Generalizando um sistema de Segunda
Ordem

Gs   2
2
s  2n s  n
2
n
• Frequência Natural do Sistema
n
• Relação de Amortecimento do Sistema

Respostas de segunda ordem em função da
relação de amortecimento
Parâmetros de Desempenho de
Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Subida: tempo para a resposta
variar de 10% até 90% do seu valor final;
• Tempo de Estabilização: tempo necessário
para que a resposta ao degrau alcance 98% do
valor de estado estacionário;
Parâmetros de Desempenho de
Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Pico: tempo necessário para que a
resposta alcance seu valor máximo;
• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível
Percentual): O quanto o valor da resposta (em
Percentual) ultrapassa no tempo de pico o
valor de estado estacionário da resposta.
Especificações da
resposta de
segunda ordem
subamortecida
máx
1,02
0,98
0,9 cfinal
0,1
0,1 cfinal
%UP  e

Tp 
 

2

1







X 100 %
 ln%UP / 100
  ln %UP / 100
2
2

n 1  
2
Ts 
4
n
Ultrapassagem percentual,%UP
Ultrapassagem
percentual em
função da relação
de amortecimento
0,1
0,2
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Relação de amortecimento, 
0,8
0,9
Respostas de
segunda ordem
subamortecidas
com os valores
da relação de
amortecimento
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
Exemplo
• Encontre Tp , %UP e Ts para uma entrada
degrau para o sistema abaixo
100
G s   2
s  15s  100
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO
DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO
PLANO “s”
 d  FREQUÊNCIANATURAL
AMORTECIDA
plano s
 d  FREQUÊNCIAEXPONENCIAL
AMORTECIDA
cos 
n
n 2  n
1 2

2

 d  FREQUÊNCIADE OSCILAÇÃOAMORTECIDA
 d  FREQUÊNCIAEXPONENCIAL AMORTECIDA


Tp 

 n 1   2 d
Ts 
4
n

4
d
Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e
ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2
cos 
n
n 
2

 n 1  
2

2

%UP1
%UP2


Tp 

 n 1   2 d
Ts 
4
n

4
d
plano s
Respostas ao degrau de
sistemas de segunda
ordem subamortecidos
à medida que os pólos
se movem:
a. com parte real
constante;
b. com parte imaginária
constante;
c. com relação de
amortecimento
constante.
A mesma envoltória
plano s
Movimentação
do pólo
A mesma freqüência
plano s
Movimentação
do pólo
A mesma ultrapassagem
plano s
Movimentação
do pólo
Exemplo:
Encontre
 , n , Tp ,%UP, Ts
plano s
%UP  e

Tp 
 

2

1







x100 %
 ln%UP / 100
  ln %UP / 100
2
2

n 1  
2
Ts 
4
n
Resposta de Sistemas com três pólos
A Bs  n   Cd
D
C s   

2
2
s
s  n   d s  r
ct   A  ent B cosd t  Csend t   Dert
Influência de Terceiro Pólo em um
sistema de Segunda Ordem
• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo
menor sua influência na resposta
• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o
pólo menor será o resíduo associado a este
pólo (ver exemplo a seguir)
Influência do Resíduo do Terceiro Pólo
2
2 t


C s  

c
t

....

0
,
5
e
s s 2  2 s  2 ( s  2)
2
5 t


C s  

c
t

....

0
,
024
e
s s 2  2 s  2 ( s  5)
2
10 t


C s  

c
t

....

0
,
0024
e
s s 2  2 s  2 ( s  10)
e 2  0,135 , e 5  0,0067 , e 10  0,000045
Validade de aproximação de Segunda
Ordem
• Como os pólos adicionais devem estar o mais
à esquerda do eixo imaginário,
consideraremos que um sistema com três (ou
mais) pólos pode ser aproximado por um
Sistema de Segunda Ordem se os pólos
adicionais estiverem a esquerda dos pólos
dominantes, pelo menos cinco vezes mais
distantes.
EXEMPLO
•
•
•
24,542
C1 s  
2
s s  4 s  24,542
245,42
C2 s  
2
s s  4 s  24,542s  10
73,626
C3 s  
s s 2  4 s  24,542s  3
-2.0000 + 4.5323i
-2.0000 - 4.5323i
1,4
1,2
Resposta normalizada
Respostas ao
degrau dos
sistemas T1(s),
T2(s) e T3(s)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,5
1,0
1,5
Tempo (s)
2,0
2,5
3,0
Resposta de sistema com Zeros
• Influenciam no valor das constantes na
expansão em frações parciais;
• Se comporta como um fator de ganho;
• Quanto mais a esquerda do eixo imaginário
menor sua influência na forma da resposta;
Cs s  a   sC s   aCs 
Pólos em :  1  j 2,828
1,6
1,4
c (t) normalizada
Efeito de
adicionar um
zero a um
sistema com
dois pólos
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
zero em
zero em
zero em
sem zeros
0,2
2,0
4,0
Tempo (s)
6,0
Resposta ao
degrau de um
sistema de fase
não-mínima
(Zero do lado
direito do
plano “s”)
1,5
1,0
0,5
1,0
–0,5
2,0
3,0
Tempo (s)
4,0
5,0
6,0
Cancelamento de Pólos e Zeros
26,25s  4 
C1 s  
s s  5s  6s  3,5
26,25s  4 
C2 s  
s s  5s  6s  4,01
1 3,5
3,5
1
C1 s   


s s  5 s  6 s  3,5
0,87 5,3
4,4
0,033
C2 s  



s
s  5 s  6 s  4,01
Exercícios
• Capítulo 4:
– Exercícios de avaliação números: 4.1, 4.3, 4.4, 4.5,
4.6
– Exemplos: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.8
– Problemas: 2, 4, 8, 18, 19, 20, 23, 24, 28, 29 e 30