Aula Teorica 5: Resposta dinâmica dos Sistemas
Lineares
Conteudo
• Noções de estabilidade
• Dinâmica dos Sistemas de 1a ordem
• Dinâmica dos Sistemas de 2a ordem
• Sistemas de Ordem Superior
A resposta no tempo de um sistema de controle se divide em duas partes
Y (t )  Y1 (t )  Yss (t )
A resposta
transitória
Como a massa , a inércia e a indutância
são inevitáveis nos sistemas físicos
estes sempre necessitam um transiente
para responder
É muito importante quanto se desviam
os sistemas da resposta desejada antes
de estabilizar-se
A resposta em
estado estável
A resposta em estado estável indica
onde termina a saída quando
o tempo se faz grande
É um indicador da exatidão do sistema,
se a saída para final não coincide com
a referência há um erro em estado
estável
O estudo da resposta transitória envolve a ambos
e os requisitos de desenho também
Sinais de entradas tipicas para obter respostas no tempo
em sistemas de controle
Problema
Entradanos sistemas de controle práticos podem variar de forma aleatória e muitas
vezes não se conhecem
Exemplo
Em um sistema de rastreamento por radar de
mísseis anti-aéreos a posição e a velocidade do
branco pode variar de forma imprevisível
Solução ao problema
Estabeleceram-se um conjunto de sinais de prova, mediante as quais se pode
predizer o que aconteceria outros sinais
Sinais típicos de prova
1-
Entrada degrau
Ao ter um salto instantâneo inicial revela que tão rápido o
sistema responde a entradas bruscas
observações
Como resultado da discontinuidad do salto, a função contém
um espectro com uma banda larga de freqüências,
o que é equivalente a um sem número de sinais senoidales
com um intervalo de freqüências grandes
2-
Entrada rampa
observação
Serve para provar como se comportam os sistemas
a sinais que variam linealmente com o tempo
3-
Entrada parabólica
observação
Representa um sinal que tem uma ordem mais
rápida que a rampa
Até aqui
Tivemos sinais de prova típicas
Degrau
Rampa
Parábola
1
G (s) 
S  1
constante
de tempo
Tivemos funções de transferências típicas
wn2
G( s)  2
S  2wn S  wn2
Teremos respostas transitivas típicas
razão de a
mortização

freqüência
natural de
oscilação
wn
Resposta transitoria de sistemas de primeira ordem
Nota:
Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica
para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da
resposta às outras duas entradas
Y (s)
1

X ( s ) TS  1
1
X (s) 
degrau unit ário
S
1
1
Y ( s) 
*
TS  1 S
1
1  Consulta em
1 
Y (t )  L 
*  uma tabela
TS  1 S  de transformada
Y (t ) 1  e

t
T
Expressão analítica
Y (t ) 1  e

t
T
Representação gráfica
Valor final
t 
Observe
Quando o tempo transcorrido
é o equivalente a uma
constante de tempo
Y (t )  0.632*Vf
Valor inicial
t 0
Quando o tempo transcorrido
é o equivalente a 4 constantes
de tempo
Y (t )  0.982*Vf
Notas importantes
Conhece-se como constante de tempo de um sistema, o tempo que a
resposta deste sistema a uma entrada degrau alcança o 63,2% do valor
final
Conhece-se como tempo de estabelecimento , ao tempo que demora a
resposta deste sistema entrada degrau em alcançar o 98 % do valor final
t s  4T
Existem outros critérios relacionados com o tempo
de estabelecimento, associados aos 95% e ao 99%
que são menos usados
TPC
Os alunos devem obter a resposta analítica e gráfica do sistema de
primeira ordem às outras entradas mencionadas em aula
Os alunos devem estudar e aprender a entrada de prova nomeada
impulso e obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira
ordem para esta entrada
Resposta transitoria de sistemas de segunda ordem
Nota:
Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica
para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da
resposta às outras duas entradas
wn2
Y ( s)
 2
X ( s ) S  2wn S  wn2
X (s) 
1
S
wn2
1
Y (s)  2
*
2
S  2wn S  wn S
2

w
1
1
n
Y (t )  L  2
* 
2
 S  2wn S  wn S 
Observe

wn2
1
Y (t )  L 
* 
 ( S  p1 )(S  p2 ) S 
1
Quais são p1 e p2?
p1, 2
 2wn  4 2 wn2  4 wn2

2
 wn  wn  2  1
Agora bem
Si   1
p1  p2  wn
Si  1
p1, 2  wn  wn  2  1
Si  1
p1, 2  wn  jwn 1   2
raízes reais e iguais
raízes reais e desiguais
raízes complexas conjugadas
Então
Se as raízes
forem de distinto
tipo
Transformada-a inversa
será também distinta
Y (t)
(tabela de
transformada)
 1
raízes complexas conjugadas
sub amortecida
 1
raízes reais e desiguais
 1
raízes reais e iguais
sobre amortecida
criticamente amortecida
Os sistemas de controle se desenham para que a resposta
seja ligeiramente sub amortecida
Por isso nos deteremos
0.4 0.8
com maior interesse
neste tipo de resposta

Tempo de retardo td
É o tempo requerido
para que a resposta
alcance a primeira
vez a metade do valor
final
Tempo de levantamento tr
É o tempo requerido
para que a resposta
passe do 10 aos 90%,
do 5 aos 95% ou do
0 aos 100% de seu
valor final
 1
Ultrapasso máximo Mp
indica por quanto
excede a resposta
ao valor final ao que
ela tende
Tempo de Pico tp
É o tempo requerido para que
a resposta alcance o primeiro
pico de ultrapasso
Tempo de assentamento ts
É o tempo requerido para
que a resposta alcance
uma fila ao redor do valor
final ( de 2 a 5%)
Se conhecermos todas estas especificações a resposta transitiva fica
definitivamente determinadas
Todas as especificações podem obter-se da expressão matemática da resposta
de um sistema de segunda ordem típica sub amortecido
em função dos valores da razão de amortização
e da freqüência natural de oscilação

wn
Fazendo esta
representação para
as raízes complexas
conjugadas
wn  wn  2  1

Parte
real
d
Parte
imaginária
Tivemos
percentual
Importante :
essa constante de tempo T
é a que lhe corresponde
à curva envolvente da
resposta sub amortecida
Exemplo
Conhecendo o diagrama de blocos de um sistema de controle como o
que se mostra, determine as especificações da resposta transitiva a entrada
degrau unitário
Primeiro passo
Encontrar a função de transferência que relaciona a entrada e
a saída
25
C (s)
25
S ( S  6)

 2
R ( s ) 1  25
S  6 S  25
S ( S  6)
Segundo passo Identificar os valores para a razão de amortização e a freqüência
natural
  25 n  5
2
n
2 n  6
6
 
 0 .6
2*5
Terceiro passo Calcular as especificações segundo as expressões conhecidas
  1  2
 n
 
  tan1  d    tan  
n
 
 

tr 

d
d
n 1   2
1
tp 



 0.78seg
d n 1   2
Mp e
ts 


1 2
4
 n
 0.094
 1.33seg
(9.4%)

 1  2

1
   tan 

 


n 1   2



  0.55seg
Observações Importantes
+
Algumas ideia
Se um sistema é estável, então os pólos que estão longe do eixo jω tem
partes reais negativas de valor grande, e os termos exponenciais
correspondentes a estes pólos decaem rapidamente a zero.
e 10t
produz
e 5 t
decai mais rápido
Se as relações entre as partes reais dos pólos excedem cinco e não existem zeros na
vizinhança, então os pólos de malha fechada mais próximos do eixo jω dominarão a
resposta transitória.
p2
2
p1
Não
o mais distante do eixo jω é
chamado DOMINADO.
p2
6
p1
Sim
Este pólo chamado DOMINANTE
EXEMPLO:
(Sistema de terceira ordem)
Resposta ao degrau unitário:
Este sistema é dominante de segunda ordem, pois o pólo s= - 10 está muito distante do
eixo jω.
Assim
Podemos fazer uma aproximação para um sistema de segunda ordem.
Sistema de terceira ordem
Sistema de segunda ordem.
Para desprezar o efeito de um pólo em uma função de transferência,
devemos fazer s=0 na parte correspondente a este pólo.
No exemplo, temos:
a resposta ao degrau unitário é:
A figura abaixo mostra as curvas exata e aproximada:
Sistema de
segunda
ordem.
Sistema de terceira ordem
Sempre é assim?
Dizia
Esta frase condiciona o que segue
Que é estabilidade?
Definição
“Um sistema qualquer é estável se e somente se para toda e qualquer
entrada limitada, a saída correspondente também for limitada”.
Retomamos o exemplo
Era este
Se fosse este
Qual é a diferença entre as funções de transferência?
Qual é a diferença entre as resposta à entrada degrau?
A que conclusão se pode chegar?
“Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a
parâmetros concentrados é estável se e somente se todos os
pólos de sua função de transferência de malha fechada estão
no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s”.
¡¡¡conceito muito importante!!!
Quais sao os pólos de malha fechada?
Recordemos que a função de transferência de laço fechado de um sistema é
C (s)
G( s)

R( s) 1  G ( s ) H ( s )
A equação característica:
As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)
Concluindo
Ao início da aula se traçou que a resposta no tempo tem duas partes, da segunda não
falamos, fica para aulas posteriores
A resposta no tempo que um sistema oferece muitas vezes não é apropriada segundo
as necessidades do processo a controlar portanto terá que modificá-la, isso também é
objetivo de aulas posteriores
A obtenção das especificações hoje vista se podem obter analiticamente e também
simulada no ambiente do MATLAB, ambas as coisas as faremos em aulas posteriores
também
Informacao Importante
Os estudantes devem obter o Matlab para as proximas aulas