Ensino Superior Cálculo 1 1.2- Propriedades dos Limites Amintas Paiva Afonso Propriedades dos limites Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo. I) lim b b x c II) lim x c x c III) lim xn cn x c IV) lim x c n x n c Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo. Operação com limites Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g funções para as quais lim f ( x) L e lim g ( x ) M . x c xc I) lim [b.f(x)] bL x c II) lim [f(x) g(x)] L M x c III) lim [f(x).g(x)] L.M f(x) L IV) lim ; x c g(x) M V) lim f(x) Ln n x c x c VI) lim x c n f(x) n L Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo. lim g(x) 0 x c Operação com limites Propriedades P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende a “a”, é igual a “a”. lim x a xa Exemplos: lim x 3 lim x e lim x 3 lim x 5 3 x 3 x x e x 5 lim x 0,3 x 0 ,3 Operação com limites P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x tende a “a”, é igual a própria constante: lim K K xa Exemplos: lim4 4 x 3 lim x 2 lim e e x 2 lim x 3 5 3 5 Operação com limites P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites (caso esses limites existam): lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) xa xa x a Exemplo: lim( x 3x 5) lim x lim 3x lim 5 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim x 3 lim x lim 5 2 3.2 5 15 2 x 2 2 x 2 x 2 Operação com limites P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso esses limites existam): lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) xa x a xa Exemplo: lim(2 x x) lim 2 x lim x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 lim x lim x 2.2 2 6 2 x 2 2 x 2 Operação com limites P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso esses limites existam): lim f ( x). g ( x) lim f ( x). lim g ( x) xa xa xa Exemplo: lim( x 2 ) lim x.x lim x. lim x 3.3 9 x 3 x 3 x 3 x 3 Operação com limites P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (caso esses limites existam): f ( x) f ( x) lim x a lim x a g ( x) g ( x) lim x a Exemplo: ( x 5) 35 1 x 5 lim x 3 lim 3 3 x 3 x 7 ( x 7) 27 7 10 lim x 3 Operação com limites P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um número inteiro positivo, é igual a potência do limite da função (caso exista): lim( f ( x)) (lim f ( x)) n xa n x a Exemplo: lim(2 x x ) (lim(2 x x )) 3 81 3 4 x 1 3 x 1 4 4 Operação com limites P8 - O limite da raiz de uma função n f ( x), é a raiz do limite da função, se o limite existe e é maior ou igual a zero: lim n f ( x) n lim f ( x) x a x a Exemplo: lim x 4 4 x 1 lim ( x 4 4 x 1) (2) 4 4(2) 1 5 x2 x2 Cálculo 1 - Limites Resumindo: Propriedades dos Limites Se L, M, a e c são números reais e n inteiro lim f ( x) L e lim g ( x) M , x a xa Regra da soma(subtração): lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L M xa xa xa Regra do Produto: lim f ( x). g ( x) lim f ( x). lim g ( x) L.M xa xa xa Regra da multiplicação por escalar: lim c. f ( x) c . lim f ( x) c.L xa xa Regra do quociente: f ( x) L f ( x) lim lim x a x a g ( x) lim g ( x) M x a Regra da potência: lim f ( x) (lim f ( x)) L n x a n n x a Regra da raíz lim n f ( x) n lim f ( x) n L x a x a se lim f ( x) L 0, n é impar. xa Regra do logaritmo: lim logc ( f ( x)) logc (lim f ( x)) xa xa logc L se lim f ( x) 0 xa Regra do seno (o mesmo para o cosseno) lim sen f ( x) sen( lim f ( x)) sen L xa xa Regra da exponencial: lim c xa f ( x) c lim f ( x ) xa c L Cálculo 1 - Limites Limite de uma função polinomial Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então lim P ( x ) P (c ) x c Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se P( x) an x an1 x então n n1 ... a0 lim P( x) P(c) an c an 1c n x c n 1 ... a0 Cálculo 1 - Limites Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial lim 3x 4 x x x 2 5 4 2 x 2 3 (2) 4 (2) (2) (2) 2 5 4 2 3 (32) 4 16 4 2 2 96 64 4 2 2 32 Cálculo 1 - Limites Limites de Funções Racionais Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: Se P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c) 0 , então P ( x) P (c ) lim x c Q ( x ) Q (c ) Cálculo 1 - Limites Exemplo – Limite de Uma Função Racional x 4 x 3 (1) 4(1) 3 0 lim 0 2 2 x 1 6 x 5 (1) 5 3 2 3 2 Cálculo 1 - Limites Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum lim x 1 x2 x 2 0 2 0 x x Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1: x 2 x 2 ( x 1)(x 2) x 2 Se x 1 2 x x x( x 1) x Cálculo 1 - Limites Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição: lim x x2 2 x x lim x 2 1 2 3 x 1 2 x 1 x 1 lim x 1 ( x 2)( x 1) x( x 1) Cálculo 1 - Limites Calcule lim lim h 0 h lim h( h 0 lim h 0 2h h 0 2h h 2. 2 2h 2h 2 2 lim h( h 2 h 2) 1 1 1 2h 2 20 2 2 2 h 0 2h2 2 h 2) Cálculo 1 - Limites Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida: a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13 x 5 b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ x + ∞ c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12 x 2 d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5 x 4 e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7 x 4 Cálculo 1 - Limites f) x 2 5x 4 Lim x 1 x 1 3 x g) Lim 3x 2 x 1 x2 1 R: -3 R: 0 h) x3 3 Lim x 0 x R: i) x4 1 Lim 3 x 1 x 1 R: 4/3 j) x 1 Lim x 1 x 1 R: 2/3 3 6 3 Cálculo 1 - Limites Teorema do Confronto (ou Sanduíche) Se lim f ( x ) lim h( x ) L xa xa e f(x) g(x) h(x) então, lim g ( x ) L xa Exemplo: f ( x) lim 2 , se f ( x) x 3x x 0 x Cálculo 1 - Limites Sabemos que: Se |f(x)| x3, então –x3 f(x) x3 Dividindo por x2 toda a inequação temos: f ( x) x 2 x x Pelo teorema do confronto: f ( x) lim( x) lim 2 lim x x 0 x 0 x x 0 f ( x) f ( x) 0 lim 2 0 lim 2 0 x 0 x x 0 x Cálculo 1 - Limites Teorema do confronto Se f, g e h são funções que estão definidas em algum intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no próprio x0, f(x) g(x) h(x), para todo x em I, tal que x x0 e então lim f ( x) lim h( x) L x x0 x x0 lim g ( x) L x x0 Cálculo 1 - Limites Ilustração do uso do teorema do confronto 1 lim x sen 0 x x0 2