Ensino Superior
Cálculo 3
3. Limites e Continuidade de
Funções de Várias Variáveis
Amintas Paiva Afonso
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é
o número L (se existir) e é representado por
lim f ( x, y )  L
( x , y )( x0 , y0 )
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0),
dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função
será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a
função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus
pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das
funções, por simples inspeção da mesma.
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas
restrições.
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser
estendido para funções de várias variáveis. Assim,
diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou
que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima
de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de
(xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L.
limx  xo f ( x, y )  L
y  yo
ou
lim( x , y )( xo , y0 ) f ( x, y )  L
Limite de f(x,y)
Propriedades dos Limites
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com
lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0.
1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L
2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L
3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M
4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M
5º) lim
f ( x, y)  lim f ( x, y)  L
6º) De maneira geral,
Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)
Calculando Limites
2
2
 3
2
xy

x
yz 
3

1) limx2  5 x yz  7 xyz 
x  yz 
y 2 
z 1
2
2
2
.
2
.
2

2
.2(1)
3
3
 5.2 .2.(1)  7.2.2(1) 
 106
2  2(1)
x y
0 0
0


x y
00
0
3
2) lim( x, y )(0,0)
 lim( x, y )(0,0)
3
3
3
( x  y)( x  xy  y )
0
x y
2
2
Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
1) limx 0
x  xy  3
x 2  5 xy  y 3
2) limx 3
x2  y2
y 1
y  4
3) limx 0
y 0
x 2  xy
x y
Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e
“funções lineares” é só substituir os valores para os
quais de x e y estão tendendo. Para funções
racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer
este procedimento, deve-se então usar a regra dos
“dois caminhos”.
Exemplo da Regra dos Dois Caminhos
x y
Mostrar que lim 2
não existe.
2
x y
2
2
Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação
Regra dos Dois Caminhos
Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta
y = x (“dois caminhos”).
(1º caminho) lim x 0
x 2  02
1
2
2
x 0
(2º caminho) lim x 0
y2  y2
0
2
2
y  y
y 0
yx
z
1°caminho
y
x
Os limites são
diferentes, logo
não há o limite.
Continuidade de Funções de Várias Variáveis
O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo
já descrito para funções ordinárias.
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se
lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).
EXEMPLO:
x2 y
Mostrar que f ( x, y )  4
não é contínua em (x,y) = (0,0)
2
x y
Propriedades da Continuidade
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então:
• f(x,y) + g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) . g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) / g(x,y) também é contínua.
• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.