RELAÇÕES E
EQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Secante
Define-se secante de um ângulo de medida x, e denota-se por
sec x, a razão:
sec x =
Exemplos
a) sec 45º =
=
=
=
b) sec
, para cos x ≠ 0.
Cossecante
Define-se cossecante de um ângulo de medida x, e denota-se por
cossec x, a razão:
cossec x =
Exemplos
a) cossec 120º =
b)
, para sen x ≠ 0
Cotangente
Define-se cotangente de um ângulo de medida x, e denota-se por
cotg x, a razão:
cotg x =
Exemplos
a) cotg 135o =
b) cotg
=
=
=
, para sen x ≠ 0
EXERCÍCIOS
1. Sabendo que cos x =
a) sen x
b) tg x
e que
c) sec x
< x < 2, calcular:
d) cossec x
e) cotg x
Resolução
a) sen2 x + cos2 x = 1  sen2 x +
 sen2 x =
b)
= 1  sen2 x = 1 –

1. Resolução
c)
d)
e)
Relações fundamentais na Trigonometria
Vimos até agora cinco relações importantes na Trigonometria:
Relações fundamentais na Trigonometria
Realizando algumas operações, podemos determinar três relações a
partir dessas:
tg2 x + 1 = sec2 x, com cos x ≠ 0
1 + cotg2 x = cossec2 x, com sen x ≠ 0
cotg x =
, com sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0
EXERCÍCIOS
2. Simplificar a expressão
.
Resolução
Aplicando as relações cotg x =
sen2 x + cos2 x = 1, temos:
Portanto:
, cossec x =
e
EXERCÍCIOS
3. Sabendo que
, calcular o valor de:
Resolução
Aplicando as relações estudadas, e considerando x ∈ QI, temos:
e
3. Resolução
Portanto:
Logo, o valor de y é:
Relações para arcos complementares
Dois arcos são complementares quando a soma de suas medidas é
.
Equações trigonométricas
a) Vamos resolver a equação sen x =
Tomando o intervalo [0, 2], os arcos cujo seno
vale
são
ou
.
Logo, no universo real, temos:
Então, o conjunto solução é:
, sendo U = ℝ.
EXERCÍCIOS
b) Agora, vamos determinar x tal que sen x = sen
Temos: sen
=
= sen
Assim, no universo real:
Então, o conjunto solução é:
, sendo U = ℝ.
EXERCÍCIOS
c) Vamos obter x tal que
No intervalo [0, 2], os arcos cujo cosseno vale
Assim, temos:
Então, o conjunto solução é:
, sendo U = ℝ.
são
ou
.
EXERCÍCIOS
d) Vamos resolver a equação
para U = ℝ.
Lembrando que cos (a) = cos (–a), temos:
Assim, no intervalo [0, 2], o arco
cosseno igual a cos
tem
.
Então, considerando o universo real:
Logo, o conjunto solução da equação é:
EXERCÍCIOS
e) Vamos resolver a equação tg 2x = 1.
Os arcos cuja tangente vale 1, considerando a primeira volta
no ciclo trigonométrico, são
e
.
Quando o conjunto universo não é mencionado,
convencionamos que U = ℝ.
Considerando então o conjunto universo real, temos:
Assim, o conjunto solução é:
EXERCÍCIOS
f) Resolver a equação sen3 x – sen x = 0.
Resolução
Colocando o fator comum sen x em evidência, temos:
sen3 x – sen x = 0 ⇒ sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0
Para um produto de dois fatores ser igual a zero, é necessário que um dos fatores
seja igual a zero.
Assim:
sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0 ⇒ sen x = 0 (I) ou
sen2 x – 1 = 0 (II)
EXERCÍCIOS
4. Resolver a equação
Resolução
Então, temos:


Logo:
, sendo 0 ≤ x < 2.
f) Resolução
De (I), vem:
sen x = 0 ⇒ x = 0 + k ∙ , k ∈ ℤ
De (II), vem:
sen2 x – 1 = 0 ⇒ sen2 x = 1 ⇒
⇒ sen x = ±1 ⇒ x =
+ k ∙ , k ∈ ℤ
Logo: S =
ou, escrevendo de outra forma,