ADL17
4.1 Pólos, Zeros e Resposta do Sistema
A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural.
Embora diversas técnicas, como a solução de equações diferenciais ou a aplicação da transformada de
Laplace permitam calcular essa resposta, tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo.O uso de
pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no domínio do tempo simplifica e torna mais
rápida a análise.
Pólos de uma Função de Transferência
1.
valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se
tome infinita
2.
quaisquer raízes do denominador da função de transferência que sejam comuns às raízes do
numerador.
Zeros de uma Função de Transferência
1.
os valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se
torne igual a zero.
2.
quaisquer raízes do numerador da função de transferência que sejam comuns às raízes do
denominador.
3.
Pólos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem: Um Exemplo
Dada a função de transferência G(s) da figura, há um pólo em s = —5 e um zero em —2. Estes valores são
plotados no plano complexo s
Vejamos a resposta do sistema a um degrau unitário. Multiplicando a função de transferência da figura pela
transformada de um degrau resulta
(4.1)
onde
Assim,
(4.2)
Podemos concluir que:
1. Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada (isto é, o pólo na origem gerou a
função degrau na saída).
2. Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural (isto é, o pólo em —5 gerou
e-5t ).
3. Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma e- t, onde - é a localização
do pólo sobre o eixo real. Assim, quanto mais à esquerda fique situado o pólo sobre o semi-eixo
real negativo, tanto mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para zero.
4. Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natural e forçada (isto pode ser
visto a partir dos cálculos de A e B na Eq. (4.1)).
Exemplo 4.1
Cálculo da resposta usando pólos
Problema , escrever a saída, c(t), em termos genéricos.
(4.3a)
Solução Por inspeção. cada pólo do sistema gera uma exponencial como parte da resposta
natural. O pólo da entrada gera a resposta forçada. Por conseguinte,
(4.3b)
Aplicando a transformada de Laplace inversa, obtemos
(4.4)
4.3 Sistemas de Primeira Ordem
Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência mostrada na
figura abaixo. Se a entrada for um degrau unitário, onde R(s) = l/s, a transformada de Laplace da
resposta ao degrau será C(s), onde
(4.5)
Aplicando a transformada de Laplace inversa, a resposta ao degrau é dada por
(4.6)
onde o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada cf(t) = 1, e o pólo do sistema em
-a, gerou a resposta natural cn(t) = -e-at . A Eq. (4.6) está plotada na Fig. 4.5.
Examinemos a importância do parâmetro a, o único parâmetro necessário para descrever a
resposta transitória. Quando t = 1/a
(4.7)
(4.8)
Constante de Tempo
Chamamos 1/a de constante de tempo da resposta. Com base na Eq. (4.7), podemos descrever a
constante de tempo como o tempo necessário para que a resposta c(t) se reduza a 37% do seu valor
inicial. Alternativamente, com base na Eq. (4.8), a constante de tempo é o tempo necessário para que
a resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final (ver Fig. 4.5 abaixo).
O inverso da constante de tempo é homogêneo a l/segundos, ou seja, a freqüência. Assim, podemos
chamar o parâmetro a de freqüência exponencial. Como a derivada de e-at é -a para t = 0. a é a taxa inicial
de variação da exponencial em t =0. A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama
de pólos (ver figura da pág. Anterior).Quanto mais longe do eixo imaginário o pólo se situa, tanto mais rápida
será a resposta transitória.
Tempo de Subida,Tr
O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu
valor final.
O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq. (4.6) . Portanto,
(4.9)
Tempo de Assentamento (acomodação), Ts (Ta)
O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de 2%
em torno do valor final e aí permaneça. Fazendo c(t) = 0,98 na Eq. (4.6) e resolvendo cm função de t:
(4.10)
Funções de Transferência de Primeira Ordem Obtidas Experimentalmente
Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de um sistema.
Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente. Com uma entrada
em degrau, podemos medir a constante de tempo e o valor de estado estacionário, a partir de cujos valores
podemos calcular a função de transferência.
Considere um sistema de primeira ordem simples, G(s) = K/(s + a), cuja resposta ao degrau é
(4.11)
Se pudermos identificar os valores de K e de a de ensaios em laboratório, poderemos obter a
função transferência do sistema.
Por exemplo, suponha que a resposta ao degrau unitário seja dada na Fig. 4.6.
• Curva com ausência de ultrapassagem e inclinação inicial não-nula.
• Valor final é cerca de 0,72,
• Constante de tempo é calculada onde a curva chega ao valor 0.63 X 0,72 = 0,45, ou seja cerca
de 0.13 s. Em conseqüência, a = 1/0,13 = 7,7.
Com base na Eq. (4.11). a resposta forçada alcança o valor estacionário K/a = 0,72.
Substituindo o valor de a, obtemos K = 5,54. Assim, a função de transferência do sistema é G(s) =
5,54/(s + 7,7).