DERIVADAS E DIFERENCIAIS II
Nice Maria Americano da Costa
DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Seja
y  f (x) x
n
Pela definição da derivada temos que calcular
y  f (x) x
2
(
x


x
)

x (
2
x

x


x
)

f
(
x
)

l
i
m 
l
i
m 
l
i
m
2
x

l
i
m

x

2
x
x

0 
x

0
x

0
x

0
x

x
22
2
y  f (x)  x
3
(
x


x
)

x(
3
x

x

3
x

x
)
2
2

f
(
x
)

l
i
m 
l
i
m

l
i
m
3
x

l
i
m
3
x

x

3
x
x

0 

0

0 x

0
xx

x x
3
3
2
2
y  f (x) x
n
n

1
n

2
(
x


x
)

x (
n
x

x

n
x

.
.
.
.)

x n

1

f
(
x
)

l
i
m

l
i
m

n
x
x

0

0

x x

x
nn
3
n
DERIVADA DO SENO
Seja
y f (x)senx
Pela definição da derivada temos
que
Sabemos da trigonometria que diferença entre dois senos podem ser
expressos como
x


x

x x


x

x
2(
s
e
n
)
c
o
s
(
)
2
2

fx
(
)l

i
m
x

0

x

x
s
e
n
2
x


x
f
()
x
l
i
m 2
l
i
m
c
o
s
(
)

1
c
o
s
x
x

0 

0
xx
2
2
DERIVADA DO CO-SENO
Seja
yf (x)cosx
Pela definição da derivada temos
que
c
o
s
(
x


x
)

c
o
s
x
f
(
x
)

l
i
m
x

0

x
Sabemos da trigonometria que diferença entre dois co-senos podem ser
expressos como
p

q p

q
c
o
s
p

c
o
s
q


2
s
e
n
( )
s
e
n
( )
2
2
x


x

x x


x

x

2(
s
e
n
)
s
e
n
(
)
2
2

fx
(
)l

i
m
x

0

x

x

s
e
n
2
x


x
f
(
x
)

l
i
m 2
l
i
m
s
e
n
(
)


1
s
e
n
x
x

0

0

x x
2
2
DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES
ELEMENTARES
f (x)  x
n 1
f ( x )  n x
n
f ( x )  c o s x
f (x)  sen x
f ( x )   s e n x
f (x)  cos x
f (x)  e
x
2
2
f ( x )  
f (x)  cot x
f ( x )  ln x
 sec x
cos x
f ( x )  tg x
f ( x )  lo g
1
f ( x ) 
a
1
sen x
x
f ( x ) 
1
x
f ( x ) 
1
x
x
f ( x )  e
  co sec x
2
2
lo g a e
PROPRIEDADES
Teorema. A derivada do produto de uma constante por uma função de x é
igual ao produto da constante pela derivada da função; i. e.
f (x) ag(x)
df (x)
a
dg(x)
dx
dx
Demonstração usando a definição de derivada, temos
df (x)
dx
df (x)
dx
df (x)
dx
df (x)
dx
 lim
f (x x)  f (x)
x
x0
 lim
a[g(x x)  g(x)]
x
x0
 lima lim
x0
 a lim
x0
[g(x x)  g(x)]
x
x0
[g(x x)  g(x)]
x
a

dg
dx
Teorema. A derivada da soma de um número finito de funções é a soma
das derivas das funções; i. e.
f
(
x
)

g
(
x
)

h
(
x
)

.
.
.
.

u
(
x
)
d
f
(
x
) d
g
(
x
) d
h
(
x
)
d
u
(
x
)



.
.
.
.

d
x
d
x
d
x
d
x
Demonstração usando a definição de derivada, temos
d
f()
x
f(
x


x
) f()
x

l
im
x

0
d
x 

x
d
f()
x
[
g
(x


x
) h
(x


x
) u
(
x


x
)
]
[
g
()
x
h
()
x
u
()
x]

l
im
x

0
d
x 

x
d
f()
x
[
g
(x


x
) g
()
x]
[(
hx


x
) h
()
x]
[(
ux


x
) u
()
x]

l
im

l
im

l
im
x

0

x

0

x

0
d
x 

x

x

x
d
f()
x d
g
()
x d
h
()
x d
u
()
x



d
x
d
x
d
x
d
x
Teorema. A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 1a. função
pela derivada da 2a. função mais o produto da 2a função pela derivada da 1a. função
f()
x
u
()()
xvx
d
f()
x
d
v
()
x
d
u
()
x

u
()
x

v
d
x
d
x
d
x
Demonstração usando a definição de derivada, temos
y  f (x)  uv
 y  f ( x   x )  f ( x )  u ( x   x )v ( x   x )  u ( x )v ( x )
m as
u(x  x)  u  u
e
v(x  x)  v  v
e n ta o
 y  (u   u )(v   v )  u v  u v  u  v  v  u   v  u  u v
 y  u  v  v u   v u
y

x
u  v  v u   v u
y
li m
x 0
x
y
li m
x 0
x
x
 li m
u  v  v u   v u
x
x 0
 li m
uv
x
x 0
 li m
v u
x 0
x
 li m  v li m
x 0
x 0
u
x
m as u e v nao dependem de x
li m
y
x 0
dy
dx
x
 u
 u li m
x 0
dv
dx
 v
v
x
du
dx
 v li m
x 0
u
x
 li m  v li m
x 0
x 0
u
x
Teorema. A derivada quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo denominador é igual ao
quadrado da função dada no denominador e cujo numerador é igual ao produto da função no denominador
pela derivada da função no numerador menos o produto da unção no numerador pela derivada da função
no denominador
d
u d
v
v 
u
u
()
x d
fx
() d
x
fx
()

;
 x2 d
Demonstração:
u
v
()
x
d
x
v
y  f (x) 
v
temos
u(x  x)
y  f (x  x)  f (x) 
v(x  x)

u(x)
v(x)
m as
u(x  x)  u  u
v(x  x)  v  v
e
e n ta o
(u   u )
y 
u

(v   v )
v u
y
lim
x 0
x
y
lim
x 0
v (v   v )
v u


v u  u v
v (v   v )
uv
x
x
 x
v (v   v )
v (v   v )

x
v (u   u )  u (v   v )
v
v u  u v
y

x

uv
x
x 
v (v   v )
 lim
x 0
v lim
u
 u lim
lim
v u
 lim
uv
x 0  x
x
lim v ( v   v )
x 0
x 0
v
v u
u
x 0  x
x
 lim
 lim  v lim

x

0

x

0

x

0
v lim v ( v   v )
x
x
x 0

x 0
m as u e v nao dependem de  x e qdo  x  0,  v  0
dy
dx
v

du
 u
dx
dv
dx
v
2
DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS
Teorema. Seja y=f(x)=F(u), sendo u=  (x). Se u(x) tem uma derivada, u’(x)= x’ e y=F(u)
tem uma derivada Fu’, a derivada f’(x)= Fu’ (u) x’ (x), Ou seja, a derivada de f(x) em
relação a x é igual ao produto de derivada de F em relação a u pela derivada de u em
relação a x.







y

f
(
x
)

F
u
,u

(
x
),

F
u
e
(
x
)
u
x

dF
du




y

f
(
x
)

F

ux
du
dx
Demonstração: para o acréscimo x , temos os acréscimos correspondentes
às funções


u


(
x


x
)


(
x
),

y

F
(
u


u
)
u

(
x
),
y

F
(
u
)
Além disso, quando x 0, u 0 e y 0. Por hipótese, temos também
y dy
lim 
x0 
u du
Pelo teorema do limite, podemos escrever,
 

y dy
  com

0
,

x

0

udu
y 
dy
u  u
du
y
x

lim
x  0
dy  u
du  x
y
x

 lim
dy
x  0
du
u
x
lim
x  0
u
x
 lim  lim
x  0
mas
lim
x  0
lim
x  0
u
x
y
x

d
dx

dy
dx
  x

e lim   0
dy d 
du dx
x  0
 Fu x
x  0
u
x
Exemplos
ysen
x
2
y (x1)
yF(u), comusenx
y  F(u), com u  x1
yu
y u
dy dF
du

2u cos
x2sen
xcos
x
dx dudx
3
3
dy dFdu
2
2
3u 13(x1)

dx du dx
2
ysen
(x )
2
x
yF(u), comux
y e
ysen
u
y  F(u), com u  x
2
y e
u
dy dFdu
2

cos(
u)2x2xcos(
x)
dx dudx
dy
dx

dF du
du dx
x
 e (1)  e
u
y (lnx)
3
y F(u), com ulnx
y u
3
dy dFdu
21
21

3u
3(lnx)
dx dudx
x
x
y
sen
[(ln
x
)]
3
y
F
(
v
), com
v
v
(
u
)
ue
u
(x
)
ln
x
3
y
sen
v
dydF
dv
du
21
3
21


cos
v
3
u 
cos[(ln
x
)]
3
(ln
x
)
dxdv
du
dx
x
x
DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA
Uma função implícita, y=f(x), é aquela que satisfaz a uma equação da forma F(x,y)=0.
Exemplos:
1
yx seny
0
4
x  y r  0
2
2
2
y r x
2
y r x
2
2
2
y yx 0
6
2
Note que nem sempre é possível resolver a equação para y, como no primeiro caso.
6
2
Podemos, entretanto calcular a derivada usando a regra
y da
 yfunção
 x composta.
0
x  y r 0
2
2
2
yx
1
4
2 x  2 yy   0
y  
x
y
seny  0
1y  1 
1
cos y  y   0
4
1
y 
1
1
4
cos y
5
6 y y 1y  2x  0
y 
2x
6 y 1
5
DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS
Toda funções crescente, ou decrescente, admite uma função inversa. I. e., dado y=f(x)
é possível determinar a função que expressa x em função de y, ou x= (y).
y

f(
x
)

e 


x


y  f (x) x
x
3
x


(
y
)

ln
y0

y


x(y) 3 y
Teorema: Se a função y=f(x0 admite uma inversa, x=(y), cuja derivada ’(y), em um
ponto dado é diferente de zero, então a função y=f(x) possui no ponto x
correspondente uma derivada f’(x) igual ao inverso da ’(y), I.e:
x(y)
yf(x)
f(x)
1
(y)
Demonstração: Se por hipótese:
yf(x
)
x

(y
)
derivando a segunda expressão em relação a x, usando a regra da cadeia,temos:
x   ( y)
1  ( y) yx  ( y)
df
dx
 y 
1
( y
df
dx
DERIVADAS DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICASINVERSAS
y=arc cosx
y=arc senx
y  arccos
y  arcsenx
x  cos y
x  seny
y  
1
y 
mas
mas
sen
2
y  1  sen
2
y 1 x
y 
1 x
1
cos y

2
y  1  cos
2
y 1 x
2
seny
cos y 
1
seny
cos y
cos
x

1 x
2
2
y  
1
1 x
1
seny
2
 
1
1 x
2
2
y=arc tgx
y=arc cotx
y  a r c tg x
y  arc cot x
x  tg y
x  cot y
y 
1
2
cos ec y
2
sec y
m as
m as
co sec y  1  cot y
2
1
1  tg y
2

2
2
s e c y  1  tg y
2
y 
1
y  
1
1 x
y  
2
1
1  cot y
2
 
1
1 x
2
FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA
Função Paramétrica
Sejam duas funções da variável t (o tempo, por exemplo), x=(t)e y=(t). Se x e y
representam as coordenadas de um ponto no plano, a cada instante t, teremos um
ponto no plano. Quando t varia no intervalo, T1<t<T2, o ponto (x,y) descreve uma curva
no plano. As funções dadas são chamadas de equação paramétrica desta curva. E t é o
parâmetro.
x   (t )
y
y   (t )
y(t2)
(x(t),y(t))
y(t1)
x(t1)
x(t2)
x
Lançamento horizontal
x  v ht
y
 t 
vh
y  y0  g
vh
y0
y  y0 
(x(t),y(t))
x  vh
x
x
g
2
t
2
2
(
x
)
2
vh
2 g ( y  y0)
DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA
Dadas as formas paramétricas, x=(t) e y=(t), de uma curva, isto é, as equações
paramétricas da função y de x, é possível calcular a derivada dessa função, yx’.
Se a função x=(t) admite uma inversa, isto é, podemos expressar t como uma
função de x, t=(x), então a função y=(t), pode ser expressa como
y (x)
Temos então uma função composta. Podemos aplicar a regra da derivada:
y   (t )
y x   tt x 
t   x
d d 
dt dx
mas , pelo teorma da funçao inversa
d

dx
1
 t
entao
y x   tt x 
d d 
dt dx
  t
1
 t


t
 t
Lançamento horizontal
x  v ht
 t 
vh
y  y0  g
y  y0 
y x  
x
g
2
gx
vh
2
x  vht
t 
vh
2
t
y  y0  g
2
(
x
vh
)
2
x
t
2
2
dy
 gt
 gx
d
t
y x 


2
dx
vh
vh
dt