Análise de Sistemas
Dinâmicos
Método do Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
1
• Definições
jw
Plano s
SPE
SPD
R
1
2
Raízes de s(s+10) são 0 e -10
2
Fazendo K=0 no denominador teremos s(s+10) cujas raízes serão 0 e -10.
As raízes da função do numerador são os zeros da função e as raízes do denominador
São os pólos da função .
A localização de um pólo no plano s é representada simbolicamente por um (x) e a localização de um zero por um ( o) .
Lugar das Raízes
• Exemplo
• Dada a função :
2s  2s  4
2(s  2)(s  1)
F ( s)  3

2
s  5s  8s  6 (s  3)(s  1  j )(s  1  j )
j
então os zeros são : 2 e -1
-1+j
x
os polos são : -3, -1+j e -1-j
2
2
R
x
-3
o
-1
-1-j
x
o
Lugar das Raízes
Estabilidade e pólos
• Se todos os pólos estão no SPE do diagrama de pólos e
zeros ,o sistema é estável
• Se apenas um pólo está no SPD, o sistema é instável.
• Se um ou mais pólos estiverem no eixo vertical do
diagrama de pólos e zeros ,isto é tem valor real igual a
zero e nenhum pólo no SPD,o sistema é dito
criticamente estável.
• Somente os pólos da FT são importantes quando se esta
considerando o problema da estabilidade ,os valores dos
zeros são irrelevantes.
Lugar das Raízes
 O lugar das raízes é uma representação gráfica no
Plano S da posição e movimentação dos pólos em
malha fechada do sistema, a medida que um parâmetro
do sistema é variado.
 Conhecendo a posição dos pólos em malha fechada,
pode-se avaliar qual será o desempenho do sistema de
controle.
 É um método eficaz para análise e projeto de sistemas
de controle de primeira, segunda e ordem superior.
 Normalmente o gráfico do lugar das raízes é construído
considerando-se a variação do ganho do sistema desde
zero até infinito.
 Porém também pode-se avaliar a influência da variação
de outro parâmetro na resposta do sistema.
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
• Portanto, embora o Lugar das Raízes
represente todas as possíveis posições dos
pólos em malha fechada, o Lugar das Raízes é
construído a partir da FTMA.
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Propriedades
Propriedades
Propriedades
Propriedades
Propriedades
Propriedades
Propriedades
Propriedades
Seqüência de construção
1. Marcar os pólos e os zeros de G(s).
2. Marcar o lugar das raízes no eixo real.
3. Em cada seção do lugar das raízes no eixo
real,marcar o sentido de deslocamento dos
pólos,quando K aumenta.
4. Traçar as assíntotas .
5. Traçar as seções dos ramos fora do eixo real
e,em cada um o sentido do deslocamento dos
pólos,
6. Se necessário marcar os pontos de
convergência e divergência dos ramos no eixo
real.
Efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das raízes
Efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das raízes