Vamos começar!!!
“A vitalidade não se revela apenas na
capacidade de persistir, mas na de começar
tudo de novo!!!”
Scott Fitzgerald
Quem sou eu?
Nome: RÔ
Formação: Unicamp, Licenciatura e mestrado em
andamento.
Experiência: COC Campinas e Franca, SETA,
OBJETIVO, NOVO, GABARITO Franca, etc.
Assuntos do ano – Matemática II:
I – Trigonometria
II – Análise Combinatória e Probabilidades
III – RVISÃO FINAL para a:
a) FUVEST
b) UNICAMP
c) UNESP
d) SABESP, TELESP… (ahahahah!!!)
e) Federais em geral
f) Particulares famosas
Vamos
à Teoria!!!
Aula 1 – pg. 251.
RÔlações Trigonométricas no Triângulo Retângulo:
C
sen  
β
b
CO
cos  
a
tg  

b
sen  
a
H
a
CA
c
CA
b
H
CO


cos  
a
b
tg  
c
H
CO
CA
α
c

c
H
CA
A
CO
B


a
c
b
Olha que coisa BACANA, BATUTA, SUPIMPA!!!
PROPRIEDADE IMPORTANTE:
Quando α + β = 90° (par de Ângulos Complementares),
temos:
sen   cos 
sen   cos 
tg  
1
tg 
Atenção:
No Triângulo Retângulo, a trigonometria relaciona
um ângulo com 2 lados, através do seno,
cosseno e da tangente; assim, temos as seguintes
situações:
1. Ângulo desconhecido x:
1.1. Temos 2 lados dados e precisamos achar seno,
cosseno ou tangente;
1.2. Temos o seno, cosseno ou tangente e 1 dos lados
e precisamos achar o valor de outro lado;
1.3. Não dá para achar o valor de x, a não ser por
tabela dada.
2. Ângulo notável 30°, 45° ou 60°:
Aqui é fácil! Basta usarmos a “tabelinha” ou as
RÔDICAS para matar a questão!
I – Vamos cantar!!!
RÔ – HIT de sucesso:
“Os Notáveis (A Tabelinha)”
30°
45°
60°
Seno
1
2
2
2
3
2
Cosseno
3
2
2
2
1
2
3
1
3
Tangente
3
Mas, finalizando…
Temos 4 RÔDICAS (“Super Fashion”), para nos
ajudar a trabalhar com triângulos rapidamente:
RÔDICA N° 1:
CO
sen  
β
cos  
5
3
α
tg  
CO

3
sen  

4
H
5
H
5
CA
4
CA
3
H
CO
CA


5
3
4
cos  
tg  
H
CO


CA
4
Família do 3, 4 e 5: basta multiplicar por um fator x que
obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:
3
(6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16
__, 20); (1.8; 2.4; __)
5
4
3
Exercício 1: pág. 251.
RÔsolução:
Catetos 6 e 8… sem pensar: hipotenusa 10!!!
Este triângulo é da família 3,4 e 5: RÔDICA n° 1!!!
Atenção!!! Informação lá da Geometria: ao menor
lado está oposto o menor ângulo e vice-versa!!!
CO
3
Portanto:
sen  
10
6
α
8
cos  
tg  

H
5
CA
4
H
CO
CA


5
3
4
RÔDICA N° 2:
Família do 1, √3 e 2:
60°
1
x
1 – O cateto oposto a
30° é sempre a metade
da hipotenusa!!!
22x
30°
x 3
2 – O cateto adjacente a
30° é sempre o cateto
oposto vezes √3!!!
Basta multiplicar por um fator x que obtemos seus
“parentes” (Semelhança)! Ex.:
3 2√3)
6 (√3; __;
(5, 5√3, 10); (25, 25√3, 50); (3, 3√3, __);
Exercício 2 – UFPB: pág. 251.
RÔsolução:
Formando o triângulo retângulo e calculando os
ângulos internos, obtemos:
RÔDICA n° 2: Família 1, √3 e 2!!! (ângulo de 30°)
10
Qual o gabarito que
bate – que – bate???
60°
H=5
30°
H
Letra C
De Chocolate!!!
RÔDICA N° 3:
Família do 1, 1 e √2:
45°
x2 2
x1
45°
1 – Triângulo Isósceles:
2 ângulos de 45° e 2
catetos iguais!!!
2 – A hipotenusa é sempre
o cateto vezes √2!!!
x
1
Basta multiplicar por um fator x que obtemos seus
“parentes” (Semelhança)! Ex.:
√6 √6; 2√3)
(4, 4, 4√2); (25, 25, 25√2); (√3, √3, √6
__); (__;
Exercício 3 – UNESP: pág. 251.
RÔsolução:
√3 = 1,73
W
d
1. Quantos triângulos vemos na figura?
2. Completar ângulos e lados (usar RÔDICAS).
Portanto, sem fazer muitas contas (apenas
geometricamente), temos que:
d = x + 90 (1)
d = x.√3 (2)
15°
30°
45°
60° 45°
X x
Y
90
d=?
RÔsolvendo…
“Sobstitoyndo” a (2) em (1), temos:
1,73 x = x + 90
1,73 x – x = 90
Z
0,73x = 90
x = 90 / 0,73
x = 123,28
Letra C de CHOCOLATE!!!
Exercício 4: pág. 251.
Resolução:
A
P
1000
30° 30° d = x.√3
30°
1000
60°
x
B
1. Quantos triângulos vemos na figura?
2. Completar ângulos e lados (usar RÔDICAS).
Portanto, em uma linha: d = 500.√3 !!!
Gabarito: Letra b !!! De Bucéfalo, o Cavalo
de Alexandre Grande, o Grande!!!
RÔDICA N° 4: Generalizando…
Esta RÔDICA
explica todas as
3 anteriores!!!
F
F.senαFy
α
Fx
F.cosα
sen  
cos  
Fy
F
Fx
F
 F y  F .sen 
 F x  F . cos 
Exercício Extra: Aplicação na Física!!!
Decomposição de Vetores:
Decomponha o vetor F = 10 nos eixos vertical e
horizontal dado na figura abaixo:
F
Fy
25° 65°
Fx
Dados:
sen 65° = 0,90
cos 65° = 0,42
Fy = F. sen α
Fy = 10. 0,90
Fy = 9
Fx = F. cos α
Fx = 10. 0,42
Fx = 4,2