6.1. (4)
3
4
O LUGAR DAS RAÍZES EXISTIRÁ SOBRE O
EIXO REAL NEGATIVO ENTRE 0 E -1 E ENTRE
-2 E -∞.
Aula 1
Exemplo 6.1. (5)
Aula 1
Exemplo 6.1. (6)
Aula 1
Exemplo 6.1. (7)
Aula 1
Exemplo 6.1. (8)
Aula 1
Exemplo 6.1. (9)
Aula 1
Exemplo 6.1. (10)
Aula 1
Exemplo 6.1. (11)
Aula 1
Exemplo 6.1. (12)
Aula 1
Exemplo 6.1. (13)
Aula 1
Exemplo 6.1. (14)
Aula 1
Exemplo 6.1. (15)
Aula 1
Exemplo 6.1. (16)
Aula 1
Exemplo 6.1. (17)
Aula 1
Exemplo 6.1. (17)
Aula 1
Exemplo 6.2. (1)
Aula 1
Exemplo 6.2. (2)
Aula 1
Exemplo 6.2. (3)
Aula 1
Exemplo 6.2. (3)
Aula 1
Exemplo 6.2. (4)
Aula 1
Exemplo 6.4. (5)
Aula 1
Exemplo 6.4. (6)
Aula 1
Resumo das Regras Gerais Para a
Construção do Lugar das Raízes
Aula 1

Obter a equação característica:

Modificar a equação de modo que o parâmetro
de interesse apareça como fator de
multiplicação (No caso de realimentação
positiva, a condição de ângulo deve ser
modificada)
Resumo de Regras (1)
Aula 1

Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos
pólos de malha aberta e terminam nos zeros
(zeros finitos ou infinitos).

O lugar das raízes são simétricos em relação ao
eixo real

Possui tantos ramos quantas forem as raízes da
equação característica. O número de ramos é
igual ao número de pólos.
Resumo de Regras (2)

Os trechos do lugar das raízes no eixo real são
determinados pelos pólos e zeros que se
encontram sobre ele.

Aula 1
Os pólos e zeros complexos conjugados de malha
aberta não têm nenhum efeito.
Resumo de Regras (3)
Aula 1
Resumo de Regras (4)
Aula 1
Resumo de Regras (5)
Aula 1
Resumo de Regras (6)
Aula 1
Resumo de Regras (7)
Aula 1
Resumo de Regras (8)
Aula 1
Resumo de Regras (9)
Aula 1

Uso do critério de estabilidade de Routh

fazendo s=jω na equação característica e
igualando a zero tanto a parte imaginária
quanto a parte real. Resolver para ω e K.

o valor de ω corresponde as freqüências que
cruzam o eixo imaginário e os valores de K
determinam o respectivo ganho no ponto de
cruzamento.
Resumo de Regras (10)

Aula 1
Determinar os lugares das raízes
numa ampla região nas
proximidades do eixo jω e da
origem.
Resumo de Regras (11)
Aula 1

Um ponto particular sobre cada um dos
ramos do lugar das raízes será um pólo
de malha fechada, se o valor de K nesse
ponto satisfizer a condição de módulo.

Se necessário, o lugar das raízes pode
ser graduado em função de K.

O valor de K correspondente a um ponto
s no lugar das raízes pode ser obtido
como (condição de módulo):
Configurações Típicas de Pólos e Zeros e
o Lugar das Raízes Correspondente (1)
Aula 1
Configurações Típicas de Pólos e Zeros
e o Lugar das Raízes Correspondente (2)
Aula 1