LIMITE DE UMA FUNÇÃO II
Nice Maria Americano Costa Pinto
LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA
Se a função f(x) tende ao limite b1, quando x tende ao valor a por valores
inferiores a a, diz-se que b1 é o limite à esquerda de f, e escreve-se
lim
x a 
f ( x)  b1
Se a função f(x) tende ao limite b2, quando x tende ao valor a por valores
superiores a a, diz-se que b2 é o limite à direita de f, e escreve-se
lim
x a 
f ( x)  b2
Se os limites à esquerda e à direita da função f(x) existem e são iguais,
isto é, se b1= b2=b, então b é o limite de f(x), quando x → a.
Inversamente, se f(x) tem limite b em a, então os limites à esquerda e à
direita da função são iguais a b
2
Limite de f(x), x infinito
lim
f ( x)  b
x 
A função f(x) tende a um limite b, quando x  , se, para todo número
>0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um número N, tal
que, para todo x verificando x>N, tem-se a f(x)-b<  satisfeita.
Por exemplo, a função
f ( x) 
x 1
x
tem limite 1, para x  , isto é
x 1
1
x 
x
lim
De acordo com a definição, temos que mostrar x>N, se
x 1
1  
x
Portanto, temos que determinar N a partir de . Vejamos.
3
x 1
1  
x
x 1
1
1 1
1  1  1  
x
x
x
x
1
1
1
   x  , logo N 
x


4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-15
-10
-5
-0,5 0
5
10
15
-1
-1,5
y=1
1/x
f(x)=1+1/x
y=1
1/x
f(x)=1+1/x
5
FUNÇÃO TENDENDO AO INFINITO
Esta situação é distinta da anterior, pois examinaremos a situação da variável x
tendendo a um número finito e a função f(x) tendendo ao infinito.
lim
f ( x)  
x a
A função f(x) tende ao infinito quando x  a, se, para número positivo M, tão
grande quanto ele seja, pode-se encontrar um >0, tal que, para todos os valores
de x diferentes de a que verificam a condição x-a< , a inequação f(x) >M é
satisfeita.
Se f(x) tende ao infinito assumindo valores negativos ou positivos, diz-se,
respectivamente, que f(x) tende a -, + .
Exemplo
lim
x 1
1
 
(1  x) 2
6
lim
x 1
1
 
2
(1  x)
x 1  
x 1  
2
1
x 1
2

2
1

2
M
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FUNÇÃO LIMITADA
Definição: A função y= f(x) é dita limitada no domínio de definição de x, se existe
um número positivo M, tal que, para todos os valores de x pertencendo a este
domínio, tem-se que |f(x) | M.
Exemplo: y=f(x)= senx é limitada, pois, para -<x<+ , está |f(x) | 1.
Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→a, se existe uma vizinhança
de centro em a, dentro da qual a função é limitada.
Definição: A função y= f(x) é dita limitada quando x→, se existe um número
N>0, tal que, para todos os valores de | x |>N, a função é limitada.
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Infinitamente pequenos
Definição: Diz-se que =(x) é um infinitamente pequeno, quando x→a ou x→,
se lim (x)=0, quando x→a.
Então, pela definição de limite, vemos que para todo >0, existe um >0, tal que,
para todo x satisfazendo |x-a|< , tem-se |(x)|< .
A função = (x-1)2 é um infinitamente pequeno quando x→1, pois lim (x-1)2,
quando x→1 é 0.
Igualmente, =1/x é um infinitamente pequeno quando x→, pois lim 1/x=0
Teorema:
Se uma função y=f(x) pode ser posta na forma da soma de um número b com um
infinitamente pequeno (x), y=b + (x), então lim f(x)=b, quando x →a.
Inversamente, se lim f(x)=b, quando x → a então, pode-se escrever que
y=f(x)=b+ (x), ou seja, a função y é dada pela soma de seu limite b com um
infinitamente pequeno.
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Demonstração:
Se por hipótese y=b + (x), então, podemos escrever y-b= (x) e
|y-b|=| (x) |.
Como (x) é um infinitamente pequeno, tem-se
| (x) |<,
logo,
|y-b|=| (x) |<,
O que é a condição para b ser lim f(x).
Exemplo:
A função y=1+1/x. 1/x é um infinitamente pequeno quando x → ; lim y=1,
quando x → . Então y pode ser escrita como a soma de seu limite com um
infinitamente pequeno, y=1+
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Teorema 1: A soma algébrica de um número finito de infinitamente pequenos é
um infinitamente pequeno.
Teorema 2: O produto de um infinitamente pequeno por uma função limitada é um
infinitamente pequeno quando x →a ou x → 
Teorema 3: O quociente de um infinitamente pequeno, (x), por uma função, z(x),
cujo limite é diferente de zero é um infinitamente pequeno, i. e., (x)/ z(x) é um
infinitamente pequeno .
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Teoremas fundamentais
Teorema. O limite da soma algébrica de duas ou mais funções é igual à soma
dos limites dessas funções.
lim (u1+u2)= lim u1+lim u2
Demonstração:
lim u1  a1 , lim u2  a2 ...lim un  an .
u1  a1  1
u 2  a2   2
onde1 e  2 são inf init amentepequenos.
Então
u1  u2  a1  1  a2   2  a1  a2  (1   2 )
P elo teoremavisto antes
lim(u1  u2 )  a1  a2  lim u1  lim u2
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Teorema 2. O limite do produto de um número finito de funções é igual ao
produto dos limites dessas funções.
lim (u1(x) u2(x) ..un (x))= lim u1.lim u2.lim un
Demonstração (para duas funções):
lim u1  a1 , lim u2  a2
u1  a1  1
u 2  a2   2
onde1 e  2 são innitamentepequenos.
Então
u1  u2  (a1  1 )(a2   2 )  a1a2  1a2   2 a1  1 2
P elo teoremavisto antes
lim(u1  u2 )  a1  a2  lim u1  lim u2
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Teorema 2. O limite do quociente de duas variáveis é igual ao quociente dos
limites dessas variáveis.
lim (u/v)= lim u/lim v
Demonstração:
lim u  a, lim v  b
u  a  1
v b 
onde e  são inf initamentepequenos.
Então
u
a 
a a   a a b   a
(
) 
  
v
b
b b   b b b(b   )
P elos teoremasvistosantes
u
a lim u
lim( )  
v
b lim v
14
Exemplos
x  3x
3
 3
lim
 lim1    lim 1  lim  1  0  1
3
x 
x 
x
 x  x  x  x
3
2
lim10x 4  lim10 lim x 4  10 16  160
x2
x2
x2
x 1 0
x  1 lim
lim
 x 1
 0
x 1
x
lim x
1
x 1
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área do trianguloMOA  área do setor MOA  área do trianguloCOA
1
1
área do trianguloMOA  OA.MB  .1.senx
2
2
 1
1
área do setor MOA  OA. AM  .1.x
2
2
1
1
área do trianguloCOA  OA. AC  .1.tgx
2
2
1
1
1
.1.senx  .1.x  .1.tgx
2
2
2
senx  x  tgx
senx
x
tgx


senx senx senx
x
1
1

senx cox
senx
1
 cos x
x
m as
sen x
lim
x 0
x
M
C
x
O
B
A
lim cos  1 e lim1  1
x 0
senx
1
x 0
x
lim
x 0
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Continuidade das funções
Seja y=f(x) uma função definida para o valor x0 e numa certa vizinhança de x0;
seja ainda y0=f(x0).
Se à variável x damos um acréscimo x, passando do ponto x0 para x0+ x, a
função também sofrerá um acréscimo y, dado por
y=f(x0+ x)-f(x0)
y=f(x) é dita uma função contínua em x=x0, se ela é definida em x=x0 e numa certa
vizinhança de x0 e ainda se
lim y  0
x 0
ou
lim  f x0  x   f x0   0
x 0
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Teorema. Toda função elementar é contínua no ponto em que ela está definida
lim  f x0  x   f x0   0
x 0
lim f x0  x   lim f x0   f x0 
x 0
x 0
lim f x   f x0 
x  x0
Se uma das condições de continuidade não for satisfeita, i.e., se a função não
está definida em x0, ou, se o lim f(x), quando x →x0 não existe, a função é dita
descontínua em x0, ou, que há uma descontinuidade em x=x0
Exemplos
1
f x   não está definida em x  0
x
f x   2
1
x
1
x
lim 2  
x 0 
mas
1
x
lim 2  0
x 0 
é descont ínua em x  0
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lim f ( x)  1
x 0 
2
lim f ( x)  2
1
x 0 
é descontínua em x  0
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