Conceitos de Sinais e Sistemas
Mestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
AT 2004
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•
•
•
•
•
Conceito de função
Sinusóides
Amostragem
Quantização
Bits e Bytes
Aula
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Variável
• Seja E um conjunto qualquer de números, finito ou
infinito, e convencionemos representar qualquer dos
seus elementos por um símbolo, por ex.: x.
• A este símbolo, representativo de qualquer dos
elementos do conjunto E, chamamos variável.
• Quando dizemos: seja E o conjunto dos números reais
do intervalo (0,1), e seja x a sua variável, que
queremos significar?
– Que o símbolo x, sem coincidir individualmente com
nenhum dos símbolos, é susceptível de os representar a
todos
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Função
• Definição:
– Sejam x e y duas variáveis representativas de
conjuntos de números; diz-se que y é função de x e
escreve-se
y=f(x),
– Se entre as duas variáveis existe uma
correspondência unívoca no sentido x y.
• a x a variável independente
• a y a variável dependente
• Usa-se escrever simplesmente y(x)
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Funções
• Modos de definição
– Analítica
• Ex: y=4.9 x2
– Geométrica
• Sistema cartesiano de referência
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Sinusóides
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• Formula geral
A cos (wot + )
A - amplitude
wo - frequência angular
 - fase
Exemplo de sinal sinusóidal: o produzido por um
diapasão
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Repetição
• Medição
– Período (ex: ms)
– Frequência (Hz)
• Número de ciclos por segundo
– Lembram-se dos 50 Hz da electricidade lá de casa ?!
• Percepção
– Gama de audição: 20-20 000 Hz
– Pitch: 100-250 (maior para crianças, canto)
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Fase
• Medida em graus
– 360 graus = 1 período
– 90 graus = ¼ período
1
0.5
0
• Pouco efeito na
percepção
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.5
0
-0.5
-1
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Sinais digitais
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Conversão A/D
• O processo pelo qual um sinal é convertido
numa representação digital é conhecido por
conversão analógica-digital (A/D conversion)
– O processo inverso D/A
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Amostragem
• Tira-se amostras do sinal espaçadas de um intervalo
de tempo fixo, o período de amostragem,
representado por Ta
• O período de amostragem depende da frequência de
amostragem (fa)
– Número de amostras por segundo
– Ex: fa=1000 Hz dá T=1/fa=1/1000=1 ms
• O número total de pontos de um sinal digital depende
da sua duração e da frequência de amostragem
– 5 segundos amostrados a 10 000 Hz dão 50000 amostras
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Amostragem de sinusóides
• Consideremos, por exemplo,
– x(t)=20 cos (2 40 t –0.4 )
• Temos de avaliar o valor de x(t) em valores de
tempo discretos, tn=n Ts, onde n é um inteiro
• Obtemos a sequência
– x(nTs)=20 cos (80 n Ts –0.4 )
• Ts é o período de amostragem
• n é um inteiro
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Em MATLAB
•
•
•
•
n=-7:5;
Ts=0.005;
tn=n*Ts;
xn=20*cos(80*pi*tn – 0.4*pi);
• plot(tx,xn);
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A nossa sinusóide de 2.5 Hz amostrada
fa=40 Hz
1
0
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4 fa=6
0.5Hz
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4 fa=4
0.5Hz
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0
-1
1
0
-1
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0.5
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Teorema de Nyquist
• Apenas ficar com algumas amostras do sinal
não leva a perder informação contida no sinal
analógico ?
– Nyquist mostrou que sinais com largura de banda
limitada – que contêm apenas uma certa gama de
frequências – podem ser reconstruídos
EXACTAMENTE do sinal amostrado desde que a
FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM SEJA O
DOBRO da maior frequência contida no sinal
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Exemplo
• Seja 100 Hz a frequência mais elevada contida
num sinal analógico
– Qual deve ser a frequência de amostragem a
utilizar ?
• E no caso do sinal de voz ?
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“Aliasing”
• Se usarmos uma
frequência inferior a 2x
a maior frequência
contida no sinal ocorre
o chamado “aliasing”
• Exemplo:
– Sinusóide de 14 Hz
– Sinusóide de 4 Hz
– Ambas amostradas a 10
Hz
– Amostras são as mesmas
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1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.5
0
-0.5
-1
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Quantização
• Os valores contínuos da amplitude também
têm de ser convertidos em valores tratáveis
pelo computador
– Os computadores guardam os números usando 0s e
1s, os chamados bits
– 3 bits dá para representar 8 números diferentes
• 000 001 010 011 100 101 110 111
• Este processo designa-se por quantização
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Exemplo de quantização
• 8 bits
1
0
-1
• 7 bits
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
-1
• 3 bits
1
0
-1
• 2 bits
1
0
-1
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Número de bits
• 8 bits
– 256 níveis
– Se tivermos sinal entre – 1 e + 1 V
• Erro máximo 3.4 mV (mili=0.001)
• 16 bits
– 65536 níveis
– Se tivermos sinal igual ao anterior
• Erro máximo 15 microV (micro=0.000001)
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Representação de sinais digitais
• Depois da amostragem e quantização ficamos
com uma lista de números que facilmente se
podem tratar em programas como o SFS e o
Matlab
– As sinusóides que temos vindo a ver são de facto
listas de números como a seguinte:
•
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0
0.0251
0.0502
0.0753
0.1004
0.1253
0.1502 0.1750
0.1997
0.2243 ....
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Quantos Hz ? Quantos bits ?
• Para sinal de voz ?
• Para música (CD) ?
– Quais os valores utilizados pelos leitores de CD ?
– E pelos DATs ?
• Para sinal medindo a abertura e fecho das
cordas vocais ?
• Para sinal gravado via telefone ?
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TPC 
• Lêr secções 15 a 28 do livro “Conceitos
Fundatmentais da Matemática” de Bento de
Jesus Caraça
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