a. Sistema de primeira
ordem;
b. gráfico do pólo
plano s
Resposta de
um sistema
de primeira
ordem a um
degrau
unitário
Inclinação inicial
Constante de tempo
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
63% do valor final para
t = uma constante de tempo
DEFINIÇÕES
• Constante de Tempo para um sistema de
primeira ordem é o tempo necessário para
que a resposta ao degrau alcance 63% de seu
valor final;
1
Tc 
a
• Tempo de Subida para um sistema de primeira
ordem é o tempo necessário para que a
resposta ao degrau varie de 10% até 90% de
seu valor final
2,2
Tr 
a
DEFINIÇÕES
• Tempo de Estabilização para um sistema de
primeira ordem é o tempo necessário para o
que a resposta ao degrau alcance 98% do
valor de estado estacionário da resposta
4
Ts 
a
EXEMPLO:
Resultados de
laboratório de um
ensaio com
resposta de um
sistema ao
degrau. Encontre
a Função de
Transferência
deste sistema
0,8
0,72
0,7
0,6
0,5
0,45
0,4
0,3
0,2
0,1
0,13
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Tempo (s)
0,6
0,7
0,8
Exemplo
• A resposta ao degrau mostrada no gráfico
anterior foi traçada para:
5
G s  
s7
EXEMPLO
• Calcule o Valor Final, Constante de Tempo, o
Tempo de Estabilização e o Tempo de Subida
para o sistema de primeira ordem mostrado
abaixo quando o mesmo é submetido a uma
entrada degrau unitário:
50
G (s) 
s  50
EXEMPLO
1
Tc 
a
2,2
Tr 
a
4
Ts 
a
50
50
c   lim sG s   lim s
 lim
1
s 0
s 0
ss  50 s 0 50
1 1
Tc  
 0,02
a 50
2,2
Tr 
 0,044
50
4 4
Ts  
 0,08
a 50
Resposta no Domínio do Tempo:
Sistemas de segunda ordem:
• Resposta Superamortecida;
• Resposta Subamortecida;
• Resposta sem Amortecimento;
• Resposta Criticamente Amortecida;
• Frequência Natural;
• Relação de Amortecimento;
Sistemas de Segunda Ordem
b
G s   2
s  as  b
Encontre a resposta ao degrau para os
quatro sistemas de segunda ordem
mostrados abaixo:
G s  
9
s 2  9s  9
9
G s   2
s  2s  9
9
G s   2
s 9
9
G s   2
s  6s  9
Generalizando um sistema de Segunda
Ordem

Gs   2
2
s  2n s  n
2
n
• Frequência Natural do Sistema
n
• Relação de Amortecimento do Sistema

Definição da Relação de
Amortecimento - 
• Relação entre a “frequência exponencial de
decaimento” e a “frequência natural não
amortecida do sistema”:


n
b
G s   2
s  as  b
• Para um sistema sem amortecimento os pólos
estão no eixo imaginário e portanto na
expressão acima
a0
Definição da Relação de
Amortecimento - 
• Portanto os pólos valem:
• Logo:
s1, 2   j b
n  b
b   n2
• Para o sistema amortecido as raízes valem:
s1, 2  
a
 
2
a 1

a 2  4ab
2 2
Definição da Relação de
Amortecimento - 
• Temos então:


n
a
 2
n
a  2 n
n2
G s   2
s  2 n s  n2
Respostas de segunda ordem em função da
relação de amortecimento
Parâmetros de Desempenho de
Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Subida: tempo para a resposta
variar de 10% até 90% do seu valor final;
• Tempo de Estabilização: tempo necessário
para que a resposta ao degrau alcance 98% do
valor de estado estacionário;
Parâmetros de Desempenho de
Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Pico: tempo necessário para que a
resposta alcance seu valor máximo;
• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível
Percentual): O quanto o valor da resposta (em
Percentual) ultrapassa no tempo de pico o
valor de estado estacionário da resposta.
Especificações da
resposta de
segunda ordem
subamortecida
máx
1,02
0,98
0,9 cfinal
0,1
0,1 cfinal
Tempo de Pico
dct 

 sC s   2
dt
s  2n s  n2
2
n
n2
sC s  
2
s  n   n2 1   2 
n 1  
n
sC s  

2
2
2
2
1   s  n   n 1   
dct 
n

e  t sen n 1   2 t
dt
1 2
2
n


Tempo de Pico


n
dct 

e nt sen n 1   2 t  0
dt
12


sen n 1   t  0


1   2 t  n
n
t
2
n
n 1  

Tp 
2
n 1  
; n  0,  1,  2 ...
 T p ocorre para n  1 
2
Percentual de Ultrapassagem
(Sobrenível Percentual)



c t   1  e
sen  1   t 
cos 1   t 
1


n t
2
n

c t   1  e
c t   1  e
c t   1  e
%UP  e




n 1 2

1 2


n 1  

2

tem os:






2
2
cos

1



sen

1



n
n
2
2
n 1  
1
n 1   2




sen 
cos 
2
1



1 2

1 2
n
2
para t igual ao tem po de pico T p 
n
2
x100%



Tempo de Estabilização
c t   1 
1
12
1
1
2
 
e nt  0,02
e nt  0,02 1   2

 n t  ln 0,02 1   2
Ts 
 
e nt cos n 1   2 t  

 ln 0,02 1   2
n






  0,1  ln 0,02 1   2  3,92 ;   0,9  ln 0,02 1   2  4,7
Ts 
4
n
%UP  e

Tp 
 

2

1







X 100 %
 ln%UP / 100
  ln %UP / 100
2
2

n 1  
2
Ts 
4
n
Ultrapassagem percentual,%UP
Ultrapassagem
percentual em
função da relação
de amortecimento
0,1
0,2
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Relação de amortecimento, 
0,8
0,9
Coeficiente
de
amortecimento
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
3,0
Tempo de subida × Freqüência natural
Tempo de subida
normalizado
versus relação de
amortecimento
para uma
resposta de
segunda ordem
subamortecida
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
Tempo de
subida
normalizado
1,104
1,203
1,321
1,463
1,638
1,854
2,126
2,467
2,883
1,6
1,4
1,2
1,0
0,1
0,2
0,5
0,4
0,6
0,3
Relação de amortecimento
0,7
0,8
0,9
Respostas de
segunda ordem
subamortecidas
com os valores
da relação de
amortecimento
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
Exemplo
• Encontre Tp , %UP e Ts para uma entrada
degrau para o sistema abaixo
100
G s   2
s  15s  100
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO
DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO
PLANO “s”
 d  FREQUÊNCIANATURAL
AMORTECIDA
plano s
 d  FREQUÊNCIAEXPONENCIAL
AMORTECIDA
cos 
n
n 2  n
1 2

2

 d  FREQUÊNCIADE OSCILAÇÃOAMORTECIDA
 d  FREQUÊNCIAEXPONENCIAL AMORTECIDA


Tp 

 n 1   2 d
Ts 
4
n

4
d
Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e
ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2
cos 
n
n 
2

 n 1  
2

2

%UP1
%UP2


Tp 

 n 1   2 d
Ts 
4
n

4
d
plano s
Respostas ao degrau de
sistemas de segunda
ordem subamortecidos
à medida que os pólos
se movem:
a. com parte real
constante;
b. com parte imaginária
constante;
c. com relação de
amortecimento
constante.
A mesma envoltória
plano s
Movimentação
do pólo
A mesma freqüência
plano s
Movimentação
do pólo
A mesma ultrapassagem
plano s
Movimentação
do pólo
Exemplo:
Encontre
 , n , Tp ,%UP, Ts
plano s
%UP  e

Tp 
 

2

1







x100 %
 ln%UP / 100
  ln %UP / 100
2
2

n 1  
2
Ts 
4
n
Resposta de Sistemas com três pólos
A Bs  n   Cd
D
C s   

2
2
s
s  n   d s  r
ct   A  ent B cosd t  Csend t   Dert
Influência de Terceiro Pólo em um
sistema de Segunda Ordem
• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo
menor sua influência na resposta
• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o
pólo menor será o resíduo associado a este
pólo (ver exemplo a seguir)
Influência do Resíduo do Terceiro Pólo
2
2 t


C s  

c
t

....

0
,
5
e
s s 2  2 s  2 ( s  2)
2
5 t


C s  

c
t

....

0
,
024
e
s s 2  2 s  2 ( s  5)
2
10 t


C s  

c
t

....

0
,
0024
e
s s 2  2 s  2 ( s  10)
e 2  0,135 , e 5  0,0067 , e 10  0,000045
Validade de aproximação de Segunda
Ordem
• Como os pólos adicionais devem estar o mais
à esquerda do eixo imaginário,
consideraremos que um sistema com três (ou
mais) pólos pode ser aproximado por um
Sistema de Segunda Ordem se os pólos
adicionais estiverem a esquerda dos pólos
dominantes, pelo menos cinco vezes mais
distantes.
EXEMPLO
•
•
•
24,542
C1 s  
2
s s  4 s  24,542
245,42
C2 s  
2
s s  4 s  24,542s  10
73,626
C3 s  
s s 2  4 s  24,542s  3
-2.0000 + 4.5323i
-2.0000 - 4.5323i
1,4
1,2
Resposta normalizada
Respostas ao
degrau dos
sistemas T1(s),
T2(s) e T3(s)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,5
1,0
1,5
Tempo (s)
2,0
2,5
3,0