UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina de Controle II
Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva
Análise do Lugar das Raízes
 A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada,
depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada.
 É importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se
movem no plano s, a medida que o ganho de malha varia.
 Limitações e dificuldades da análise dos pólos através da solução da equação
característica:
1. Equações características de grau superior a 3, são muito trabalhosas requerendo
o uso de métodos computacionais pra a solução.
2. É uma análise estática, pois, se o ganho variar, os cálculos deverão ser refeitos.
 O método do Lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam
representadas graficamente para todos os valores do ganho k.
Análise do Lugar das Raízes
 O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores
que os pólos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano
de coordenadas complexas (portanto traçaremos o gráfico sobre um plano complexo)
quando variarmos o ganho k.
Considere o sistema abaixo:
Análise do Lugar das Raízes
Diagrama dos pólos
Lugar das Raízes
Análise do Lugar das Raízes
Propriedades Importantes
Considere o seguinte sistema básico como exemplo:
1. Condições de ângulo e módulo
1  KG(s) H (s)  0
KG(s) H (s)  1
KG(s)H (s) KG(s)H (s)  1 j0
KG(s) H (s)  1
Condição de Módulo
(1)
KG(s) H (s)  (2k  1)180o , onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Condição de ângulo
A equação (1) estabelece que se um valor de ‘s’ for substituído na função KG(s) H (s)  1 obtém-se um
número complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 180o, então este valor de ‘s’
será um pólo do sistema para um valor particular de k.
Mostrar que cada caso do 1o exemplo conduz para KG(s) H (s)  1 .
Análise do Lugar das Raízes
Propriedades Importantes
Por exemplo se KG ( s) H ( s), for dado por: KG (s) H (s) 
k ( s  z1 )
( s  p1 )(s  p2 )(s  p3 )(s  p4 )
Os ângulos dos vetores no plano complexo se originam nos pólos e zeros e vão até um ponto ‘s’ medidos no
sentido anti-horário.
Portanto o ângulo de KG ( s) H ( s), será: KG(s) H (s)  1  1  2  3  4
e o Módulo de KG ( s) H ( s), será: KG ( s) H ( s) 
KB1
A1 A2 A3 A4
Análise do Lugar das Raízes
Propriedades Importantes
2. Definição de ramo:
Ramo é o caminho percorrido pelo pólo quando variamos o ganho k. (observar na figura do quadro os
dois ramos criados pela variação do valor de k).
O número de Ramos será sempre igual ao número de pólos do sistema.
Análise do Lugar das Raízes
Propriedades Importantes
3. Análise dos pólos e zeros no infinito de uma função de transferência.
Toda função de ‘s’ possuirá um número igual de pólos e de zeros, se for levado em conta os pólos e zeros
infinitos.
Por exemplo, a Função de Transferência KG ( s) H ( s) 
K
s( s  1)(s  2)
tem 3 pólos finitos e nenhum zero finito,
mas se analisarmos o comportamento desta função no infinito veremos que:
Se a função tender ao infinito, quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais pólos no
infinito.
Se a função tender a zero quando ‘s’ tender ao infinito, então a função terá um ou mais zeros no infinito.
No caso acima, Fazendo ‘s’ tender ao infinito, a função se tornará KG ( s) H ( s) 
K
K

sss s
Cada ‘s’ do denominador faz com que a função se torne nula quando ‘s’ tende ao infinito, portanto esta
função possui 3 zeros no infinito, como era de se esperar.
Análise do Lugar das Raízes
Propriedades Importantes
4. Simetria
“O lugar geométrico das Raízes é simétrico em relação ao eixo real.”
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Vamos estipular 7 passos para traçarmos completamente o gráfico que representa
o Lugar geométrico das raízes de uma dada equação característica.
Passo 1: Determinar o número de ramos.
“O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de pólos de
malha fechada.”
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 2: Determinar os segmentos sobre o eixo real.
Neste caso utiliza-se a propriedade de ângulo. Como regra geral, assuma que:
“No eixo real, o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de
pólos e/ou raízes finitos sobre o eixo real.”
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 3: Determinar os pontos de partida e de término.
“O lugar geométrico das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) e
termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).”
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 4: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito.
“O Lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar das raízes
tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção
sobre o eixo real  a , e o ângulo  a , da seguinte forma:
a
pólos finitos   zeros finitos


# pólos finitos  # zeros finitos
(2k  1)180o
a 
# pólos finitos # zeros finitos
onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Nota-se que ainda ficam faltando alguns detalhes no gráfico:
a) Qual o ponto e o ângulo de partida no eixo real?
b) Se fosse o caso, qual o ponto e o ângulo de chegada no eixo real?
c) Se houvesse pólos e zeros complexos, quais seriam os ângulos de Partida (no caso
de pólos) e os ângulos de chegada (no caso de zeros)?
d) Qual o valor no eixo imaginário que o lugar das raízes toca?
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 5: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real.
O ponto onde o lugar das raízes deixa o eixo real é chamado de ponto de partida.
O ponto onde o lugar das raízes retorna ao eixo real é chamado de ponto de chegada
“Nesses pontos os ramos do lugar das raízes formam um ângulo de 180o/n com o eixo
real, onde n é o número de pólos de malha fechada chegando ou saindo de um ponto de
chegada ou de partida no eixo real.”
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Exemplo:
Nesse caso os ângulos de partida e chegada, serão de 90º.
Os pontos de partida e de chegada são encontrados resolvendo-se a equação:
m
n
1
1

1   z 1   p
i
i
Os valores de  a , após analisados serão os pontos de partida e/ou chegada no eixo real.
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Façamos um exemplo para o caso da figura acima:
 O sistema tem 2 pólos, -1 e -2. E possui 2 zeros, 3 e 5. substituindo fica:
1
1
1
1



  3   5  1   2
11 2  26  61  0
  1,45, e 3,82
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 6: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos.
Para encontrarmos o ângulo de partida de um pólo complexo, primeiramente
pegamos um ponto de teste, bem próximo do pólo que desejamos encontrar o ângulo
de partida.
Depois sabemos que pela condição de ângulo, a soma dos ângulos formados pelos
zeros, menos a soma dos ângulos formados pelos pólos do sistema em estudo deve ser
igual a (2k+1)180o.
Análise do Lugar das Raízes
Representação do Gráfico do Lugar das Raízes
Passo 7: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
Para se determinar o ponto de interseção no eixo imaginário pode-se utilizar o critério
de Routh-Hurwitz da seguinte forma:
a) escreve-se a matriz de Routh normalmente.
b) Encontra-se o valor do Ganho K, fazendo a linha s1 igual a zero.
c) Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário é então determinado com a
resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 .
Fazer um exemplo no Quadro.
Análise do Lugar das Raízes
Configurações Típicas de pólos e zeros e o lugar das raízes correspondentes
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Para cada lugar das raízes mostrado na figura abaixo, diga se o esboço pode ou não
caracterizar o lugar geométrico das raízes. Caso o esboço não possa representar o lugar
geométrico das raízes, explique o porquê. Forneça todas as justificativas.
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Esboce (sem detalhamento) a forma geral do lugar geométrico das raízes para cada
diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado nas figuras abaixo:
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Esboce o Lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária
mostrado abaixo, cheque o ângulo de partida dos pólos complexos.
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Para o diagrama de pólos e zeros em malha aberta mostrado na figura abaixo, esboce o
lugar geométrico das raízes e determine o ponto de chegada.
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Esboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e
determine os pontos de entrada e saída.
Análise do Lugar das Raízes
Recordando....
Os 7 passos para desenharmos perfeitamente o gráfico do lugar das raízes
são:
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar os pontos de partida e de término
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real
6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos
7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
jω
j1
x
σ
-3
-2
-1
1
- j1
x
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
z1  2
z 2  3
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
m
n
1
1

1   z 1   p
i
i
Quem são os pólos e os zeros?
p1  1  j1
p2  1  j1
jω
j1
x
σ
-3
-2
-1
1
- j1
x
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
1
1
1
1



  2   3  1 j  1 j
Usando esses valores, temos:
  3    2  1 j   1 j

  2  3
 2  2  2
2  5
2  2

 2  5  6  2  2  2
 3  5 2  10  2  0
Donde se tira que:

z1  2
z 2  3
p1  1  j1
p2  1  j1
0
 2,4
 2,3
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no
infinito
o
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real
jω
j1
x
σ
- 3 -2,3 - 2
-1
1
- j1
x

180
 90o
n
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos
1  2  90   x  18,43o  14,03o  90   x
1
 18,43o
3
1
2  arctag  14,03o
4
1  arctag
 x  122,46o
jω
j1
ϕ2
- 3 -2,3 - 2
x
1
ϕ1
4- 1
θx
σ
3
- j1
1
x
≈90o
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Com
 x  122,46o
jω
122,46o
j1
x
σ
- 3 -2,3 - 2
-1
1
- j1
x
Por Simetria
122,46o
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
z1  2 p1  1  j1
Com os pólos e os zeros
pode-se terminar a FT.
z2  3 p2  1  j1
s  2s  3
G s   2
adicionando o ganho K e resolvendo a FT de Malha
s  2s  2
fechada, encontramos a seguinte equação característica:
1  K s 2  5K  2s  6K  2  0
Aplicando Routh, temos:
s2
1
s
s0
1  K 
5K  2
6K  2
6K  2
0
5K  2  0
K  2 / 5  0,2
1  K s 2  6 K  2  0
1  0,2s 2  6  0,2  2  0
s 2  4,4 / 1,2  3,66
s   j1,91
Análise do Lugar das Raízes
Voltando ao gráfico...
Com
s   j1,91
jω
j1,91
122,46o
j1
x
σ
- 3 -2,3 - 2
-1
1
- j1
-j1,91
x
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Esboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e
determine os pontos de entrada e saída.
z1  1
z 2  2
p1  5
p2  6
jω
j1
x
x
-6
-5
σ
-4
-3
-2
-1
- j1
Análise do Lugar das Raízes
1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
z1  1
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
m
n
1
1

Quem são os pólos e os zeros?
1   z 1   p
i
i
1
1
1
1



Usando esses valores, temos:
 1   2   5   6
jω
  2   1   6    5

  1  2   5  6
2  3
2  11

x
x
 -2 6 3-5,4
 -25  2 -11
4  30 - 3
8  56  68  0
2
z 2  2
p1  5
p2  6
j1
σ
-2 -1,56 - 1
Donde se tira que:
- j1

 1,56
 5,43
Análise do Lugar das Raízes
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no
infinito
o
5o
Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real 
6o e 7o Passos: Não se aplicam
jω
j1
x
x
- 6 -5,4 - 5
σ
-4
-3
-2 -1,56 - 1
- j1
180
 90o
n
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Dado o sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência do
canal direto.
G s  
K s  2 
s 2  4 s  13
Faça o seguinte:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K
nesse ponto.
c. Determine o ponto de entrada.
d. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Função de Transferência
K s  2 
G s   2
s  4 s  13
Quantidade de Pólos
Quantidade de Ramos
s  2  j3
s  2  j3
2
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Pólos
s  2  j3
s  2  j3
Zeros
z  2
jω
j3
j2
j1
x
σ
+1 +2
-2 - 1
- j1
- j2
- j3
x
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
Sabemos que temos um zero no infinito, temos que saber agora para
que lado ele se encontra:
a 
 pólos
finitos   zeros finitos
# pólos finitos  # zeros finitos
2k  1180o

2  j 3  2  j 3   2
6
2 1
180o
a 

 180o
# pólos finitos  # zeros finitos
1
jω
j3
j2
j1
x
σ
+1 +2
-2 - 1
- j1
- j2
- j3
x
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
a. Esboce o lugar geométrico das raízes.
Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
jω
j3
j2
j1
x
σ
+1 +2
-2 - 1
- j1
- j2
- j3
x
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K
nesse ponto.
Para encontrar esse ponto, basta usarmos Routh na FT de Malha Fechada.
Função de Transferência
Malha Aberta
G s  
s2
K s  2 
s 2  4 s  13
1
s K  4
s 0 13  2 K
1
Função de Transferência Malha Fechada
com realimentação unitária
13  2 K
0
G s  
K s  2 
s 2  K  4s  13  2 K
s 2  13  2 K  0
K  4 s  0
K  4  0
K 4
j4,5
jω
j3
j2
j1
x
s 2  13  2  4  0
s  21
s   j 4,58
2
σ
+1 +2
-2 - 1
- j1
- j2
- j3
x
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
c. Determine o ponto de entrada.
Para determinar o ponto de entrada, basta usar a fórmula já conhecida.
m
n
1
1

1   z 1   p
i
i
1
1
1


  2   2  j3   2  j3
jω
j4,5
1
  2  j3    2  j3

  2
 2  4  9

x
σ
1
2  4
 2
  2   4  9
 2  4  17  0
?
j3
j2
j1
- 6,58
NMI
 6,58
+1 +2
-2 - 1
- j1
- j2
- j3
-j4,5
x
Análise do Lugar das Raízes
Solução:
d. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.
Fazer no quadro.