MATEMÁTICA I
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim
AULA 15: DERIVADA (DEFINIÇÕES)
DEFINIÇÕES
‫ݕ‬
A primeira derivada de
uma função num ponto é a
declividade
da
função
neste
ponto.
‫ݔ‬
A declividade de uma reta é definida como:
•
a tangente de seu ângulo de inclinação ou, de forma equivalente,
• como a taxa de variação da distância vertical (elevação) relativamente à
variação da distância horizontal (percurso), à medida que um ponto se
move ao longo da reta, em qualquer sentido.
= tan =
− Δ
=
− Δ
• A declividade de qualquer reta dada é uma constante.
DEFINIÇÕES
Para outras curvas a declividade não é constante e deve
ser determinada para cada ponto particular.
Suponha
que
Q = , quaisquer
R
P = , sejam
da
dois
curva
e
pontos
= .
Então, a declividade da reta R
(chamada secante) que liga os
pontos P e Q é dada por:
− Δ
= tan =
=
− Δ
DEFINIÇÕES
Suponha, agora, que o ponto P = , seja fixado, enquanto o
ponto Q = , é movimentado ao longo da curva = , em direção
ao ponto P.
À medida que o ponto Q = , se move, em geral, a declividade da
reta que liga P = , e Q = , variará.
• Geralmente,
à
medida
que
o
ponto
Q = , se se aproxima cada vez mais
do ponto P = , , a declividade da reta
R
‫ݕ‬ଶ
‫ݕ‬ଵ
secante varia em quantidades cada vez
menores e, de fato, aproxima-se de um
valor limite constante.
• Quando isto acontece, diz-se que o
Δ
lim = lim
→
→ Δ
é a declividade de em , valor
limite
é
a
declividade
tangente à curva em P = , .
da
DEFINIÇÕES
A declividade de uma função num dado ponto é a primeira derivada
da função neste ponto. Então:
Δ
+ Δ − = lim
= lim
→ Δ →
Δ
é a primeira derivada em relação a da função = .
• Este limite pode existir para alguns valores de e deixar de existir para
outros.
• Em cada ponto , onde este limite existe, diz se que a função = tem uma derivada ou diferencial.
•
ou ′ é a primeira derivada ou, simplesmente, a derivada de
= .
• O processo para se obter a primeira derivada de uma função é conhecido
como diferenciação.
DEFINIÇÕES
Deve-se observar que a primeira derivada de uma função em
relação a é, em geral, outra função de que deve ser calculada para
valores particulares.
• Exemplo 1. Utilizando a definição de derivada
+ Δ − = lim
→
Δ
encontre a primeira derivada de = 4 + 1.
= lim
→
= lim
= lim
→
→ = lim 4 = 4
→
Observe que ‫ = ݕ‬4‫ ݔ‬+ 1 representa uma reta e, portanto,
ௗ௬
ௗ௫
é uma constante.
DEFINIÇÕES
Exemplo 2. Utilizando a definição de derivada, encontre a primeira
derivada de = − 12 + 13. DICA: + = + 3 + 3 + →
= lim
= lim
= lim
య య →
య మ మ య య →
=
మ మ య lim
→
మ మ
= lim
= lim 3 Δ + 3 + Δ
= 3 − 12.
→
→
Observe que
ௗ௬
ௗ௫
− 12 = 3 − 12
é uma função de ‫ ݔ‬e pode ser calculada para qualquer valor de ‫ݔ‬.
EXERCÍCIO
A distância de um trem desde o seu ponto de partida, quando ele
viaja ao longo de um trilho em linha reta, é dada pela equação:
‫ = ݏ‬16‫ ݐ‬ଶ + 2‫ݐ‬
onde ‫ ݏ‬é a distância em quilômetros e ‫ ݐ‬é o tempo em horas.
(a) Encontre a distância percorrida após 2 horas.
(b) Encontre a velocidade após 2 horas.
EXERCÍCIO
Solução:
(a) Uma vez que a distância é dada por = 16 ଶ + 2, para = 2:
2 = 16 2
ଶ
+ 2 2 = 16 ∙ 4 + 4 = 64 + 4 = 68km
(b) A velocidade é expressa pela derivada primeira de em , assim:
=
lim
→
= lim
→
= lim
మ మ →
మ మ మ =
మ మ మ lim
→
=
మ lim
→
= lim 32
+ 16 Δ
+ 2 = 32
+ 2
→
Assim, a velocidade após 2h é de
= 32 2 + 2 = 66/ℎ.
APLICAÇÕES
Suponha que o custo total para se produzir e comercializar unidades de uma mercadoria seja dado pela função
= Então o custo médio por unidade é:
௬
௫
=
௙ ௫
௫
Se a produção aumentada é Δ, a medida desde um certo nível
, e se o acréscimo correspondente no custo é Δ, então o acréscimo
médio no custo por unidade acrescida na produção é
୼௬
୼௫
e o custo
marginal é definido por:
୼௬
୼௫→଴ ୼௫
lim
=
ௗ௬
ௗ௫
= ᇱ Isto é, o custo marginal é a derivada ݂ ᇱ ‫ ݔ‬da função custo total ‫ ݔ ݂ = ݕ‬em relação
a ‫ ݔ‬e é a taxa de acréscimo no custo total, em relação ao acréscimo na produção.
EXERCÍCIO
Considere a função custo total
‫ = ݕ‬0,5‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݔ‬+ 20
onde ‫ ݕ‬denota o custo total e ‫ ݔ‬a quantidade produzida.
(a) Calcule o custo médio;
(b) Calcule o custo marginal.