Ensino Superior
Cálculo 1
7- Regra de L’Hôpital
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma
0
0
– Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo
aberto I em torno de um ponto a, exceto possivelmente
no ponto a. Suponha que g(x)  0 para x  a I, x  a:
f '( x)
– Se lim f ( x )  0, lim g ( x )  0 e lim
 L,
xa
x a
x a g ' ( x)
então: lim
x a
f ( x)
g ( x)
 L,
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Utilizaremos a regra de L’Hôpital quando tivermos uma
função da forma
f ( x)
e ela apresentar
g ( x)
indeterminação.
• Exemplo
– Calcule
x 1
9
lim
x 1
x 1
8
– Temos uma indeterminação da forma:
– Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
x 1
9
lim
x 1
x 1
8
 lim
x 1
9x
8
8x
7
 lim
x 1
9x
8

9
8
0
0
.
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma


– A regra de L’Hôpital também vale para este caso.
• Exemplo
– Calcule lim
ln x
x  
x
– A indeterminação é da forma  , aplicando a regra de

L’Hôpital para este caso, temos:
1
lim
x  
ln x
x
1
x
 lim
 lim
0
x   1
x   x
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma 1 
– Quando temos que calcular um limite da forma
f(x)g(x) quando x tende a “a”, ou a +, ou a - , e
ocorre uma indeterminação da forma 1  , isto é, lim
f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o
logaritmo natural de ambos os membros da
igualdade y = f(x)g(x).
ln f ( x )
– Assim: ln y  g ( x ). ln f ( x ) 
1
g (x)
Cálculo 1 - Derivadas
– Temos então que: lim ln f ( x )  ln[lim
– e:
lim
1
0
f ( x )]  ln 1  0
e, portanto, ocorre agora uma
g ( x)
indeterminação da forma
0
.
0
– Aplica-se então a regra de L’Hôpital,
obtendo lim lny = L. Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos
que lim y = eL.
Cálculo 1 - Derivadas
• Exemplo
3x
1 

– Calcule lim  1 

x  

4x 
– Temos que:
• f ( x )  (1 
1
)
4x
– Temos que: lim
x  
e
g ( x )  (3 x )
1 

f ( x )  lim  1 
 1
x  
4x 

lim g ( x )  lim 3 x   
x  
x  
e
Cálculo 1 - Derivadas
– Logo, a indeterminação é da forma: 1 .
– Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos:
ln y  g ( x ). ln f ( x ) 
ln f ( x )
1
g (x)
– Cujo limite resulta na indeterminação da forma 0 . Aplicando a
0
regra de L’Hospital, temos:
1
lim ln y  lim ln
x  
x  
1
1
1
4 x  lim
x   
1
1
1 
3x
4x

2
3
4
x
.


1
4


2
3
x

– Como ln é uma função contínua, ln lim y  lim ln y  3
3
portanto, lim y  e 4
x  
x  
x  
4
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma
 .0

0
Transformamos esta indeterminação em uma do tipo ou:

0
• Exemplo
– Calcule lim x 3 .(1  e  2 x )
x  
lim x .( 1  e
3
2 x
x  
)  lim
(1  e
2 x
1
x  
x
)
 lim
x  
2e
2 x
 3x
2

2
3
lim
x  
3
– Aplicando reiteradamente a regra de L’Hôpital, temos:
lim
x  
x
e
2
2x
 lim
x  
2x
2e
2x
 lim
x  
1
2e
2x
 0, portanto, lim x 3 .(1  e  2 x )  0
x  
x
e
2
2x
Cálculo 1 - Derivadas
• Regra de L’Hôpital
– Indeterminação da forma   
– A idéia é transformar a indeterminação na forma 0 ou 
0
.

• Exemplo
– Calcule lim ( x  x 2  x )
x 
lim ( x 
x  

1
2
x  x )  lim x  1  1    lim
 x 
x   
x


– Por L’Hôpital,
1 1
1
1
12
1
1    2
1
2 
x
x
lim

x 
2
 1
 2 
x 
1
x
1
x

0
0
Cálculo 1 - Derivadas
Guillaume de L’Hôpital
DERIVADAS
DIFERENCIAIS
NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
=0
dk = 0
(k)´= 0
d(ku) = 0
(ku)´= 0
d(u+v) = du+dv
(u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv
(uv)´= u´v+v´u
(u + v) =
+
d(u/v) = (vdu –udv)/v2
(u/v)´= (u’v – v’u)/v2
n-1.du
d(un) = n.u
+
(un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du
(eu)´= eu.u´
DERIVADAS
DIFERENCIAIS
NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du
(au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du
(senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du
(cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du
(lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) =
du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)