Teorema do Confronto
Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos
obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema
se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os
valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o
mesmo limite quando x  c, então f também terá esse
limite.
Teorema – Teorema do Confronto
Suponha que g ( x)  f ( x)  h( x) para qualquer x em um
intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em
x = c . Suponha também que
lim g ( x )  lim h( x )  L
x c
x c
Então
lim f ( x)  L
x c
Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto
(a) Uma vez que
   sen  
lim(  )  lim   0
 0
 0
lim sen   0
 0
para qualquer
, temos que:
(b) Uma vez que 0  1  cos   para qualquer  , temos que
lim(1  cos  )  0
 0
ou
lim cos   1
 0
y0
Limites Laterais
Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma
função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus
valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima
de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais.
Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter
um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação
ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo
lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo
lado esquerdo, será um limite à esquerda.
Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda.
Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se
f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima
de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita
L em a e escrevemos
lim f ( x )  L
xa
Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se
f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se
aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite
lateral à esquerda M em a e escrevemos
lim f ( x )  M
xa
Exemplo:
Para a função f ( x)  x na figura, temos:
x
x
x
lim f ( x)   1 e
lim f ( x)  lim
 lim (1)  1
x 0
x
x 0
x 0  x
x 0



Teorema 5 – Relação entre os Limites Lateral e Bilateral
Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar
de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à
esquerda e os dois limites laterais forem iguais:
lim
lim
lim
f ( x)  L 
f
(
x
)

L
e
f ( x)  L


xc
xc
xc
Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura
Em x = 0:
limx0 f ( x)  1
limx0 f ( x) e limx0 f ( x) não existem. A função não é
definida à esquerda de x = 0.
Em x = 1:
limx1 f ( x)  0
ainda que f(1) = 1,
limx1 f ( x)  1,
limx1 f ( x) não existe. Os limites à direita e à esquerda não são
iguais.
Em x = 2:
limx2 f ( x)  1
limx2 f ( x)  1
limx2 f ( x)  1 ainda que f(2) = 2
Em x = 3:
limx3 f ( x)  limx3 f ( x)  limx3 f ( x)  f(3) = 2
Em x = 4:
limx4 f ( x)  1
limx4 f ( x)
e
ainda que f(4)
1
limx4 f ( x)
não existem. A função não é
definida à direita de x = 4.
Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a).
Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais
1
Mostre que y  sen  não tem nenhum limite lateral quando x se
 x
aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo).
Solução: Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce
1
sen
sem limitação e os valores de
  repetem-se ciclicamente de
 x
de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0.
Limites Envolvendo sen  
Teorema 6
lim

0
sen 

1
(  em radianos)
Prova
O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a
1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1.
Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores
positivos de  menores que  2 (Figura abaixo). Observe que:
Área OAP

área do setor OAP  área OAT
Podemos expressar essas áreas em termos de

da seguinte maneira:
1
1
1
Área OAP  base altura  (1)(sen  )  sen 
2
2
2
1 2
1 2

Área do setor OAP  r   (1)  
2
2
2
1
1
1
Área OAT  base altura  (1)( tg )  tg
2
2
2
Logo,
1
1
1
sen     tg
2
2
2
A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelo
número positivo (1/2) sen  :

1
1

sen  cos 
Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida:
1
Uma vez que
sen 

 cos 
lim 0 cos  1 do Teorema do Confronto resulta
lim

0 
sen 

1
e  são ambos funções ímpares.
Então, f ( )  (sen ) /  é uma função par, com um gráfico
simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limite
à esquerda em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita:
Tenhamos em mente que
lim

0 
Então
sen 

sen 
 1  lim
 0 
sen 

lim 0 (sen )   1 pelo Teorema 4.
Exemplo 10: Usando lim
 0
Mostre que
lim
x 0
lim
x 0
sen 

1
sen 2 x 2

5x
5
sen 2 x
(2 / 5)  sen 2 x
 lim
5x
( 2 / 5)  5 x
x 0
2
sen 2 x
 lim
5 x 0
2x
2
2
 (1) 
5
5
Agora a equação (1) se aplica a

= 2x.
Limites Envolvendo o Infinito
Definições
Limites com x  
1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e
escrevemos:
lim
f ( x)  L
x 
se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x)
fica cada vez mais próximo de L.
2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos
infinito e escrevemos:
lim
f ( x)  L
x  
se, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x)
fica cada vez mais próximo de L.
Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando x  
Demonstre que
1
(a)
lim
x 
(b)
x
 lim
x  
1
0
x
lim k  lim k  k
x 
x 
Solução:
(a) Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à
medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivo
quanto para o negativo.
(b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função
Constante y = k sempre tem exatamente o valor k.
Teorema 7 – Regras para Limites quando
x  
Se L, M e k são números reais e
lim
f ( x)  L
x  
e
lim
g ( x)  M ,
x 
lim ( f ( x)  g ( x))  L  M
1. Regra da Soma:
x 
2. Regra da Subtração:
lim ( f ( x)  g ( x))  L  M
x 
3. Regra do Produto:
lim ( f ( x)  g ( x))  L  M
x 
então
4. Regra da Multiplicação por Constante:
lim (k  f ( x))  k  L
x 
5. Regra do Quociente:
lim
x 
f ( x)
L

,M  0
g ( x)
M
6. Regra da Potenciação:
Se r e s são inteiros, s  0 , então
r s
lim ( f ( x))
x 
Desde que
r s
L
seja um número real.
L
r s
Exemplo 2 – Usando o Teorema 7
(a)
1
1

 5    lim 5  lim
x

x 
x  x
lim
x 
 50  5
(b)
lim
x 
 3
x
2
1 1
 lim  3  
x x
x 
 lim  3  lim
x  
x  
  3 00  0
1
1
 lim
x x  x
Regra da Soma
Limites Conhecidos
Regra do Produto
Limites Conhecidos
Exemplo 3 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau
Divida o numerador e o denominador por x2.
lim
x 
5x 2  8x  3
5  (8 / x)  (3 / x 2 )
 lim
2
2
3x  2
3

(
2
/
x
)
x 
500 5


3 0
3
Exemplo 5 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador
lim
x 
2x2  3
2 x  (3 / x)
 lim
7x  4
x  7  ( 4 / x)
 
Divida o numerador e o denominador por x.
O numerador agora tende a   ao passo que o denominador tende a
7, então a razão   .
Limites Fundamentais
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados
limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de

indeterminações do tipo 0 / 0, 1 e  0 .
Proposição 1: (Como já vimos)
lim
x 0
sen x
1
x
Proposição 2:
lim (1  1/ x)
x
e
x 
Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado
é 2,718281828459... .
Exemplo
Provar que
(1  x)1 x  e
lim
x 0
lim (1  x)
1x
Em primeiro lugar provaremos que
e
x 0 
De fato, fazendo x = 1/t temos t   quando x  0 . Logo,
lim (1  x)
1x
x0
 lim (1  1 t )  e
t
t 
Da mesma forma, prova-se que
lim
x 0 
Portanto,
lim (1  x)
1x
x 0
e
(1  x)1 x  e
Proposição 3:
a 1
 ln a (a  0, a  1).
x
x
lim
x 0
(Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.)
Exemplos
lim
x 0
ax  bx
x
Temos,
lim
x 0
ax  bx
 lim
x
x 0
x


a
x
b  x  1
b

x
x
 lim b  lim
x
x 0
a
 1 ln
b
a
 ln
b
x 0
a
  1
b
x
Exemplo 2
lim
x 1
ex 1  a x 1
2
x 1
Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a
Proposição 3.
lim
x 1
e x 1  a x 1
(e x 1  1)  (a x 1  1)
 lim
2
x 1
( x  1)(x  1)
x 1
 lim
x 1

1
e x 1  1
a x 1  1
 lim
 lim

x  1  x 1 x  1
x 1 
x 1
1
e x 1  1
a x 1  1
 lim
 lim
.
2  x 1 x  1
x 1 
x 1
Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando x  1 , x  1 , temos
t 0 , t  0.
Portanto,
lim
x 1
e x 1  a x 1 1 
et  1
a t  1
 lim
 lim

2
x 1
2  t 0
t
t
t 0

1
 (ln e  ln a )
2
1
 (1  ln a ).
2
Continuidade
Definição – Continuidade em um Ponto
Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto
interior c de seu domínio quando:
lim
f ( x)  f (c).
x c
Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidade
esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu
domínio quando:
lim
x a 
f ( x)  f ( a )
ou
lim
x b 
f ( x)  f (b) respectivamente
Exemplo 2 – Uma Função Contínua em seu Domínio
2
A função f ( x)  4  x é contínua em todos os pontos de seu domínio,
 2,2 , inclusive em x = -2, quando f é contínua à direita, e x = 2
quando f é contínua à esquerda.
Exemplo 3 – Uma Função com Descontinuidade de Salto
A função ‘salto unitário’ U(x) é contínua à direita em x = 0,
mas não é nem contínua à esquerda nem contínua aí. Ela apresenta
descontinuidade de salto em x = 0.
Teste de Continuidade
Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer
às três condições seguintes:
1. f(c) existe
2.
limxc f ( x)
(c está no domínio de f)
existe
3. limxc f ( x)  f (c)
(f tem um limite quando x  c )
(o limite é igual ao valor da função)
Teorema – Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes
combinações são contínuas em x = c.
1. Somas:
f+g
2. Diferenças:
f-g
3. Produtos:
f.g
4. Constantes Múltiplas:
k . f, para qualquer número k
5. Quocientes:
f / g, uma vez que g(c)
0
Teorema – Composta de Funções Contínuas
Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta
g  f é contínua em c.