Cálculo II
Limites e Continuidade de Funções
de Várias Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é
o número L (se existir) e é representado por
lim f ( x , y )  L
( x , y ) ( x0 , y0 )
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0),
dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função
será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a
função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus
pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das
funções, por simples inspeção da mesma.
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas
restrições.
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de
Funções de 2 Variáveis
Limite
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser
estendido para funções de várias variáveis. Assim,
diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou
que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima
de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de
(xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L.
lim
x  xo
y  yo
f ( x, y )  L
ou
lim
( x , y ) ( xo , y0 )
f ( x, y )  L
Limite de f(x,y)
Propriedades dos Limites
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com
lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0.
1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L
2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L
3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M
4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M
5º) lim
f ( x, y ) 
lim f ( x , y ) 
L
6º) De maneira geral,
Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)
Calculando Limites
1) lim
x 2
y 2
z  1
2
2
 3
2
xy

x
yz
3
 5 x yz  7 xyz 

x  yz

2 . 2 . 2  2 . 2 (  1)
2
 5 . 2 . 2 .(  1)  7 . 2 . 2 (  1) 
3
3
x  y
3
2 ) lim
( x , y ) ( 0 ,0 )
x y
3
0 0
3

00
 lim
2
2  2 (  1)
3

0
0
( x  y )( x  xy  y )
2
( x , y ) (0,0 )
x y




2
0
  106
Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
1) lim
2 ) lim
x  xy  3
x 0
y 1
x  5 xy  y
2
x  y
2
x 3
y  4
x  xy
2
3 ) lim
x 0
y 0
x 
y
2
3
Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e
“funções lineares” é só substituir os valores para os
quais de x e y estão tendendo. Para funções
racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer
este procedimento, deve-se então usar a regra dos
“dois caminhos”.
Exemplo da Regra dos Dois Caminhos
x  y
2
x  y
2
2
Mostrar que lim
2
não existe.
Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação
Regra dos Dois Caminhos
Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta
y = x (“dois caminhos”).
(1º caminho) lim
(2º caminho) lim
z
x 0
y0
x 0
yx
1°caminho
y
x
x
2
 0
2
x
2
 0
2
y
2
 y
2
y
2
 y
2
1
 0
Os limites são
diferentes, logo
não há o limite.
Continuidade de Funções de Várias Variáveis
O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo
já descrito para funções ordinárias.
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se
lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).
EXEMPLO:
Mostrar que f ( x , y ) 
2
x y
x  y
4
2
não é contínua em (x,y) = (0,0)
Propriedades da Continuidade
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então:
• f(x,y) + g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) . g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) / g(x,y) também é contínua.
• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.