MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO
COORDENAÇÃO ACADÊMICA
EletroEletronica
Introdução à análise Vetorial
Prof. Luis S. B. Marques
A derivada
y  5x  2x
3
2
y  15 x  4 x
'
2
A derivada
• A derivada pode ser interpretada como a medida da
inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a
uma curva em um ponto específico.
A derivada
• A derivada pode também ser interpretada como
a taxa de variação instantânea de uma função.
A Integral
f ( x )  15 x  4 x
2

f ( x ) dx  ?
15 x
3
4x
2

f ( x )dx 

f ( x )dx  5 x  2 x  C
3
3

C
2
2
A Integral
• A integral definida representa a área sob uma
determinada curva.
A Integral
f ( x)  4
8

f ( x ) dx 
4
dx

0


f ( x )dx  4 x
f ( x )dx  4  8  32
8
0
A Integral
f ( x) 
8

f ( x ) dx 

0


f ( x )dx 
3  64
82

f ( x )dx 
3x
8
3x
8
3 x
2
8 2
3 8
2
 12
dx
8
0
A Integral
y = x/3
f ( x) 


3

4












f ( x ) dx 



f ( x )dx 
f ( x )dx 
x
2
6
4
2
6

16
6

8
3
x
3
0


x
4
0
dx
Vetores e escalares
• Escalar
• Algumas grandezas físicas são totalmente
definidas por um número e uma unidade. Quando
dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma
pessoa é 38oC a informação está completa.
• Vetor
• Entretanto, ao informarmos que a velocidade de
um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que
direção e em qual sentido este carro se
movimenta.
Vetores e escalares
• Os vetores representam grandezas que
possuem módulo, direção e sentido e são
representados por setas.
• O deslocamento entre
os pontos A e B pode
ser representado por um
vetor.
• O vetor, no plano, pode
ser decomposto em duas
componentes: ax e ay.
Vetores e escalares
a x  a  cos 
a y  a  sen 
• Pode-se representar um vetor através de suas
componentes em um dado sistema de
coordenadas.



a  a xi  a y j
• Sendo i e j vetores unitários
nas direções x e y,
respectivamente.
Adição de Vetores



A  axi  a y j



B  bx i  b y j
 


A  B  ( a x  bx )i  ( a y  b y ) j
Produto escalar
• O produto escalar entre dois vetores
a e b resulta em um escalar e é
definido através da equação:
 
a  b  ab cos 
• módulo do primeiro multiplicado pela componente
do segundo no eixo determinado pelo primeiro.
• Uma aplicação é encontrada na
definição de trabalho, em que a
força e a distância estão sobre o
mesmo eixo de referência.
 
W  F d

EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força F na direção definida

pelo vetor r dados abaixo:







r  4a x  5a y  7 a z
F  2 a x  3a y  4 a z
SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar
entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto :
 






W  F  r  2 a x  3 a y  4 a z    4 a x  5 a y  7 a z 
 
W  F  r  2 .(  4 )  3 . 5  4 . 7  35 Joules

EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força F na direção definida

pelo vetor r dados abaixo:







r  4a x  5a y  7 a z
F  2 a x  3a y  4 a z
SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:
 
F r
Cos    
  0 ,816 Rad
F r
 
 
F  r  F r cos 
 
F  r  5 , 4  9 ,5  cos 0 ,816  35 Joules
Produto vetorial
• O produto vetorial entre dois
vetores a e b é definido
através da equação:
 
a  b  absen 
• O resultado do produto vetorial entre dois vetores
a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado
pelos dois vetores a e b.
• Uma aplicação é a definição
de força que atua em um
condutor em condução.

 
F  Q (V  B )
Produto vetorial
PRODUTO VETORIAL :




Dado os Vetores
F  fxax  f ya y  fzaz




r  xa x  ya y  za z
Definido como:



ax
ay
az



  r F  x
y
z
fx
fy
fz
  



  r  F  ( y . f z  z . f y ) a x   x . f z  z . f x a y  x . f y  y . f x a z

EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força F
aplicado ao ponto (4,5,6) .
 


F  a x  2 a y  3a z
SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial




entre o vetor Posição do ponto de aplicação r  4 a x  5 a y  6 a z e o vetor
Força, portanto :

ax



  r F  4
1

ay

az
5



6  3a x  6 a y  3a z
2
3
Vetor posição
• A localização de um ponto no espaço pode ser
descrita através das suas coordenadas
cartesianas (x,y,z).
• O vetor da
origem ao
ponto (x,y,z) é
definido como
Vetor
Posição r.
Campo escalar
Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do
espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que
cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos
definindo um campo escalar.
Campo vetorial
É definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO
caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando
observamos um escoamento de água e dizemos que cada
partícula possui uma velocidade, estamos definindo um
campo vetorial.
Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo
Elétrico, Campo Magnético.
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS




r  xa x  ya y  za z




d r  dx a x  dy a y  dz a z
z
P x, y, z 

az

ax
x

r

ay
dS  dS x a x  dS y a y  dS z a z
y
dS   dydz  a x   dxdz  a y   dxdy  a z
dV  dxdydz
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS




r   a    a   z a z




d r  d  a    d  a   dz a z
z
x    Cos 
az


a
y    Sen 
P  , , z 

r

a
y

z  z

dS  dS  a   dS  a  dS z a z
dS    d  dz  a    d  dz  a    d  d   a z
x
dV   d  d  dz
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS




r  r a r  r  a   rSen   a 
0    2




d r  dr a r  rd  a   rSen  d  a 
0 
z
x  r .Sen   Cos 
P r ,  ,  

ar


r
a

y  r  Sen  .Sen 
z  r .C o s

a
y
r
2
 x
2
 y
2
 z
2

r  Sen 
x
dS  dS r a r  dS  a  dS  a
dS   r Sen d  d   a r   rSen drd   a    rdrd   a 
2
dV  r Sen drd  d 
2