Cálculo 1
1.4 - Limites de Expressões Indeterminadas
Elano Diniz
Cálculo 1 - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0).
Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais

1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e
denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de
tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador
quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a).
Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
x 2  4 2 2  4 0 Indeterminação
lim

 
x 2 x  2
22 0
x2  4
( x  2)( x  2)
lim
 lim
 lim ( x  2)  2  2  4
x 2 x  2
x 2
x 2
x2
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais

2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na
substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O
limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.
1
1
1
lim

  Indeterminação
x2 x  2
22 0
1
1
lim
 ....e...... lim
 .
x2 x  2
x2 x  2
Portanto o limite não existe
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais

3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma
função racional, os limites destas funções, quando x tende
para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior
ordem, veja os exemplos abaixo.
1o exemplo (função racional):
2 x3  x 2  5x  3
2x3
lim
 lim
 lim 2 x 2  2.() 2  
x 
x  x
x 
x2
2o exemplo (função polinomial):
lim(5 x 2  2 x  1)  lim(5 x 2 )  5.() 2  
x 
x 
Cálculo 1 - Limites

Expressões indeterminadas
Considere o seguinte limite:
x  27
lim
x 3 x  3
3
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
x 3  27 33  27 0
lim


x 3 x  3
33
0
Cálculo 1 - Limites

Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x
f(x)
2,7
24,39
2,8
25,24
2,9
26,11
3,0
27
3,1
27,91
3,2
28,84
3,3
29,79
L
Cálculo 1 - Limites

Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando
nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
x  27
lim
 27
x 3 x  3
3

Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar
a este valor?
Cálculo 1 - Limites

Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!

Neste exemplo,
x3  27  ( x  3)(x 2  3x  9)
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
( x  3)(x 2  3x  9)
f ( x) 
 x 2  3x  9
( x  3)
Basta então calcular:
lim( x 2  3x  9)  27
x 3
Cálculo 1 - Limites

Produtos Notáveis!!!

Diferença de quadrados
a 2  b2  (a  b).(a  b)
(a  b).(a  b)  a  a.b  b.a  b  a  b
2

2
2
2
Exemplos:
x 2  16  ( x  4).(x  4)
9 y 2  a 2  (3 y  a).(3 y  a)
16x2  81  (4x  9).(4x  9)  (2 x  3).(2 x  3).(4x  9)
Cálculo 1 - Limites

Trinômio quadrado perfeito
(a  b)2  (a  b).(a  b)  a 2  ab  ba  b2  a 2  2ab  b2
(a  b)2  (a  b).(a  b)  a 2  ab  ba  b2  a 2  2ab  b2

Exemplos:
a  4a  4  a  2a2  2  (a  2)2
16y 6  24y3  9  (4 y3 )2  2(4 y3 ).3  32  (4 y3  3)2
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença
de quadrados a2 - b2.
Cálculo 1 - Limites

Soma e Diferença de Cubos
a  b  (a  b).(a  ab  b )
3
3
2
2
a  b  (a  b).(a  ab  b )
3

3
2
2
Exemplos:
x3  8  ( x  2).(x2  x.2  22 )  ( x  2).(x 2  2x  4)
64a3 125  (4a)3  53  (4a  5).(16a 2  20a  25)
Cálculo 1 - Limites

Cubo perfeito
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3

Exemplos:
x3  6x 2  12x  8  x3  3x2 .2  3x.22  23  ( x  2)3
27  27a  9a 2  a3  33  3.32.a  3.3.a 2  a3  (3  a)3
Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;
Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.
Cálculo 1 - Limites

Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
1
Considere, por exemplo, a função f ( x) 
x

Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se
aproximar cada vez mais de 0.
1
lim  0
x   x
Cálculo 1 - Limites

Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não
podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de
cálculo algébrico.

Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+  ) = + 
b+(-)=-
(+  ) + (+  ) = + 
(-  ) + (-  ) = - 
(+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo  - , é dito um símbolo de indeterminação.
(+  ) . (+  ) = + 
(+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
 /  = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
Cálculo 1 - Limites

Exemplo:
Calcule o limite, se existir, de:
3x  1
lim
x   4 x  1
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto,
teria uma indeterminação do tipo


Cálculo 1 - Limites
Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o
denominador por x:
1
1
1
lim
3

lim
 
3
lim (3  ) x
x


3x  1
x  
x  30 3

x
x
lim
 lim




x   4 x  1
x  
1
1
1 40 4

4
lim (4  ) lim 4  lim  
x
 
x  
x   x
x
x
 

Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito,
o raciocínio é análogo.