Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
SER 202 - ANO 2015
Teoria da amostragem
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Algumas Considerações...
É importante ter consciência de que dominar as técnicas estatísticas não é
suficiente para garantir o sucesso de uma análise, ou seja, conseguir chegar a
conclusões “interessantes”.
De forma geral, para que as análises estatísticas sejam válidas, as amostras
devem representar a população, ou seja, a menos que discrepâncias ocorram
devido ao acaso, as amostras devem reproduzir as mesmas características da
população considerando a variável estudada.
É fundamental que as amostras sejam obtidas por processos adequados de modo
a evitar que erros grosseiros possam comprometer a análise dos dados.
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Algumas Considerações...
Em muitos casos, é bastante tentador que as observações mais convenientes
sejam as selecionadas para compor uma amostra ou então aplicar algum tipo de
critério (ou julgamento) no momento dessa seleção.
Nesses casos, pode-se introduzir algum tipo de tendência que poderá causar uma
super ou subestimativa dos parâmetros de interesse. A identificação (e
descrição) desta tendência é quase sempre difícil (ou impossível) de ser feita
após a coleta dessas amostras.
Assim, para se evitar esse tipo de problema, o ideal é que a seleção das amostras
seja feito através de algum processo aleatório, de modo que qualquer elemento
da população tenha igual chance de ser escolhido para compor a amostra.
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Censo ou Amostragem?
Por que fazer Censo?
•
a população é pequena ou amostragem indicada é quase tão grande quanto a população
•
necessita-se de uma precisão completa (não é permitido nenhum erro)
•
os dados de toda população já se encontram disponíveis
Por que fazer Amostragem?
•
a população é infinita (ou muito grande)
•
os custos de obtenção das medidas são elevados (análises muito caras)
•
o tempo para caracterização da população é muito longo
•
deseja-se aumentar a representatividade, amostrando-se diferentes subgrupos
•
necessita-se melhorar a precisão das medidas (mais cuidado na obtenção dos dados)
•
a obtenção das medidas requer a destruição das amostras (p. ex: biomassa)
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Amostragem
Toda amostragem requer planejamento
a) O que quero caracterizar neste estudo?
algum parâmetro específico (média, variância, etc),
distribuição espacial, variação temporal?
b) Qual é a unidade amostral apropriada para o estudo?
quem é o elemento da população?
c) Quantas amostras são necessárias?
qual é a precisão exigida?
quanto tempo e recurso disponho?
d) Como estas amostras devem ser coletadas?
qual é a variabilidade espacial e temporal?
quais fatores podem influenciar nos resultados?
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Unidade Amostral
A unidade amostral representa a menor entidade identificada na população e é
considerada o objeto de estudo.
Em um mapa, por exemplo, a unidade amostral pode ser:
• pontos simples (ou pixels numa imagem)
sorteio aleatório é facilitado
mesmo com GPS, a localização precisa pode ser difícil de ser alcançada
pode induzir a erros em regiões heterogêneas
• grupos de pontos ou pixels
considera a informação contextual
minimiza problemas de georreferenciamento
deve representar áreas homogêneas (deve-se evitar áreas de transição)
deve ser contabilizado como apenas uma observação e portanto deve-se adotar
uma medida representativa para o grupo (média, mediana, etc)
• polígonos (ou objetos)
mesmos benefícios encontrados em grupos de pontos
dificilmente há correspondência espacial perfeita com a realidade
• grupos de polígonos
útil quando os polígonos são muito pequenos
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Tamanho de Amostra
Quanto amostrar?
depende:
da variabilidade original dos dados (maior variância  maior n)
da precisão requerida no trabalho (maior precisão  maior n)
do tempo disponível (menor o tempo  menor n)
do custo da amostragem (maior o custo  menor n)
Em geral, é calculado com base no parâmetro que se deseja estimar e leva em
consideração as incertezas inerentes a esta estimação:
a) variação “natural” dos dados (variância populacional)
b) erros do tipo I e II
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Tamanho da Amostra
  
X   ~ N  0,

 n 
0,12
0,1

  0,08

P   z /2
 X    z /2
 1 
 0,06
n
n  0,04

e  z /2

n
 z /2  
2
 n
e

2

2
1
0,02
2
0
0
2
-
5
10
15
erro máximo
de estimativa
Proporção
 pq 
pˆ  p ~ N  0,

 n 
+
20
 pq 
pˆ  p ~ N  0,

 n 
0,14
0,12
0,1

pq
pq  0,08
 0,06
P  z / 2
 pˆ  p  z / 2
 1
n
n

 0,04
pq  n   z /2  pq
e2
n
2
e  z /2
 2 
X   ~ N  0,

 n 
Média
0,14
2

2
1

2
0,02
0
0
-
5
10
erro máximo
de estimativa
15
+
20
8
Tamanho da Amostra
Correção para populações finitas
(quando a amostra representa mais que 5% da população)
n' 
n = tamanho de amostra sem correção
N = tamanho da população
n' = tamanho de amostra corrigido
n
n 1
1
N
N 2  z / 2 
n' 
N  1e 2   2 z / 2 2
2
Para média:
Npqz / 2 
Para proporção: n' 
N  1e2  pqz / 2 2
2
9
Tamanho da Amostra
Exemplo: Deseja-se estimar a exatidão de um mapa de modo que o valor estimado
não ultrapasse em 8% a exatidão verdadeira (para mais ou para menos),
utilizando-se um nível de confiança de 95%. Suponha que a exatidão verdadeira é
de 80%.
z 
n   /2
2
pq
e2
1,962 0,80 0, 20
n
 96, 04
2
0, 08
n  96
No pior caso (maior variância), a exatidão verdadeira seria de 50%.
1,962 0,50 0,50
n
 150,06
0,082
n  150
10
Tamanho da Amostra
Pode também considerar também o erro  (tipo II)
Exemplo para proporção
Hipóteses
0,14
H0 : p = p0
0,1
0,08
H1: p < p0

P  pˆ  p0  z


p0 q0
n
0,06

  1  

1
0,04

0,02
0
0
5


p0 q0
p0  z
 p1 
 pˆ  p
n
1

P

 p1q1

p1q1


n
n


10
15
p0
p1
Considerando H1verdadeira (p = p1)
z
H0
H1
0,12


P  z


p1q1
 z
n
n

z

p0 q0
 p0  p1   

n

p1q1  z
 p0  p1 
p0 q0

2
2
11
Tamanho da Amostra
Exemplo: Deseja-se testar se a exatidão de um mapa é no mínimo de 85%,
adotando-se 5% de nível de significância. Deseja-se, ainda, fixar a probabilidade
em 6% de se aceitar um mapa com 81% de exatidão (erro tipo II).
0,14
H0 : p = 0,85
H0
H1
0,12
0,1
0,08
H1: p = 0,81
0,06
1
0,04
z

n

p1q1  z
 p0  p1 
1,555


p0 q0

2
0
0
2
0,81 0,19  1, 645 0,85 0,15
 0,85  0,81

0,02

2
5
10
0,85
0,81
15

2
n  896
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Tipos de Amostragem
Como amostrar?
amostragem probabilística X não probabilística
Amostragem probabilística:
cada elemento da população tem uma probabilidade (não nula) de ser escolhido
Amostragem não probabilística:
amostragem restrita aos elementos que se tem acesso (ex: estudo sobre ocorrência
de focos de dengue em casas de veraneio)
escolha a esmo (ex: estudo sobre a variabilidade no DAP em talhões de
reflorestamento de eucalipto)
impossibilidade de sorteio (ex: estudo sobre qualidade de água num rio)
amostragem intencional ou por julgamento (ex: estudo sobre o comportamento social
de machos adultos de muriquis)
voluntários (ex: estudo sobre a eficácia de uma nova vacina contra febre amarela)
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Amostragem Aleatória Simples
Escolhe-se n elementos de uma população de tamanho N
amostra = {X1, X2, ..., Xn}
Exemplo: escolher 10 pixels de uma imagem 13x17
etapas: rotular cada pixel com um código único
sortear aleatoriamente 10 códigos
(tabelas ou geradores de números aleatórios)
identificar os pixels selecionados
OBS: método mais simples
rotulação dos elementos pode ser dispendiosa
pressupõe população homogênea
não garante representatividade pois alguns
grupos (mais raros) podem não ser sorteados
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Amostragem Aleatória Estratificada
Primeiramente a população (N) é dividida em L sub-populações (estratos) com
N1, N2, ..., NL elementos. Para cada estrato, escolhe-se ni elementos
aleatoriamente, totalizando n elementos.
ni 
n
L
todos iguais
ni  n
Ni
N
proporcionais a Ni
ni  n
N i si
L
N s
i 1
i i
tamanho ótimo
(considera a variabilidade)
Exemplo: escolher 10 pixels de uma imagem 13x17
etapas: selecionar um estrato
rotular cada pixel com um código único
sortear aleatoriamente ni códigos
(tabelas ou geradores de números aleatórios)
identificar os pixels selecionados
repetir o processo para todos os estratos
OBS: garante menor variabilidade
garante melhor representatividade
pressupõe estratos homogêneos
requer conhecimento prévio sobre os estratos
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Amostragem Sistemática
Se os elementos da população já se encontram ordenados segundo algum
critério, pode-se selecionar um elemento qualquer e escolher um “passo” que
definirá qual será o próximo elemento escolhido.
1
10
20
passo = 5
Exemplo: escolher pixels de uma imagem 13x17 com
passos 5 em x e 4 em y
etapas: escolher aleatoriamente um pixel na célula
5x4 superior esquerda
com base nesse pixel, definir uma grade com
espaçamento de 5x4 elementos
identificar os pixels selecionados
OBS: amostra-se uniformemente todo o espaço
garante-se 1 amostra por célula (5x4 no exemplo acima)
pode-se não conseguir o valor exato de amostras
pretendidas
desaconselhado para ordenações periódicas
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Amostragem Sistemática Não Alinhada
A ideia é semelhante da amostragem sistemática
mas, nesse caso, tenta-se aleatorizar os passos de
modo a desalinhar as amostras sorteadas.
Ainda assim, garante-se apenas uma amostra para
cada célula
Exemplo: escolher pixels de uma imagem 13x17 com
passos máximos de 5 em x e 4 em y
etapas: a cada célula 5x4 da primeira linha, definir
um passo em y
a cada célula da primeira coluna, definir um
passo em x
identificar os pixels selecionados
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Outras Amostragens
Amostragem em múltiplos estágios
amostragem sistemática
dentro do talhão
talhões
Amostragem por conglomerados
amostra-se todos (ou alguns)
elementos do conglomerado
conglomerados
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