Teorema do Confronto Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando x c, então f também terá esse limite. Teorema – Teorema do Confronto Suponha que g ( x) f ( x) h( x) para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c . Suponha também que lim g ( x ) lim h( x ) L x c x c Então lim f ( x) L x c Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto (a) Uma vez que sen lim( ) lim 0 0 0 lim sen 0 0 para qualquer , temos que: (b) Uma vez que 0 1 cos para qualquer , temos que lim(1 cos ) 0 0 ou lim cos 1 0 y0 Limites Laterais Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda. Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda. Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita L em a e escrevemos lim f ( x ) L xa Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos lim f ( x ) M xa Exemplo: Para a função f ( x) x na figura, temos: x x x lim f ( x) 1 e lim f ( x) lim lim (1) 1 x 0 x x 0 x 0 x x 0 Teorema 5 – Relação entre os Limites Lateral e Bilateral Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais: lim lim lim f ( x) L f ( x ) L e f ( x) L xc xc xc Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura Em x = 0: limx0 f ( x) 1 limx0 f ( x) e limx0 f ( x) não existem. A função não é definida à esquerda de x = 0. Em x = 1: limx1 f ( x) 0 ainda que f(1) = 1, limx1 f ( x) 1, limx1 f ( x) não existe. Os limites à direita e à esquerda não são iguais. Em x = 2: limx2 f ( x) 1 limx2 f ( x) 1 limx2 f ( x) 1 ainda que f(2) = 2 Em x = 3: limx3 f ( x) limx3 f ( x) limx3 f ( x) f(3) = 2 Em x = 4: limx4 f ( x) 1 limx4 f ( x) e ainda que f(4) 1 limx4 f ( x) não existem. A função não é definida à direita de x = 4. Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a). Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais 1 Mostre que y sen não tem nenhum limite lateral quando x se x aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo). Solução: Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce 1 sen sem limitação e os valores de repetem-se ciclicamente de x de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0. Limites Envolvendo sen Teorema 6 lim 0 sen 1 ( em radianos) Prova O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1. Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de menores que 2 (Figura abaixo). Observe que: Área OAP área do setor OAP área OAT Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira: 1 1 1 Área OAP base altura (1)(sen ) sen 2 2 2 1 2 1 2 Área do setor OAP r (1) 2 2 2 1 1 1 Área OAT base altura (1)( tg ) tg 2 2 2 Logo, 1 1 1 sen tg 2 2 2 A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelo número positivo (1/2) sen : 1 1 sen cos Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida: 1 Uma vez que sen cos lim 0 cos 1 do Teorema do Confronto resulta lim 0 sen 1 e são ambos funções ímpares. Então, f ( ) (sen ) / é uma função par, com um gráfico simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limite à esquerda em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita: Tenhamos em mente que lim 0 Então sen sen 1 lim 0 sen lim 0 (sen ) 1 pelo Teorema 4. Exemplo 10: Usando lim 0 Mostre que lim x 0 lim x 0 sen 1 sen 2 x 2 5x 5 sen 2 x (2 / 5) sen 2 x lim 5x ( 2 / 5) 5 x x 0 2 sen 2 x lim 5 x 0 2x 2 2 (1) 5 5 Agora a equação (1) se aplica a = 2x. Limites Envolvendo o Infinito Definições Limites com x 1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e escrevemos: lim f ( x) L x se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. 2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos: lim f ( x) L x se, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando x Demonstre que 1 (a) lim x (b) x lim x 1 0 x lim k lim k k x x Solução: (a) Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivo quanto para o negativo. (b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função Constante y = k sempre tem exatamente o valor k. Teorema 7 – Regras para Limites quando x Se L, M e k são números reais e lim f ( x) L x e lim g ( x) M , x lim ( f ( x) g ( x)) L M 1. Regra da Soma: x 2. Regra da Subtração: lim ( f ( x) g ( x)) L M x 3. Regra do Produto: lim ( f ( x) g ( x)) L M x então 4. Regra da Multiplicação por Constante: lim (k f ( x)) k L x 5. Regra do Quociente: lim x f ( x) L ,M 0 g ( x) M 6. Regra da Potenciação: Se r e s são inteiros, s 0 , então r s lim ( f ( x)) x Desde que r s L seja um número real. L r s Exemplo 2 – Usando o Teorema 7 (a) 1 1 5 lim 5 lim x x x x lim x 50 5 (b) lim x 3 x 2 1 1 lim 3 x x x lim 3 lim x x 3 00 0 1 1 lim x x x Regra da Soma Limites Conhecidos Regra do Produto Limites Conhecidos Exemplo 3 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau Divida o numerador e o denominador por x2. lim x 5x 2 8x 3 5 (8 / x) (3 / x 2 ) lim 2 2 3x 2 3 ( 2 / x ) x 500 5 3 0 3 Exemplo 5 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador lim x 2x2 3 2 x (3 / x) lim 7x 4 x 7 ( 4 / x) Divida o numerador e o denominador por x. O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a 7, então a razão . Limites Fundamentais Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0 / 0, 1 e 0 . Proposição 1: (Como já vimos) lim x 0 sen x 1 x Proposição 2: lim (1 1/ x) x e x Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459... . Exemplo Provar que (1 x)1 x e lim x 0 lim (1 x) 1x Em primeiro lugar provaremos que e x 0 De fato, fazendo x = 1/t temos t quando x 0 . Logo, lim (1 x) 1x x0 lim (1 1 t ) e t t Da mesma forma, prova-se que lim x 0 Portanto, lim (1 x) 1x x 0 e (1 x)1 x e Proposição 3: a 1 ln a (a 0, a 1). x x lim x 0 (Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.) Exemplos lim x 0 ax bx x Temos, lim x 0 ax bx lim x x 0 x a x b x 1 b x x lim b lim x x 0 a 1 ln b a ln b x 0 a 1 b x Exemplo 2 lim x 1 ex 1 a x 1 2 x 1 Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a Proposição 3. lim x 1 e x 1 a x 1 (e x 1 1) (a x 1 1) lim 2 x 1 ( x 1)(x 1) x 1 lim x 1 1 e x 1 1 a x 1 1 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 e x 1 1 a x 1 1 lim lim . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando x 1 , x 1 , temos t 0 , t 0. Portanto, lim x 1 e x 1 a x 1 1 et 1 a t 1 lim lim 2 x 1 2 t 0 t t t 0 1 (ln e ln a ) 2 1 (1 ln a ). 2 Continuidade Definição – Continuidade em um Ponto Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior c de seu domínio quando: lim f ( x) f (c). x c Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidade esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando: lim x a f ( x) f ( a ) ou lim x b f ( x) f (b) respectivamente Exemplo 2 – Uma Função Contínua em seu Domínio 2 A função f ( x) 4 x é contínua em todos os pontos de seu domínio, 2,2 , inclusive em x = -2, quando f é contínua à direita, e x = 2 quando f é contínua à esquerda. Exemplo 3 – Uma Função com Descontinuidade de Salto A função ‘salto unitário’ U(x) é contínua à direita em x = 0, mas não é nem contínua à esquerda nem contínua aí. Ela apresenta descontinuidade de salto em x = 0. Teste de Continuidade Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer às três condições seguintes: 1. f(c) existe 2. limxc f ( x) (c está no domínio de f) existe 3. limxc f ( x) f (c) (f tem um limite quando x c ) (o limite é igual ao valor da função) Teorema – Propriedades de Funções Contínuas Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações são contínuas em x = c. 1. Somas: f+g 2. Diferenças: f-g 3. Produtos: f.g 4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k 5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0 Teorema – Composta de Funções Contínuas Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta g f é contínua em c.