APLICAÇÕES DE LT
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Sistema com
1 pólo real
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
s
H(s) 
(s  ) 2  c2
h( t )  e
t
 Influência de α e Ωc
cos(c t)u(t)
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Pólos reais
negativos
 Decaimento de h(t),
 Pólos reais
t∞
positivos
 Ampliação de h(t),
t∞
 Proximidade com σ
= zero
 Redução do fator de crescimento/decaimento de
h(t)
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Re{pólos}
< zero
 Decaimento de h(t),
 Re{pólos}
> zero
 Crescimento de h(t),
 Re{pólos}
 h(t)
t∞
t∞
= zero
estacionário, t∞
 Proximidade de
Re{pólos} em relação a σ = zero
 Redução da taxa de decaimento/crescimento de h(t)
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Consideração de
pares de pólos complexos
 Conjugados complexos
 Proximidade de
Im{pólos} em relação a Ω = zero
 Redução da taxa de decaimento/crescimento de h(t)
Aplicações de LT

Resposta ao Impulso
 Um
sistema LTI é estável se todos os seus pólos se
localizarem no semiplano esquerdo aberto do
plano complexo s
 Re{sp}<0
Aplicações de LT

Efeitos de zeros em LTI
 Na
freqüência
 Alteração da resposta em

freqüência
Exemplo: passa-alta para passa-baixa
 No tempo
 Presença de discontinuidades da forma δ(t)

Inclui derivadas de δ(t)
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sabemos que
 Na prática,
h(t) ocorre quando x(t) = δ(t)
não conseguimos produzir tal sinal
 Podemos encontrar h-1(t)
com base em h(t)
 Resposta ao degrau unitário
 Ação de chave liga-desliga
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
N(s)
N 1 (s) H(0)
H(s) 
 H 1 (s) 

D(s)
D(s)
s
 Transitório
 N-1(s)/D(s)
 Assumindo pólos no semiplano esquerdo real
 Regime
permanente
 H(0)/s
H(0)u(t)
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
1 pólo real
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
2n
H(s)  2
2
s  2n s  n
 n     2 1  t
 n     2 1  t






e
e
h 1 ( t )  

 1 u ( t )   1
 2  2 1    2 1 2  2 1    2 1 



 Influência de ζ
 
(zeta) e Ωn

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
2n
H(s)  2
2
s  2n s  n
1  (1   n t )e n t
h 1 ( t )  u ( t )  
 n t
1

(
1


t
)
e
n

 Influência de ζ
(zeta) e Ωn
  1
  1
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
Variação de ζ
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
Variação de Ωn
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
 H(s)

1 pólo real
= 1 / (1 – s/p)
Magnitude do pólo  Influência do transitório

Constante de tempo do sistema (τ = – 1/p)
 Exemplo:

filtro RC
τ = – 1/RC
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
 Ωn
2 pólos complexos conjugados
(≠ Ωc) controla a taxa de oscilação do transitório

Manutenção da amplitude da n-ésima oscilação.
 ζ<0


Sistema instável
Pólos no semiplano direito aberto do plano s
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
 ζ<0


Sistema instável
Pólos no semiplano direito aberto do plano s
Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário
 Sistema com
2 pólos complexos conjugados
 0<ζ<1


Pólos complexos (conjugados simétricos)
Sistema estável e subamortecido
 ζ>1


Pólos reais distintos
Sistema estável e sobreamortecido
 ζ=1


Pólos reais iguais
Sistema estável e amortecido criticamente
Aplicações de LT

Resposta a Sinal Senoidal
 Se x(t)
= cos(Ω0t)
N(s)
s
Y(s) 
D(s) s 02  02
N 1 (s)
s


 Re{H( j0 )} 2
 Im{H( j0 )} 2
2
D(s)
s 0  0
s 0  02
 Regime permanente
y(t)  H( j0 ) cos0 t  H( j0 )
Aplicações de LT

Resposta a Sinal Senoidal
 Se x(t)
= cos(Ω0t)
 Regime permanente
y(t)  H( j0 ) cos0 t  H( j0 )
 Sistema h(t)
altera apenas amplitude e fase da
componente Ωo

Não sua freqüência.
Aplicações de LT

Resposta a Sinal Genérico
N(s)
N 1 (s) N x 1 (s)
Y(s) 
X(s)  H 1 (s) 

D(s)
D(s)
D x (S)
 Transitório
 N-1(s)/D(s)
 Assumindo pólos no semiplano esquerdo real

Sistema BIBO
 Regime
 ILT{Nx
permanente
(s)/Dx(s)} é estacionário
-1
Aplicações de LT

Relação entre LT e FT
 Avaliação de
H(s) para s = σ + jΩ = zero + jΩ
 Exemplo:
s 2  2s  17
H(s)  2
s  4s  104
 Quais os zeros e pólos?
Aplicações de LT

Relação entre LT e FT
 H(s)
é “tridimensional”
Aplicações de LT

Relação entre LT e FT
 H(s)
é “tridimensional”
Aplicações de LT

Relação entre LT e FT
 H(s)
é “tridimensional”
Aplicações de LT

Diagrama de Blocos
 Lembrando
 Integração (no tempo)
 1/s no domínio de Laplace
Aplicações de LT

Diagrama de Blocos
 Forma direta
X(s)
II
1/an
+
bn
+
–
1/s
+
an-1
bn-1
+
1/s
+
+
an-2
bn-2
a1
b1
1/s
a0
b0
+
+
Y(s)
Aplicações de LT

Diagrama de Blocos
 Decomposição de
H(s) em pólos e zeros
s  z1 s  z M
1
1
H(s)  A


s  p1 s  p M s  p M1 s  p N
Xk(s)
+
+
–
–
1/s
+
-pk
zk
+
Yk(s)
Aplicações de LT

Diagrama de Blocos
 Decomposição de
H(s) em pólos e zeros
s  z1 s  z M
1
1
H(s)  A


s  p1 s  p M s  p M1 s  p N
Xk(s)
+
Yk(s)
–
1/s
+
-pk
Aplicações de LT

Diagrama de Blocos
 Decomposição de
H(s) em pólos e zeros
 Cascateamento de sub-blocos
 Paralelismo de sub-blocos
 Para
pólos complexos em pares conjugados
 Diagramas de segunda ordem