Revisão Matemática ANO 2009 Camilo Daleles Rennó [email protected] Álgebra: Funções Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x A, tivermos um único y, y B. A B A B A B A B Álgebra: Funções Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x A, tivermos um único y, y B. B A Exemplo: Considere os conjuntos A = {x Z | -2 x 3} e B = {y Z | -1 y 9} NZQR N Z Q R reais {..., 1, ..., 3, ..., , ...} racionais {..., -1, ..., 1/3, ...} inteiros {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} naturais {0, 1, 2, ...} Álgebra: Funções Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x A, tivermos um único y, y B. A B A B -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exemplo: Considere os conjuntos A = {x Z | -2 x 3} e B = {y Z | -1 y 9} -1 Associando a cada elemento de A, o seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. 2 De outra forma podemos dizer que y = x2 ou f(x) = x2 0 1 3 Domínio = A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Contradomínio = B = {-1, 0, ..., 9} Imagem = {0, 1, 4, 9} Álgebra: Funções Gráfico de uma função A = {x Z | 2 x 5} e B = {y Z | y 6} f(x) = x A = {x R | 2 x 5} e B = {y R | y 6} f(x) = x 6 5 5 imagem 6 4 Y3 4 Y3 2 2 1 1 0 0 0 1 2 3 X 4 5 6 0 1 2 3 4 X domínio 5 6 Álgebra: Funções y y x y y x y x y x y x x y x x Álgebra: Funções f(2) = 0,84 y = f(x) x f(x) f(12) = ? interpolação 0 0 10 2,94 1 0,37 12 y 2 0,84 20 3,98 3 1,25 4 1,65 5 1,97 10 2,94 20 3,98 10.( y 2,94) 2.1,04 30 4,62 y 2,94 0,208 40 4,86 50 4,98 12 - 10 y - 2,94 20 - 10 3,98 - 2,94 y 3,148 Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau f(x) = ax + b, a R*, b R a = tan() coeficiente angular b = f(0) coeficiente linear Exemplo: f(x) = 2x - 1 y 6 5 4 3 2 = 63,435o 1 0 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 x -2 -3 -4 -5 -6 b = -1 tan(63,435o) = 2 Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exemplo: f(x) = 2x - 1 y 6 5 5 -1 5 5 4 4 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 -2 y 6 3 3 f(x) = -x + 2 y 6 4 4 -3 f(x) = -x - 1 f(x) = x - 1 y 6 a R*, b R f(x) = ax + b, -1 0 1 2 3 4 x -3 -2 -1 -1 0 0 1 2 3 4 x -3 -2 -1 -1 0 0 1 2 3 4 x -3 -2 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -5 -6 -5 -6 0 1 2 3 4 x Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exercícios resolvidos 1. Sabendo que uma função é representada por uma reta com inclinação de 45º e que esta reta cruza o eixo das ordenadas (y) no ponto -3, qual a equação desta função? y = ax + b a = tan() = tan(45º) = 1 b = f(0) = -3 y=x–3 2. Uma função é representada por uma reta e passa pelos pontos (x;y): (-1;3) e (4;-1). Qual a equação desta função? y y = ax + b 3 = a(-1) + b -a + b = 3 Resolvendo o sistema -1 = a(4) + b 4a + b = -1 3 De , b = 3 + a y = ax + b Substituindo em , 4a + 3 + a = -1 5a = -4 a = -4/5 Substituindo em , 4/5 + b = 3 b = 3 - 4/5 = (15 – 4)/5 =411/5 -1 -1 x y 4 11 x 5 5 Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exercícios resolvidos (cont.) 3. Obtenha a equação das funções (A e B) mostradas no gráfico: Função A: y = ax + b a = tan(0o) = 0 b = f(0) = 3 y=3 Função B: y = ax + b 3 3 38 3 8 9 8 1 3 b b = 3- 3 3 3 3 3 a tan( ) tan(30o ) y 3 1 x 3 3 y A 8 3 3 ;3 150o B x ? Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exercícios resolvidos (cont.) 4. Determine o ponto no qual a função y = -3x + 6 intercepta o eixo das abscissas (x)? A função intercepta o eixo das abscissas quando y = 0, então 0 = -3x + 6 3x = 6 x=2 ou seja, o ponto é (2; 0) 5. Qual é o ponto em que ocorre o cruzamento entre as funções y = 2x + 3 e y = -x + 6? Igualando-se as funções, tem-se 2x + 3 = -x + 6 3x = 6 – 3 = 3 x=1 Substituindo na primeira função y = 2(1) + 3 = 5 ou seja, o ponto é (1; 5) Álgebra: Funções f(x) = ax2 + bx + c, a R*, b R, c R Função polinomial do 2o grau (função quadrática) 5 05 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 -1 3 3 -2 2 y= x2 –1 y = -x2 21 -3 -3 -2 -1 -3 -3 -2 -2 -1 -1 10 -4 0 -1 00 -5 -2 00 1 11 y = x2 2 – 2x + 1 y = 2x 2 3 22 33 Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau (função quadrática) f(x) = ax2 + bx + c, a R*, b R, c R Propriedades: a) a função tem concavidade para cima caso a > 0 e concavidade para baixo caso a < 0 a>0 a<0 b) o vértice da parábola é dado por xv = - b 2 e yv = onde = b - 4ac 2a 4a c) quando > 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, dados por x' = -b - -b + e x'' = 2a 2a y = a (x - x ') ( x - x '' ) d) quando = 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas apenas num ponto (xv) x' = - b 2a y = a ( x - x ')2 e) quando < 0, então a parábola não intercepta o eixo das abscissas Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau Exercícios resolvidos 1. Qual é a função quadrática que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-1;0) e (2;0) e intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;-6)? y = ax2 + bx + c 0 = a(-1)2 + b(-1) + c 0 = a(2)2 + b(2) + c -6 = a(0)2 + b(0) + c a–b+c=0 4a + 2b + c = 0 c = -6 a–b=6 Resolvendo o sistema 4a + 2b = 6 De , a = 6 + b Substituindo em , 4(6 + b) + 2b = 6 24 + 4b + 2b = 6 6b = -18 b = -3 Substituindo em , a – (-3) = 6 a + 3 = 6 a = 3 y = 3x2 – 3x – 6 Ou, y = ax2 + bx + c = a(x + 1)(x – 2) -6 = a(0 + 1)(0 – 2) -2a = -6 a = 3 y = 3(x + 1)(x – 2) = 3x2 – 6x + 3x – 6 y = 3x2 – 3x – 6 Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau Exercícios resolvidos (cont.) 2. Qual o vértice e o conjunto imagem da função y = 3x2 – 7x + 1? xv = 7 7 -b = 2a 2.3 6 (49 - 4.3.1) 49 - 12 37 (b2 - 4ac) ===yv = 4.3 12 12 4a Como a = 3 (> 0), então a concavidade é para cima e portanto o vértice é um ponto de mínimo ou seja: se x R, então Im = {y R | y ≥ - 37 } 12 Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau Exercícios resolvidos (cont.) 3. Esboce o gráfico da função y = x2 – x – 2. Encontrando os zeros da função: -b ( 1) x= = 2a x' = -1 e x'' = 2 Determinando os vértices: 1 -b = 2a 2 9 yv = =4a 4 xv = 1 1 8 1 3 (1)2 4.1.(2) = 2 2 2.1 Álgebra: Funções b R , e b 1 * f(x) = bg(x), Função exponencial y = 2x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 1 1 f (-2) 2-2 = = 2 4 2 3 4 Álgebra: Funções b R , e b 1 * f(x) = bg(x), Função exponencial y = 2x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 f (-1) 2-1 = 1 1 2 2 3 4 Álgebra: Funções b R , e b 1 * f(x) = bg(x), Função exponencial y = 2x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Álgebra: Funções b R , e b 1 * f(x) = bg(x), Função exponencial y = 2x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Álgebra: Funções b R , e b 1 * f(x) = bg(x), Função exponencial 1x y y =2 2 x 4,5 9 8 4 3,5 7 6 3 2,5 5 4 2 1,5 3 2 1 0,5 1 0 -3 -2 -1 0 Se b > 1, então f(x) = bx é crescente Se 0 < b < 1, então f(x) = bx é decrescente 1 2 3 4 Álgebra: Equações Exponenciais Propriedades de equações exponenciais a) se ba = bc , então a = c ex. 22 x1 8 22 x1 23 2 x 1 3 2 x 2 x 1 ba c = ba . b-c = ba-c b) b . b = b b 3 x -1 3 ex. x 2 81 33 x-1- x-2 34 32 x-3 34 2 x - 3 4 2 x 7 x 3,5 3 c c) ba = bac a c a+c ex. 9 x. 3x-3 1 1 x 3x - 3 0 3 x 3 x 1 a = ex. 4 d) b 32 . 3x-3 30 32 x. 3x-3 30 33x-3 30 a b k =k 2 x1 e) ab = a c .b c c 1 3 1 = k2 x1 2 x 1 = 2 x = 1 2 x = 4 4 4 3 1 3 x=- . x =4 2 8 k 1 4 Álgebra: Equações Exponenciais Determine x, tal que: a) 7 x 2 - x -22 1 f) x 1 49 x 1 x b) 3x 98 g) 7x 7 x-1 8x c) 3x x-6 1 h) 2 x 1 - x 2 d) 52 x - 4.5x 5 e) 3x-1 2.3x 1 - 3x 16 27 x 7 1 x -2 2 2 x-1 2 x-2 Álgebra: Logaritmo Dados os números reais a e b, ambos positivos com b 1, existe sempre um único número real tal que bx = a. O expoente x recebe o nome de logaritmo de a na base b, ou x = logba Exemplos: a) 23 = 8, logo log28 = 3 b) 52 = 25, logo log525 = 2 c) 2x = 5, logo log25 = x Por definição: logb1 = 0 pois bx = 1 bx = b0 x = 0 logbb = 1 pois bx = b bx = b1 x = 1 logbbk = k pois bx = bk x = k blogba = a log10x é chamado logaritmo decimal e é representado omitindo-se a base, ex: log 45 logex é chamado logaritmo neperiano ou natural e é representado por ln, ex: ln 45 (e = 2,71828...) Álgebra: Logaritmo Propriedades a) logb a.c = logba + logbc ex. log 3x = log 3 + log x a b) log b = log ba - log bc c x ex. log = log x - log 4 4 c) logba c = c.logba ex. ln x 3 = 3.ln x d) log b a = log c a log c b ex. log 2 5 = log 5 log 2 Álgebra: Logaritmo Exercícios a) Calcule log 450, sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 b) Calcule log216 – log432 1200000 1000000 c) Se log a + log b = c, qual é o valor de b? 800000 9. 27. 4 81 d) Calcule log3 1 2! 4! 400000 200000 e) Resolva log5x = logx5 0 -3 f) Resolva x log2 x = 8x y = 10x+3 600000 -2 -1 0 1 2 3 4 2 7 6 e) Calcule log 0,00001 5 4 f) Se y = 10x+3, represente graficamente y e log y 3 log y = x+3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Funções: conceito de limite f ( x) 1 x-3 x3 O que acontece com a função com valores de x próximos a 3? x y 6 0,3333 5 0,5 4 1 3,5 2 3,1 10 3,01 100 3,001 1000 3,0001 10000 3 +∞ lim f ( x ) + x 3 lê-se: o limite da função f(x) quando x tende a 3 pela direita é infinito positivo Funções: conceito de limite f ( x) 1 x-3 x3 O que acontece com a função com valores de x próximos a 3? x y 0 -0,3333 1 -0,5 2 -1 2,5 -2 2,9 -10 2,99 -100 2,999 -1000 2,9999 -10000 3 -∞ lim f ( x ) - x 3 lê-se: o limite da função f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é infinito negativo Funções: conceito de limite f ( x) 1 x-3 x3 O que acontece com a função com valores de x próximos a 3? lim f ( x ) + 20 x 3 lim f ( x ) - 15 x 3 10 5 0 0 1 2 3 4 -5 -10 -15 -20 assíntota vertical 5 6 Funções: conceito de limite f ( x) 1 x-3 x3 O que acontece com a função com valores de x tendem ao infinito? x y 10 0,1429 100 0,0103 1000 0,001 10000 0,0001 1E10 1E-10 +∞ 0 lim f ( x ) 0 x lim f ( x ) 0 x Funções: conceito de limite f ( x) 1 x-3 x3 O que acontece com a função com valores de x tendem ao infinito? lim f ( x ) 0 20 x 15 lim f ( x ) 0 x 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 -5 -10 -15 -20 assíntota horizontal Funções: conceito de limite Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas abaixo: 0 , 0 , , 0., 00 , 0 , 1 nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso. 1 x 2 lim 5 x 4 x 4 lim 2 5 x x 4 lim 20 x lim lim x x 3 2 x 2 x 0 x x2 1 lim x 1 x 1 Funções: conceito de derivada y 20 y = 2x + 1 18 16 y 2 x y 14 x 12 10 y f (4) f (2) 9 5 4 2 x 42 2 2 8 y 6 x 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x Funções: conceito de derivada y y = 0,2x2 - 4x + 22 20 18 16 14 12 10 8 6 y f (15) f (10) 7 2 5 1 x 15 10 5 5 y 4 2 x 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x Funções: conceito de derivada y y = 0,2x2 - 4x + 22 20 18 16 14 12 y f (18) f (15) 14,8 7 7,8 2,6 x 18 15 3 3 y 10 8 x 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x Funções: conceito de derivada y y = 0,2x2 - 4x + 22 20 y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x x x1 x0 18 16 14 para x0 = 10 12 10 x1 8 lim x 0 6 4 y x0 2 x 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x f (10 x ) f (10) x Funções: conceito de derivada y y = 0,2x2 - 4x + 22 20 y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x x x1 x0 18 16 14 para x0 = 10 12 10 lim 8 x 0 6 4 x0 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x f (10 x ) f (10) 0 x Funções: conceito de derivada y = 0,2x2 - 4x + 22 para x0 = 10 lim x 0 f (10 x ) f (10) x 0,2(10 x )2 4(10 x ) 22 0,2.100 4.10 22 lim x 0 x 0, 2.100 0, 2.2.10.x 0, 2.x 2 4.10 4.x 0, 2.100 4.10 lim x 0 x 4.x 0, 2.x 2 4.x lim x 0 x 0, 2.x 2 lim lim 0, 2.x 0 x 0 x 0 x Funções: conceito de derivada y y = 0,2x2 - 4x + 22 20 y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x x x1 x0 18 16 14 para x0 = 15 12 10 x0 8 lim x 0 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x f (15 x ) f (15) x Funções: conceito de derivada y = 0,2x2 - 4x + 22 para x0 = 15 lim x 0 f (15 x ) f (15) x 0,2(15 x )2 4(15 x) 22 0,2.125 4.15 22 lim x 0 x 0,2.125 0,2.2.15.x 0,2.x 2 4.15 4.x 0,2.125 4.15 lim x 0 x 6.x 0, 2.x 2 4.x lim x 0 x 2.x 0, 2.x 2 lim lim (2 0, 2.x ) 2 x 0 x 0 x Funções: conceito de derivada y f ( x) lim x 0 f ( x x ) f ( x ) dy f '( x ) y ' x dx Derivada de y em relação a x f ( x ) deve existir (função contínua em x ) Regras Gerais: f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) f ( x ) lim lim (função "suave" em x ) x 0 funções y u v y ' u 'xv0' (u e vsão de x x x) y u.v y uv y ln(u) y ' u ' v uv ' u'v y ' uv v 'ln(u) u u' y' u yk y' 0 y k. x y' k y xk u y v y ' k. x k 1 u ' v uv ' y' v2 y sen(u) y ' u 'cos(u) (k é uma constante) y ' ex 1 y ln( x) y ' x y cos( x ) y ' sen( x) y ex Funções: conceito de derivada y y = 0,2x2 - 4x + 22 20 y’ = 0,4x - 4 18 16 14 12 y’ < 0 função decrescente y’ > 0 função crescente y’ = 0 ponto de mínima 10 8 6 ou de máxima y’ 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x Funções: conceito de derivada procurando mínimos e máximos y = 0,036x3 - 1,08x2 - 8,1x + 2 y y’ = 0,108x2 - 2,16x - 8,1 20 18 y’ = 0 16 2,16 2,162 4.0,108.8,1 x 2.0,108 14 12 10 y’ 8 x 2,16 1,08 0, 216 x1 1,08 5 0,216 6 4 x2 3,24 15 0,216 y’’ 2 2a derivada 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 20 18 x y’’ = 0,216x - 2,16 y’’ = 0 ponto de inflexão (mudança de curvatura) Funções: conceito de integral 20 18 y = 0,07x + 2 16 14 12 10 Área? 8 f (16) f (6) A (16 6) 2 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 13,2 6,2 A 10 2 A 10.9,7 97 Funções: conceito de integral y = -0,08x2 + 2,4x + 2 20 18 16 14 12 10 8 Área? 6 Aproximação!!!! 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Funções: conceito de integral y = -0,08x2 + 2,4x + 2 A A1 A2 20 11 6 16 11 A (11 6). f (16 11). f 2 2 A 5. f 8,5 5. f 13,5 18 16 14 12 A 5.16,62 5.19,82 182, 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Funções: conceito de integral y = -0,08x2 + 2,4x + 2 n A A1 ... An Ai 20 18 Ai f ( xi ).x 16 i 1 ponto dentro da faixa i 14 12 n A 10 2 182,200 3 181,274 6 4 180,950 4 5 180,800 10 180,600 50 180,536 100 180,534 ∞ ? ... 8 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n A lim f ( xi ).x n i 1 n x 0 16 A f ( x)dx 6 (integral definida entre 6 e 16) Funções: conceito de integral y = -0,08x2 + 2,4x + 2 20 16 A f ( x)dx 18 6 16 Propriedades 14 12 b b b b a a 10 a 8 6 a 4 2 a 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 a 1.dx b a b k . f ( x ).dx k f ( x ).dx a b b a a (u v ).dx u.dx v.dx c b a c f ( x ).dx f ( x ).dx f ( x ).dx f ( x ).dx 0 Relação Derivada e Integral x k 1 C ex: x dx k 1 k f '( x)dx f ( x) C Funções: conceito de integral y = -0,08x2 + 2,4x + 2 20 16 A f ( x)dx 18 6 16 16 16 16 6 6 6 A 0,08. x 2dx 2,4. xdx 2. dx 14 12 10 x 3 163 63 6 x dx | 3 3 3 1293,333 2 16 162 62 16 x 6 xdx |6 2 2 2 110 16 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 16 6 2 16 6 dx 16 6 10 A 0,08.1293,333 2, 4.110 2.10 180,533 Funções: conceito de integral y = 0,0213x3- 0,64x2 + 4,0667x + 2 10 16 A f ( x)dx 8 4 6 4 164 44 163 43 A 0,0213. 0,64. 4 4 3 3 + 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 -8 -10 - 16 18 20 162 42 4,0667. 2. 16 4 2 2 A0 Funções: conceito de integral y = 0,0213x3- 0,64x2 + 4,0667x + 2 10 8 4 + 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 -2 -6 -8 -10 16 4 10 164 104 163 103 A1 0,0213. 0,64. 4 4 3 3 6 -4 10 A f ( x )dx f ( x )dx - 16 18 20 162 102 4,0667. 2. 16 10 2 2 A1 35,088 104 44 103 43 A2 0,0213. 0,64. 4 4 3 3 102 42 4,0667. 2. 10 4 2 2 A2 35,088 A 35,088 35,088 70,176 Funções: conceito de integral Outras aplicações: • Comprimento de arcos de curvas planas • Áreas de superfície de revolução • Volumes de sólidos de revolução