Revisão Matemática
ANO 2009
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
Álgebra: Funções
Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma
relação de A em B é uma função se e somente
se, nesta relação, para cada x, x  A, tivermos
um único y, y  B.
A
B
A
B
A
B
A

B
Álgebra: Funções
Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma
relação de A em B é uma função se e somente
se, nesta relação, para cada x, x  A, tivermos
um único y, y  B.
B
A
Exemplo:
Considere os conjuntos
A = {x  Z | -2  x  3} e B = {y  Z | -1  y  9}
NZQR
N
Z
Q
R
reais {..., 1, ..., 3, ..., , ...}
racionais {..., -1, ..., 1/3, ...}
inteiros {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
naturais {0, 1, 2, ...}
Álgebra: Funções
Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma
relação de A em B é uma função se e somente
se, nesta relação, para cada x, x  A, tivermos
um único y, y  B.
A
B
A
B
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Exemplo:
Considere os conjuntos
A = {x  Z | -2  x  3} e B = {y  Z | -1  y  9}
-1
Associando a cada elemento de A, o seu quadrado
em B, estabelecemos uma função de A em B.
2
De outra forma podemos dizer que
y = x2
ou
f(x) = x2
0
1
3
Domínio = A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
Contradomínio = B = {-1, 0, ..., 9}
Imagem = {0, 1, 4, 9}
Álgebra: Funções
Gráfico de uma função
A = {x  Z | 2  x  5} e B = {y  Z | y  6}
f(x) = x
A = {x  R | 2  x  5} e B = {y  R | y  6}
f(x) = x
6
5
5
imagem
6
4
Y3
4
Y3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
X
4
5
6
0
1
2
3
4
X
domínio
5
6
Álgebra: Funções
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
Álgebra: Funções
f(2) = 0,84
y = f(x)
x
f(x)
f(12) = ?
interpolação
0
0
10
2,94
1
0,37
12
y
2
0,84
20
3,98
3
1,25
4
1,65
5
1,97
10
2,94
20
3,98
10.( y  2,94)  2.1,04
30
4,62
y  2,94  0,208
40
4,86
50
4,98
12 - 10
y - 2,94
20 - 10
3,98 - 2,94
y  3,148
Álgebra: Funções
Função polinomial do 1o grau
f(x) = ax + b,
a  R*, b  R
a = tan()  coeficiente angular
b = f(0)  coeficiente linear
Exemplo: f(x) = 2x - 1
y 6
5
4
3
2
 = 63,435o
1
0
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
x
-2
-3
-4
-5
-6
b = -1
tan(63,435o) = 2
Álgebra: Funções
Função polinomial do 1o grau
Exemplo: f(x) = 2x - 1
y 6
5
5
-1
5
5
4
4
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
-2
y 6
3
3
f(x) = -x + 2
y 6
4
4
-3
f(x) = -x - 1
f(x) = x - 1
y 6
a  R*, b  R
f(x) = ax + b,
-1
0
1
2
3
4
x
-3
-2
-1
-1
0
0
1
2
3
4
x
-3
-2
-1
-1
0
0
1
2
3
4
x
-3
-2
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-4
-5
-5
-6
-6
-5
-6
-5
-6
0
1
2
3
4
x
Álgebra: Funções
Função polinomial do 1o grau
Exercícios resolvidos
1. Sabendo que uma função é representada por uma reta com inclinação de 45º e que esta reta
cruza o eixo das ordenadas (y) no ponto -3, qual a equação desta função?
y = ax + b
a = tan() = tan(45º) = 1
b = f(0) = -3
y=x–3
2. Uma função é representada por uma reta e passa pelos pontos (x;y): (-1;3) e (4;-1). Qual a
equação desta função?
y
y = ax + b
3 = a(-1) + b
-a + b = 3 
Resolvendo o sistema
-1 = a(4) + b
4a + b = -1 
3
De , b = 3 + a
y = ax + b
Substituindo em , 4a + 3 + a = -1  5a = -4  a = -4/5
Substituindo em , 4/5 + b = 3  b = 3 - 4/5 = (15 – 4)/5 =411/5
-1
-1
x
y
4
11
x
5
5
Álgebra: Funções
Função polinomial do 1o grau
Exercícios resolvidos (cont.)
3. Obtenha a equação das funções (A e B) mostradas no gráfico:
Função A:
y = ax + b
a = tan(0o) = 0
b = f(0) = 3
y=3
Função B:
y = ax + b
3
3
38 3
8 9 8 1
3
 b  b = 3- 

3 3
3
3
3
a  tan( )  tan(30o ) 
y
3
1
x
3
3
y
A
8 3 


 3 ;3 


150o
B
x
?
Álgebra: Funções
Função polinomial do 1o grau
Exercícios resolvidos (cont.)
4. Determine o ponto no qual a função y = -3x + 6 intercepta o eixo das abscissas (x)?
A função intercepta o eixo das abscissas quando y = 0, então
0 = -3x + 6
3x = 6
x=2
ou seja, o ponto é (2; 0)
5. Qual é o ponto em que ocorre o cruzamento entre as funções y = 2x + 3 e y = -x + 6?
Igualando-se as funções, tem-se
2x + 3 = -x + 6
3x = 6 – 3 = 3
x=1
Substituindo na primeira função
y = 2(1) + 3 = 5
ou seja, o ponto é (1; 5)
Álgebra: Funções
f(x) = ax2 + bx + c, a  R*, b  R, c  R
Função polinomial do 2o grau (função quadrática)
5
05
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
4
-1
3
3
-2
2
y=
x2
–1
y = -x2
21
-3
-3
-2
-1
-3
-3
-2
-2
-1
-1
10
-4 0
-1
00
-5
-2 00
1
11
y = x2
2 – 2x + 1
y = 2x
2
3
22
33
Álgebra: Funções
Função polinomial do 2o grau (função quadrática)
f(x) = ax2 + bx + c, a  R*, b  R, c  R
Propriedades:
a) a função tem concavidade para cima caso a > 0 e concavidade para baixo caso a < 0
a>0
a<0
b) o vértice da parábola é dado por xv = -
b

2
e yv = onde  = b - 4ac
2a
4a
c) quando  > 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, dados por
x' =
-b - 
-b + 
e x'' =
2a
2a
 y = a (x - x ') ( x - x '' )
d) quando  = 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas apenas num ponto (xv)
x' = -
b
2a
 y = a ( x - x ')2
e) quando  < 0, então a parábola não intercepta o eixo das abscissas
Álgebra: Funções
Função polinomial do 2o grau
Exercícios resolvidos
1. Qual é a função quadrática que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-1;0) e (2;0) e
intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;-6)?
y = ax2 + bx + c
0 = a(-1)2 + b(-1) + c
0 = a(2)2 + b(2) + c
-6 = a(0)2 + b(0) + c
a–b+c=0
4a + 2b + c = 0
c = -6
a–b=6
 Resolvendo o sistema
4a + 2b = 6 
De , a = 6 + b
Substituindo em , 4(6 + b) + 2b = 6  24 + 4b + 2b = 6  6b = -18  b = -3
Substituindo em , a – (-3) = 6  a + 3 = 6  a = 3
y = 3x2 – 3x – 6
Ou, y = ax2 + bx + c = a(x + 1)(x – 2)
-6 = a(0 + 1)(0 – 2)  -2a = -6  a = 3
y = 3(x + 1)(x – 2) = 3x2 – 6x + 3x – 6
y = 3x2 – 3x – 6
Álgebra: Funções
Função polinomial do 2o grau
Exercícios resolvidos (cont.)
2. Qual o vértice e o conjunto imagem da função y = 3x2 – 7x + 1?
xv =
7
7
-b
=

2a 2.3 6
(49 - 4.3.1)
49 - 12
37
(b2 - 4ac)
===yv = 4.3
12
12
4a
Como a = 3 (> 0), então a concavidade é para cima e portanto o vértice é um ponto de mínimo
ou seja:
se x  R, então Im = {y  R | y ≥ -
37
}
12
Álgebra: Funções
Função polinomial do 2o grau
Exercícios resolvidos (cont.)
3. Esboce o gráfico da função y = x2 – x – 2.
Encontrando os zeros da função:
-b  
(  1) 
x=
=
2a
x' = -1 e x'' = 2
Determinando os vértices:
1
-b
=
2a
2

9
yv = =4a
4
xv =
1 1 8 1 3
(1)2  4.1.(2)
=

2
2
2.1
Álgebra: Funções
b  R , e b  1
*
f(x) = bg(x),
Função exponencial
y = 2x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
1 1
f (-2)  2-2 =   =
2 4
2
3
4
Álgebra: Funções
b  R , e b  1
*
f(x) = bg(x),
Função exponencial
y = 2x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
f (-1)  2-1 =
1
1
2
2
3
4
Álgebra: Funções
b  R , e b  1
*
f(x) = bg(x),
Função exponencial
y = 2x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Álgebra: Funções
b  R , e b  1
*
f(x) = bg(x),
Função exponencial
y = 2x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Álgebra: Funções
b  R , e b  1
*
f(x) = bg(x),
Função exponencial
 1x 
y 
y =2 
2
x
4,5
9
8
4
3,5
7
6
3
2,5
5
4
2
1,5
3
2
1
0,5
1
0
-3
-2
-1
0
Se b > 1, então f(x) = bx é crescente
Se 0 < b < 1, então f(x) = bx é decrescente
1
2
3
4
Álgebra: Equações Exponenciais
Propriedades de equações exponenciais
a) se ba = bc , então a = c
ex. 22 x1  8
 22 x1  23  2 x  1  3  2 x  2
 x 1
ba
 c = ba . b-c = ba-c
b) b . b = b
b
3 x -1
3
ex. x 2  81  33 x-1- x-2  34  32 x-3  34  2 x - 3  4  2 x  7  x  3,5
3
c
c)  ba  = bac
a
c
a+c
ex. 9 x. 3x-3  1 
1
x
 3x - 3  0  3 x  3  x  1
a
=
ex.
4
d) b
 32  . 3x-3  30  32 x. 3x-3  30  33x-3  30
a
b
k =k
2 x1
e)  ab  = a c .b c
c
1
3
1
= k2 x1  2 x  1 =  2 x =  1  2 x = 4
4
4
3 1
3
 x=- .
 x =4 2
8
 k
1
4
Álgebra: Equações Exponenciais
Determine x, tal que:
a) 7 x
2
- x -22
1
f)  
x
1

49
x
 1 
 

 x
b)  3x   98
g) 7x  7 x-1  8x
c) 3x  x-6  1
h) 2 x 1 -
x
2
d) 52 x - 4.5x  5
e) 3x-1  2.3x 1 - 3x 
16
27
x
7
1
x -2

2

2 x-1
2 x-2
Álgebra: Logaritmo
Dados os números reais a e b, ambos positivos com b  1, existe sempre um único número real
tal que bx = a. O expoente x recebe o nome de logaritmo de a na base b, ou
x = logba
Exemplos:
a) 23 = 8, logo log28 = 3
b) 52 = 25, logo log525 = 2
c) 2x = 5, logo log25 = x
Por definição:
logb1 = 0 pois bx = 1  bx = b0  x = 0
logbb = 1 pois bx = b  bx = b1  x = 1
logbbk = k pois bx = bk  x = k
blogba = a
log10x é chamado logaritmo decimal e é representado omitindo-se a base, ex: log 45
logex é chamado logaritmo neperiano ou natural e é representado por ln, ex: ln 45
(e = 2,71828...)
Álgebra: Logaritmo
Propriedades
a) logb  a.c = logba + logbc
ex. log 3x = log 3 + log x
a
b) log b   = log ba - log bc
c
x
ex. log   = log x - log 4
4
c) logba c = c.logba
ex. ln x 3 = 3.ln x
d) log b a =
log c a
log c b
ex. log 2 5 =
log 5
log 2
Álgebra: Logaritmo
Exercícios
a) Calcule log 450, sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477
b) Calcule log216 – log432
1200000
1000000
c) Se log a + log b = c, qual é o valor de b?
800000
9. 27. 4 81
d) Calcule log3
1  2! 4!
400000
200000
e) Resolva log5x = logx5
0
-3
f) Resolva x
log2 x
= 8x
y = 10x+3
600000
-2
-1
0
1
2
3
4
2
7
6
e) Calcule log 0,00001
5
4
f) Se y = 10x+3, represente graficamente y e log y
3
log y = x+3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Funções: conceito de limite
f ( x) 
1
x-3
x3
O que acontece com a função com valores de x próximos a 3?
x
y
6
0,3333
5
0,5
4
1
3,5
2
3,1
10
3,01
100
3,001
1000
3,0001
10000
3
+∞
lim f ( x )  +
x 3
lê-se: o limite da função f(x)
quando x tende a 3 pela
direita é infinito positivo
Funções: conceito de limite
f ( x) 
1
x-3
x3
O que acontece com a função com valores de x próximos a 3?
x
y
0
-0,3333
1
-0,5
2
-1
2,5
-2
2,9
-10
2,99
-100
2,999
-1000
2,9999
-10000
3
-∞
lim f ( x )  -
x 3
lê-se: o limite da função f(x)
quando x tende a 3 pela
esquerda é infinito negativo
Funções: conceito de limite
f ( x) 
1
x-3
x3
O que acontece com a função com valores de x próximos a 3?
lim f ( x )  +
20
x 3
lim f ( x )  -
15
x 3
10
5
0
0
1
2
3
4
-5
-10
-15
-20
assíntota vertical
5
6
Funções: conceito de limite
f ( x) 
1
x-3
x3
O que acontece com a função com valores de x tendem ao infinito?
x
y
10
0,1429
100
0,0103
1000
0,001
10000
0,0001
1E10
1E-10
+∞
0
lim f ( x )  0
x 
lim f ( x )  0
x 
Funções: conceito de limite
f ( x) 
1
x-3
x3
O que acontece com a função com valores de x tendem ao infinito?
lim f ( x )  0
20
x 
15
lim f ( x )  0
x 
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
-5
-10
-15
-20
assíntota horizontal
Funções: conceito de limite
Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas abaixo:
0
,
0

,   , 0., 00 ,  0 , 1

nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.
1

x
2
lim
5
x 4  x  4
lim
2
5
x  x  4
lim 20 x 
lim
lim x  x  3 
2
x 2
x 0
x 
x2  1
lim

x 1 x  1
Funções: conceito de derivada
y
20
y = 2x + 1
18
16
y
2
x
y
14
x
12
10
y
f (4)  f (2) 9  5 4


 2
x
42
2
2
8
y
6
x
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
Funções: conceito de derivada
y
y = 0,2x2 - 4x + 22
20
18
16
14
12
10
8
6
y
f (15)  f (10) 7  2 5


 1
x
15  10
5
5
y
4
2
x
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
Funções: conceito de derivada
y
y = 0,2x2 - 4x + 22
20
18
16
14
12
y
f (18)  f (15) 14,8  7 7,8



 2,6
x
18  15
3
3
y
10
8
x
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
Funções: conceito de derivada
y
y = 0,2x2 - 4x + 22
20
y
f ( x0  x )  f ( x0 )
f ( x1 )  f ( x0 )


x
x
x1  x0
18
16
14
para x0 = 10
12
10
x1
8
lim
x  0
6
4
y
x0
2
x
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
f (10  x )  f (10)

x
Funções: conceito de derivada
y
y = 0,2x2 - 4x + 22
20
y
f ( x0  x )  f ( x0 )
f ( x1 )  f ( x0 )


x
x
x1  x0
18
16
14
para x0 = 10
12
10
lim
8
x  0
6
4
x0
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
f (10  x )  f (10)
 0
x
Funções: conceito de derivada
y = 0,2x2 - 4x + 22
para x0 = 10
lim
x  0
f (10  x )  f (10)

x
0,2(10  x )2  4(10  x )  22  0,2.100  4.10  22
lim

x 0
x
0, 2.100  0, 2.2.10.x  0, 2.x 2  4.10  4.x  0, 2.100  4.10
lim

x 0
x
4.x  0, 2.x 2  4.x
lim

x 0
x
0, 2.x 2
lim
 lim 0, 2.x  0
x 0
x 0
x
Funções: conceito de derivada
y
y = 0,2x2 - 4x + 22
20
y
f ( x0  x )  f ( x0 )
f ( x1 )  f ( x0 )


x
x
x1  x0
18
16
14
para x0 = 15
12
10
x0
8
lim
x 0
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
f (15  x )  f (15)

x
Funções: conceito de derivada
y = 0,2x2 - 4x + 22
para x0 = 15
lim
x 0
f (15  x )  f (15)

x
0,2(15  x )2  4(15  x)  22  0,2.125  4.15  22
lim

x 0
x
0,2.125  0,2.2.15.x  0,2.x 2  4.15  4.x  0,2.125  4.15
lim

x 0
x
6.x  0, 2.x 2  4.x
lim

x 0
x
2.x  0, 2.x 2
lim
 lim (2  0, 2.x )  2
x 0
x 0
x
Funções: conceito de derivada
y  f ( x)
lim
x 0
f ( x  x )  f ( x ) dy
 f '( x )  y '

x
dx
Derivada de y em relação a x
f ( x ) deve existir (função contínua em x )
Regras Gerais:
f ( x  x )  f ( x )
f ( x  x )  f ( x )
lim
 lim
(função "suave" em x )
x 0 funções
y  u  v y '  u 'xv0'
(u e vsão
de
x
x x)
y  u.v
y  uv
y  ln(u)
y '  u ' v  uv '
 u'v

y '  uv 
 v 'ln(u) 
 u

u'
y' 
u
yk
y'  0
y  k. x
y'  k
y  xk
u
y
v
y '  k. x k 1
u ' v  uv '
y' 
v2
y  sen(u) y '  u 'cos(u)
(k é uma constante)
y '  ex
1
y  ln( x) y ' 
x
y  cos( x ) y '  sen( x)
y  ex
Funções: conceito de derivada
y
y = 0,2x2 - 4x + 22
20
y’ = 0,4x - 4
18
16
14
12
y’ < 0
função decrescente
y’ > 0
função crescente
y’ = 0
ponto de mínima
10
8
6
ou de máxima
y’
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
Funções: conceito de derivada
procurando mínimos e máximos
y = 0,036x3 - 1,08x2 - 8,1x + 2
y
y’ = 0,108x2 - 2,16x - 8,1
20
18
y’ = 0
16
2,16  2,162  4.0,108.8,1
x
2.0,108
14
12
10
y’
8
x
2,16  1,08
0, 216
x1 
1,08
5
0,216
6
4
x2 
3,24
 15
0,216
y’’
2
2a derivada
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
20
18
x
y’’ = 0,216x - 2,16
y’’ = 0
ponto de inflexão
(mudança de curvatura)
Funções: conceito de integral
20
18
y = 0,07x + 2
16
14
12
10
Área?
8
 f (16)  f (6) 
A  (16  6) 

2


6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 13,2  6,2 
A  10 

2


A  10.9,7  97
Funções: conceito de integral
y = -0,08x2 + 2,4x + 2
20
18
16
14
12
10
8
Área?
6
Aproximação!!!!
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Funções: conceito de integral
y = -0,08x2 + 2,4x + 2
A  A1  A2
20
 11  6 
 16  11 
A  (11  6). f 

(16

11).
f



 2 
 2 
A  5. f 8,5  5. f 13,5
18
16
14
12
A  5.16,62  5.19,82  182, 2
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Funções: conceito de integral
y = -0,08x2 + 2,4x + 2
n
A  A1  ...  An   Ai
20
18
Ai  f ( xi ).x
16
i 1
ponto dentro da faixa i
14
12
n
A
10
2
182,200
3
181,274
6
4
180,950
4
5
180,800
10
180,600
50
180,536
100
180,534
∞
?
...
8
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
n
A  lim  f ( xi ).x
n
i 1
n    x  0
16
A   f ( x)dx
6
(integral definida entre 6 e 16)
Funções: conceito de integral
y = -0,08x2 + 2,4x + 2
20
16
A   f ( x)dx
18
6
16
Propriedades
14
12

b

b

b

b

a
a
10
a
8
6
a
4
2
a
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
a
1.dx  b  a
b
k . f ( x ).dx  k  f ( x ).dx
a
b
b
a
a
(u  v ).dx   u.dx   v.dx
c
b
a
c
f ( x ).dx   f ( x ).dx   f ( x ).dx
f ( x ).dx  0
Relação Derivada e Integral
x k 1
C
ex:  x dx 
k 1
k
 f '( x)dx  f ( x)  C
Funções: conceito de integral
y = -0,08x2 + 2,4x + 2
20
16
A   f ( x)dx
18
6
16
16
16
16
6
6
6
A  0,08. x 2dx  2,4. xdx  2. dx
14
12
10
x 3 163 63
6 x dx | 3  3  3  1293,333
2
16
162 62
16 x
6 xdx |6 2  2  2  110
16
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20

16
6
2
16
6
dx  16  6  10
A  0,08.1293,333  2, 4.110  2.10
 180,533
Funções: conceito de integral
y = 0,0213x3- 0,64x2 + 4,0667x + 2
10
16
A   f ( x)dx
8
4
6
4
 164 44 
 163 43 
A  0,0213. 
   0,64. 
 
4
4
3
3



+
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
-6
-8
-10
-
16
18
20
 162 42 
 4,0667. 
   2. 16  4 
2
2

A0
Funções: conceito de integral
y = 0,0213x3- 0,64x2 + 4,0667x + 2
10
8
4
+
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
-2
-6
-8
-10
16
4
10
 164 104 
 163 103 
A1  0,0213. 


  0,64. 

4
4
3
3




6
-4
10
A   f ( x )dx   f ( x )dx
-
16
18
20
 162 102 
 4,0667. 

  2. 16  10 
2
2


A1  35,088
 104 44 
 103 43 
A2  0,0213. 
   0,64. 
 
4
4
3
3



 102 42 
 4,0667. 
   2. 10  4 
2
2

A2  35,088
A  35,088  35,088  70,176
Funções: conceito de integral
Outras aplicações:
• Comprimento de arcos de curvas planas
• Áreas de superfície de revolução
• Volumes de sólidos de revolução