FACULDADE DE ENGENHARIA DE GUARATINGUETÁ
ECONOMIA DE EMPRESAS
TÓPICOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA
PROF. Dr. ANTONIO HENRIQUES DE ARAÚJO JR
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MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES
EMENTA:
 O valor do dinheiro no tempo.
 Critérios de capitalização de juros.
 Juros simples
 Juros compostos.
 Conversões de taxas de juros.
 Fluxo de caixa.
 Series simples e uniformes.
 Series equivalentes.
 Avaliação de investimento.
 Descontos em operações comerciais.
 Efeito de taxas e impostos em operações financeiras.
 O uso das funções financeiras no Excel.
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BIBLIOGRAFIA:
 BIBLIOGRAFIA BASICA:
MATEMATICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES BASICAS,
Assaf, Alexandre Neto, Editora Atlas, 4a. Edição, 419 p., São Paulo, 1996.
MATEMATICA FINANCEIRA
Vieira, Jose Dutra Sobrinho, Editora Atlas, 7a. Edição, 409 p., São Paulo, 2000.
MATEMATICA FINANCEIRA
Puccini, 5a.Edição, 318p. São Paulo 1998.
 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
MATEMATICA FINANCEIRA USANDO EXCEL 5 e 7,
Laponi, J. Carlos, Ed. Laponi Treinameto, São Paulo, 1996.
ENGINEERING ECONOMY.
Sullivan, W.G; Wicks, E. M., 12th edition, Prentice Hall, N.Jersey, 2003.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES
Procedimentos Metodológicos:
 Os alunos aprenderão, inicialmente, a raciocinar e resolver problemas de matemática
financeira com o conceito de fluxo de caixa e a utilização de formulas.
 Com o domínio desta ferramenta, aprenderão a utilizar outros métodos, como resolução
destes mesmos problemas com o uso de tabelas financeiras especificas, e aprenderão a
construir, com o uso do Excel, tabelas de desconto e a resolver problemas mais
complexos. A teoria sera fartamente ilustrada com exercícios a serem resolvidos em sala
de aula e em casa.
 Recursos Didáticos:
Retro-projetor, calculadora 12-C, e micro-computador (laboratório,1 aula).
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Avaliação
PROVA P3 e P4;
 Exercícios;
 Participação em sala.
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1. Introdução: O valor do dinheiro no tempo
1.1 O valor do dinheiro no tempo
A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu
objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de
caixa, verificados em diferentes momentos. Sabemos, intuitivamente, que é melhor termos uma
determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou
no futuro não é a mesma coisa.
1.2 Definição de juros e de taxa de juros
Para Dutra (2000) juro representa a remuneração do capital emprestado, podendo ser ntendido
como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode ser definido, ainda, como o custo pelo uso do
dinheiro.
Taxa de juro é a relação entre o juro recebido ou pago ao final de certo período de tempo de
tempo (prazo) e o capital inicialmente aplicado, sendo definido como segue.
I = J/C
(equação 1)
Onde I é a taxa de juro, J o valor do juro pago e C o capital inicial. Observe que a taxa de juro
deve ser, sempre, expressa numa unidade de tempo, p.e. 20% a.a., 15% a.t., etc.
6
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1. Introdução: Formação da taxa de juros
1.3 Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconomico,
as taxas de juros
Alguns fatores influenciam a formação da taxa de juros:
 Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas
administrativas);
 Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido;
 Taxa de risco (inadiplencia) que é calculada pela relação entre volume de
empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos;
 Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da
Moeda;
 Impostos.
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2. Critério de capitalização de juros:
2.1 Critérios de capitalização
Os critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e incorporados
sucessivamente ao capital ao longo do tempo. Podem ser identificados dois regimes de capitalização
de juros: simples (linear) e composto (exponencial).
2.2 Regime de capitalização simples
O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão aritmética (PA), com os juros
crescendo linearmente ao longo do tempo. Por este critério, os juros só incidem sobre o capital inicial
(principal).
Admita-se um depósito de R$1.000 remunerados a uma taxa de 10% a.a. Os juros apurados ao longo
de 5 anos, os juros acumulados e os montantes (capital inicial +juros) estão demonstrados no quadro 1:
Quadro 1: Juros apurados com capitalização simples
Ano
Juros apurados Juros acumulados
em cada ano ano
no ano
início 1o. Ano
0
fim 1o. Ano
100
100
fim 2o. Ano
100
200
fim 3o. Ano
100
300
fim 4o. Ano
100
400
fim 5o. Ano
100
500
8
Montante
1000
1100
1200
1300
1400
1500
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2. Critério de capitalização de juros:
2.3 Regime de capitalização composta
No regime de capitalização composta são incorporados ao capital, não apenas os juros
referentes a cada período, mas também os juros incidentes sobre os juros acumulados até o
período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce, exponencialmente,
em função do tempo. O conceito de montante aqui, é o mesmo da capitalização simples, ou
seja é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo
de aplicação ou da dívida.
O comportamento equivale ao de uma progressão geométrica (PG), incidindo os juros sempre
sobre o saldo apurado no inicio do período imediatamente anterior.
Considere-se os mesmo R$ 1000,00 de capital inicial e a mesma taxa de juros de 10% a.a.
adotados no exemplo anterior. O cálculo dos juros acumulados e do montante são ilustrados no
quadro 2:
Quadro 2: Juros apurados com capitalização composta
Ano
Juros apurados Juros acumulados
em cada ano ano
no ano
início 1o. Ano
0
fim 1o. Ano
100
100
fim 2o. Ano
110,00
210
fim 3o. Ano
121,00
331
fim 4o. Ano
133,10
464,1
fim 5o. Ano
146,41
610,51
9
Montante
1000
1100
1210
1331
1464,1
1610,51
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2. Critério de capitalização de juros:
As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce, exponencialmente,
com a taxa de juros...
Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%)
i=10%
Ano
início 1o. Ano
fim 1o. Ano
fim 2o. Ano
fim 3o. Ano
fim 4o. Ano
fim 5o. Ano
Montante
Juros simples
1000
1100
1200
1300
1400
1500
Montante
Juros compostos
1000
1100
1210
1331
1464,1
1610,51
Diferença
0
0
10
31
64,1
110,51
Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta
i=20%
Ano
início 1o. Ano
fim 1o. Ano
fim 2o. Ano
fim 3o. Ano
fim 4o. Ano
fim 5o. Ano
10
Montante
Juros simples
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Montante
Juros compostos
1000
1200
1440
1728
2073,6
2488,32
Diferença
0
0
40
128
273,6
488,32
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2. Critério de capitalização de juros:
Num regime de capitalização composta, o montante cresce exponencialmente com a taxa de
juros ...
Fig. 2.1: Capitalização simples e composta
4000
3 50 0
3000
2 50 0
2000
150 0
10 0 0
50 0
0
linear 5%
i = 5%
i = 10%
i = 20%
i = 30%
1
11
2
3
4
5
6
Número de períodos
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2. Critério de capitalização de juros:
2.4 Capitalização simples
2.4.1 Cálculos dos juros
O valor dos juros num regime de capitalização simples é dado pela expressão:
J  Pin
(equação 2)
onde:
J = valor do Juro em valores monetários, P = valor do capital inicial ou principal, e n = prazo
ou número de períodos.
Exemplo:
1. Qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo
prazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5,0% a.a.
Solução: J = P x i x n, substituindo os valores númericos, teremos,
J = $ 1.000 x 0,05 x 4 = $ 200,00.
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2. Critério de capitalização de juros:
2.4.2 Montante e valor atual
O montante ou valor futuro, indicado por M, representa a soma do principal e dos
juros referentes ao período de aplicação:
M=P+J
(equação 3)
Inserindo a equação 2 na equação 3, teremos:
M = P + P x i x n ou M = P (1 + i x n ) (equação 3a)
Exemplo:
Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00 a taxa de 8%
ao trimestre, pede-se calcular o prazo de aplicação.
P = 7500,00
J = 6.000,00
i = 8% a.t.
n = a ser calculado
Solução: J = P x i x n , portanto, n = J/(P x i ) = 6000/(7500)x 0,08) = 10 trimestres.
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Exercícios para a segunda aula
1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado a taxa de 24% ao ano,
durante 7 meses.
R: $ 8.400,00.
2.Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200.
Determinar a taxa unual.
R: 60 %.
3.Durante 155 dias certo capital gerou um montante de $ 64.200. Sabendo-se que a taxa
de juros é de 4 % ao mes, deteminar o valor do capital aplicado.
R: $ 53.204,42.
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15
4.
Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da
aplicação de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses.
R: $ 31.271,48
5.
Qual o valor a ser pago, no fim de 5 meses e 18 dias, correspondente a um
empréstimo de $ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao
semestre.
R: $ 156.500,00
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2. Critério de capitalização de juros:
2.5 Capitalização composta
2.5.1 Cálculos dos juros num regime de capitalização composta
Consideremos, num regime de capitalização composta, um principal P, ou valor presente, uma
taxa de juros, i, e um montante F, também chamado de valor futuro, a ser capitalizado e um prazo
n. No fim do 1o. período, o montante S será igual a:
F = P + P x i ou P (1 + i)
O juro pago no fim do 2o. período será igual a:
P (1 + i) i
Portanto, o montante S, no fim do 2o. período, será dado por:
P (1 + i) + P (1 + i) I ou,
F = P (1 + i)2.
E, assim, ao término do n-ésimo período o montante F, será dado por:
F = P (1 + i)n
16
(equação 4)
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2. Critério de capitalização de juros:
O fator (1 + i)n é denominado Fator de Capitalização (FCC), sendo tabelado para uma determinada
taxa i, e para um determinado número de períodos n. Adotemos no nosso curso, a seguinte notação para
este fator, para uma taxa de 5% a.p. e 10 períodos, o fator FCC (5%, 10) será de (1 + 0,05)10 ou 1,62889.
Exercício: verificar, num dos textos sugerido na bibliografia, os FCCs para:
i =10% a.a. e 8 anos; e
i = 8% a.s. e 2 semestres
2.5.1 Cálculo do valor futuro F, dados, P, i e n
Assim, dada a equação (4) podemos resolver problemas do seguinte tipo:
(...) conhecido o valor do principal P, ou valor presente, a taxa de juros i e o número
de períodos n a ser capitalizado, podemos calcular o Montante F, ou valor futuro,
como mostrado no fluxo de caixa abaixo:
Fig. 2.2: Fluxo de caixa da situação:
Dados P, i e n calcular S.
F=
1 2 3
n
P
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2. Critério de capitalização de juros:
Exemplo:
Quanto renderá em 6 meses, um capital de $ 2000,00, aplicado a uma taxa de juros de 5% a.m.
Aplicando a equação (4): S = 2000 (1 + 0,05)6 = 2000 x 1,3400 => $ 2.680,00
2.5.2 Cálculo do valor presente P, conhecido o valor futuro F
A partir da equação (4) podemos deduzir que:
P F
O fator
1
(1  i)
n
1
(1  i )
n
(equação 5)
é denominado Fator de Atualização de Capital (FAC) e é igualmente tabelado
para uma determinada taxa de juros i e um determinado número de períodos n.
Passemos a adotar a seguinte notação para este fator: dada uma taxa de juros de 4% a.p.e 5 períodos
o fator FAC (4%, 5) será de 0,82193. Note que os fatores FCC e FAC são números inversos, isto é, se
multiplicarmos FAC (4%, 5) por FCC (4%, 5) obteremos 1 ou, no nosso exemplo, 0,8121 x 1,21665 = 1.
Exercício: verificar, num dos textos sugerido na bibliografia, os FACs para:
i = 10% a.a. e 8 anos; e
i = 8% a.s. e 2 semestres
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2. Critério de capitalização de juros:
Assim, dada a equação (5) podemos resolver problemas do seguinte tipo:
(...) conhecido o valor F, ou valor futuro, a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização n,
podemos calcular o valor P, ou valor presente, como mostrado no fluxo de caixa abaixo:
Fig. 2.3: Fluxo de caixa da situação:
Dados S, i e n calcular P.
F
1 2 3
n
P=
Exemplo:
Quanto deverei aplicar hoje, num regime de capitalização composta, para obter, a uma taxa de 2%
a.m., em 18 meses, a quantia de $ 5.000,00.
Solução: aplicando a fórmula (5),
1
P F
(1  i )
n
P = 5.000/(1+0,02)18 = 5.000/1,42825 = $ 3500,78, ou, resolvendo de uma outra forma
P = S FAC(2%, 18)
= 5.000 x 0,70016 = $ 3.500,78.
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2. Critério de capitalização de juros:
20
1.
Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. em um regime
de juros compostos, a partir de um principal de $ 1.000.000,00.
R: $ 1.428.250,00
2.
Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de
$ 500.000,00, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a.s. em um regime de juros compostos.
R: $ 285.877,64
3.
Um cidadão investiu $ 10.000 nesta data, para receber $ 14.257,60 daqui a um ano. Qual
a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento, em um regime de juros compostos.
R: $ 3,0% a.m.
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4.
Quanto se terá daqui a 26 trimestres ao se aplicar $ 100.000,00 nesta data, a uma taxa de
2,75% a.m. no regime de juros compostos.
R: $ 829.817,86
5.
Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a.m., de forma que possa retirar
$ 10.000,00 no final do 6o.mes e $ 20.000,00 no final do décimo segundo mes. Qual o menor
valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados.
R: $ 24.650,00
6.
Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3,0% a.m.
R: 37,1 meses
7.
Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400,00
num prazo de 14 meses.
R: 5,076% a.m.
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3. Conversões de taxas de juros:
3.1 Equivalencia de taxas de juros com capitalização composta
Uma condição para a equivalencia de taxas de juros é que estas taxas, aplicadas sobre um mesmo
principal, ou capital inicial, produzam o mesmo montante, ao final de um certo prazo n.
Se uma certa taxa mensal im é equivalente a uma certa taxa anual ia, então:
P (1 + im )12 = P (1 + ia ) (equação 6)
Dividindo a equação (6) por P: (1 + im )12 = (1 + ia )
(equação 7)
Transformando a equação 7:
(1  i m ) 
ou:
12
(1  i a )
(equação 8)
i m  12 (1  i a )  1
Exemplo:
Calcular a taxa de juro mensal, equivalente a uma taxa de 20% a.a. Aplicando a equação (8) obtemos:
im 
22
12
(1  0 , 2 )  1
;
im 
12
(1, 2 )  1
= 1,01531 – 1 => 1,531% a.m.
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3. Conversões de taxas de juros:
3.2 Fórmulas para conversão de taxas de juros equivalentes
Existem duas situações básicas para a conversão de taxas de juros:
a)
Conversão de uma taxa de período de tempo menor para uma taxa de período de tempo maior:
Taxa semestral em taxa anual, taxa mensal em taxa anual, etc. Neste caso vamos
aplicar a seguinte fórmula:
ie= (1 + iq )n - 1
(equação 9)
onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos
no período da taxa de juros menor.
Exemplo:
converter uma taxa de 4% a.t. em taxa anual. Ie = (1 + 0,04)4 = 1,16985
=> ie = 16,98% a.a. Neste caso n = 4, uma vez que um ano contém 4 trimestres.
b)
23
Conversão de uma taxa de período de tempo maior para uma taxa de período de tempo menor:
taxa anual em taxa trimestral, taxa semestral em taxa mensal, etc.
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3. Conversões de taxas de juros:
Vamos, neste caso aplicar a seguinte fórmula:
ie 
n
(1  i q )  1
onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos
no período da taxa de juros menor.
Exemplo:
Converter uma taxa de 40% a.a. em taxa quadrimestral.
ie 
ie 
3
3
(1, 4 )  1
(1  0 , 4 )  1
=> 11,87% a.q.
24
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3. Conversões de taxas de juros:
Exercício
Calcular a taxa equivalente mensal de uma taxa de:
1. 100% a.a.;
2. 82% a.a.;
3. 28% a.s. e 28% a.a.;
4. 28% a.a. ;
5. 32% a.t.
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Exercícios
26
1.
Determinar o montante no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de
$ 100.000,00 a taxa de 3,75% a.m.
R: $ 144.504,39
2.
Uma pessoa empresta $ 80.000,00 hoje para receber $ 507.294,46 no final de 2 anos.
Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.
R: 8% a.m. ou 151,817% a.a.
3.
Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma institução finaceira é de
12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ 20.000,00 será resgatado
por $ 36.018,23.
R: 5 trimestres ou (15 meses).
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27
4.
Quanto devo aplicar hoje, a taxa de 51,107% a.a. para ter $ 1.000.000,00 no final de
19 meses.
R: $ 520.154,96.
5.
Em que prazo uma aplicação de $ 374.938,00 a taxa de 3.25% a.m., gera um resgate de
$ 500.000,00
R: 9 meses.
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4. Fluxo de Caixa:
4.1 Conceito de Fluxo de caixa
A resolução de problemas de matemática financeira torna-se muito mais fácil quando utilizamos o
conceito de fluxo de caixa.Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de
entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos). As saídas são representadas por uma seta para
baixo e as entradas por uma seta para cima.
Exercício:
Representar as seguintes entradas e saídas num diagrama de fluxo de caixa:
Período
Saída ($)
Entrada ($)
0
- 1000
0
1
-500
+ 800
2
+ 800
3
+ 1000
4
+ 1500
5
28
-200
+ 1800
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4. Fluxo de Caixa:
(+)
0
1
2
3
4
5
(-)
O fluxo acima pode ser simplificado, de acordo com a representação abaixo:
1
2
3
4
5
4.2 Métodos de avaliação de fluxos de caixa
Os métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são: (a) o método do valor presente
líquido (VPL) e (b) o método da taxa interna de retorno (TIR), que veremos mais a frente, na
seção avaliação de investimentos.
4.2.1 Cálculo do valor de um fluxo de caixa
São definidas algumas regras básicas para o cálculo do valor númerico de um fluxo de caixa: (i) o
fluxo deve ser inicialmente simplificado, (ii) o fluxo deve ser calculado em um determinado
período de tempo, isto é, todas as entradas e saídas devem ser trazidas para uma mesma data e (iii)
as entradas e saídas devem ser trazidas para este período de tempo.
29
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4. Fluxo de Caixa:
Exemplo:
Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(0), considerando-se uma taxa de juros de 5% a.p.:
200
800
1
2
1600 1400 1400
3
4
5
1000
Descontando todas as saídas e entradas e trazendo para o momento 0, temos:
FC(0) = -1000 + 200/(1+0,05)1 + 800/(1+0,05)2 + 1600/(1+0,05)3 + 1400/(1+0,05)4 +
1400/(1+0,05)5 = -1000 + 190,47 + 725,62 + 1382,14 + 1151,78 + 1096,93 = $ 3546,94
30
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4. Fluxo de Caixa:
Exercício:
Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(3), considerando-se uma taxa de juros de 10% a.p.:
300
400
500
1
2
3
600
4
800
5
500
FC(3) =
31
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5. Séries uniformes:
5.1 Cálculo de uma série uniforme postecipada
Podemos entender uma série uniforme de pagamentos como uma série de pagamentos que possui
as seguintes características: (i) os valores dos pagamentos são todos iguais; e (ii) consecutivos,
como ilustrado abaixo:
Fig. 2.3: Série uniforme postecipada (a) e
antecipada (b).
300
300
300
300
300
(a)
0
1
2
500
500
500
3
4
5
500
500
500
(b)
0
1
2
3
4
5
5.1 Série postecipada e antecipada
Numa série postecipada (a) o primeiro pagamento ocorre a partir do primeiro período, enquanto
uma série antecipada (b) é caracterizada pelo fato do primeiro pagamento ocorrer no início do
período.
32
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5. Séries uniformes:
5.1 Cálculo do montante S de uma série uniforme postecipada
Consideremos uma série uniforme postecipada, descontada mensalmente a uma taxa de 4%, como
mostrado abaixo:
0
100
100
100
100
1
2
3
4
100
5
S=
É possível calcular o valor futuro da série com o uso de fórmulas já conhecidas:
S1 = 100 x (1,04)4 = 100 x 1,16986 = 116,98
S2 = 100 x (1,04)3 = 100 x 1,12486 = 112,49
S3 = 100 x (1,04)2 = 100 x 1,08160 = 108,16
S4 = 100 x (1,04)1 = 100 x 1,04000 = 104,00
S5 = 100 x (1,04)0 = 100 x 1,10000 = 100,00
St = .................................................. = 541,63
Assim, podemos concluir que, o montante de 5 aplicações, mensais e consecutivas aplicadas
a um taxa de 4% a.m. acumula um montante de $ 541,63.
33
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5. Séries uniformes:
Sabemos que St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5, substituindo S1, S2 , S3..., por seus respectivos valores
temos:
St = 100 x (1,04)4 + 100 x (1,04)3 + 100 x (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0.
Como o fator 100 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima:
St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 } (equação 10)
Como a série entre chaves, acima, representa a soma de uma progressão geométrica de razão
1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula,
a1  q  a1
n
q 1
que nos fornece a soma dos termos de uma PG, com a1= (1,04)0 =1, q = 1,04 e n = 5.
Transformando a equação 10 com a inclusão da fórmula da soma de uma PG, como mostrado
acima, obtemos:
1  (1, 04 )  1
100 
1, 04  1
(equação 11)
5
34
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5. Séries uniformes:
Substituindo os termos genéricos na equação 11, obtemos:
(1  i )  1
n
F  A
i
(equação 12)
onde:
S = montante acumulado da série uniforme postecipada; A = valor das prestações;
i = taxa de Juros e n = número de períodos ou prestações.
(1  i )  1
n
A expressão
é chamada, também, de maneira análoga, as séries simples, de fator de
i
acumulação de capital, FAC . Assim, a série uniforme postecipada, mostrada no início da seção 5.1
poderia, também, ser calculada da seguinte forma:
F = 100 x FAC(4%,5) = 100 x 5,41632 = $ 541,63
5.2 Cálculo do valor das prestações A, conhecido o montante acumulado S
Podemos transformar a equação 12, colocando A em função de S:
A F
A expressão
i
(1  i )  1
n
i
(1  i )
n
(equação 13)
é denominada de fator de formação de capital (FFC), encontando-se
tabelada, como anexo, na maioria dos livros de matemática financeira.
35
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5. Séries uniformes:
5.3 Cálculo do valor presente P de uma série uniforme postecipada
Consideremos uma série uniforme antecipada do tipo:
0
A
A
A
A
A
1
2
3
4
n
P=
O valor presente P, pode ser calculado através da fórmula:
(1  i )  1
n
P  A
(1  i )  i
n
(equação 14)
onde:
P = valor presente das prestações da série postecipada; A = valor das prestações; n = número
das prestações.
(1  i )  1
n
O fator
é denominado fator de valor atual, FVA, sendo encontrado, como anexo,
n
(1  i )  i
em tabelas em livros de matemática financeira.
36
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5. Séries uniformes:
Exercício
Calcular o valor atual de uma série de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de $150,
capitalizadas a uma taxa mensal de $ 5% ao mes.
P = A x FVA(5%,12)= 150 x 8,86325 = $ 1.329,48
5.3 Cálculo do montante S de uma série uniforme antecipada
Consideremos uma série uniforme antecipada do tipo:
A
A
A
A
0
1
2
3
A
4
A
n
F=
O montante S pode ser calculado através da fórmula:
 (1  i ) n  1 
S  A  (1  i )  

i


(equação 15)
onde:
S = montante acumulado no final do período; A = valor das prestações; i = taxa de juros.
37
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5. Séries uniformes:
Note, que a expressão entre parentesis, indicada na equação 15, nada mais é que o fator de
acumulação de capital, FAC, para séries uniformes postecipadas, mostrado na equação 12, na p.
35 do nosso texto.E, portanto, a equação 15 pode ser escrita da seguinte maneira:
F  A  (1  i )  FAC
( i %, n )
(equação 16)
Exemplo:
Quanto terei de aplicar mensamente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um
montante de $ 100.000,00, sabendo-se que a taxa de juros contratada é de 34,489% ao ano, que as
prestações são iguais e consecutivas e a primeira prestação é depositada no período 0.
F=$ 100.000
0
1
2
3
4
5
6
35
A=
Vamos, inicialmente, transformar a taxa anual em taxa mensal:
im 
38
12
(1  0 , 34489 )  1  1, 024999  1  i  2 , 5 % a .m .
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5. Séries uniformes:
Transformando a equação 16, e colocando A (prestação) em função de S (valor futuro acumulado
das prestações) obtemos:
A F
1
(1  i )

i
(1  i )
n 1
S
1
(1  i )
 FFC
( i %, n )
Aplicando a fórmula acima, com S = $ 100.000,00, i = 2,5% a.m. e n = 36, obtemos:
A = 100.000 x 1/(1+0,025) x FFC(2,5%,36)= 100.000 x 0,97560 x 0,01745 = $ 1.702,42
5.4 Cálculo do valor presente P de uma série uniforme antecipada
Consideremos uma série uniforme antecipada do tipo:
P=
0 1
2
3
4
5
35
6
A =$100
O valor presente P pode ser calculado através da expressão:
P  A  (1  i )  FVA ( i %, n )
39
(equação 17)
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5. Séries uniformes:
Exemplo:
Determinar o valor presente do financiamento de um bem financiado em 36 prestações iguais de $
100,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,0% a.m. e que a primeira prestação é paga no
ato da assinatura do contrato.
Fazendo uso da equação 17:
P = A x (1+i) x FVA(3,0,%,36) = 100 x (1,03) x 21,83225 = $ 2248,72
5.5 Cálculo da prestação A, dado o valor presente P de uma série uniforme antecipada
Nestas condições, o valor A da prestação pode ser calculado a partir da transformação da equação
17:
A P
40
 (1  i ) n  i 
1

 FRC
  P
n
(1  i )  (1  i )  1 
(1  i )
1
( i %, n )
(equação 18)
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5. Séries uniformes:
Exemplo:
Um terreno é colocado a venda por $ 50.000,00 a vista ou em 24 prestações mensais sendo a
primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que o
proprietário está cobrando uma taxa de 3,5 % a.a. pelo financiamento.
P =$ 50.000,00
0 1
2
3
4
5
23
6
A =$
Aplicando a equação 18, obtemos:
A  P
41
1
(1  i )
 FRC
( i %, n )
 50 . 000 
1
(1  0 , 035 )
 0 , 06227  $ 3 . 008 , 21
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Exercícios
42
1.
Um investidor depositou, anualmente, $ 1000,00 numa conta de poupança, em nome de
seu filho, a juros de 6% a.a. O primeiro depósito foi feito no dia em que seu filho completou
1 ano e o último quando este completou 18 anos. O dinheiro ficou depositado até o dia em
que completou 21 anos, quando o montante foi sacado. Quanto recebeu seu filho.
R: $ 36.809,24
2.
Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um fundo de renda fixa, a taxa de 5% ao
bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final deste prazo, um montante
de $ 175.000,00.
R: $ 4.375,00
3.
Qual é o montante obtido no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 500,00 por
mes, a taxa de 42,5776% ao ano.
R: $ 4.446,17
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43
4.
Quantas aplicações mensais de $ 500,00 são necessárias para se obter um montante de
$ 32.514,00, sabendo-se que a taxa é de 3,00% a.m., e que a primeira aplicação é feita no
ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor.
R: 36 aplicações.
5.
O Sr. Laerte resolveu fazer 12 aplicações mensais, como segue:
a) 6 prestações iniciais de $ 1000 cada uma;
b) 6 prestações restantes de $ 2000,00 cada uma.
Sabendo-se que esta aplicação está sendo remunerada a 3,0% a.m., calcular o saldo
acumulado de capital mais juros que estará a disposição do Sr. Laerte no final do prazo
de aplicação.
R:2.066,04
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6. Avaliação de investimentos
6.1 Métodos de retorno de investimento
Existem 3 métodos, que são tradicionamente utilizados para a avaliação de investimentos:
(a) o método do valor presente líquido (VPL), (b) o método da taxa interna de retorno (TIR) e
(c) o método do pay back ou do tempo de retorno do investimento.
6.1 Método do valor presente líquido
O método do valor presente líquido baseia-se no cálculo do valor presente de um fluxo de caixa que
envolve saídas (investimento) e entradas (receitas geradas por este investimento). É a seguinte a
fórmula que permite calcular o valor presente líquido (VPL) de um fluxo de
investimento. Dado um fluxo de caixa do tipo, descontado a uma taxa i:
FC1
FC2
FC3
FC4
FCn
1
2
3
4
n
0
FC0
O valor presente deste fluxo pode ser calculado como:
 FC 1
FC n 
FC 1
FC 1
VPL  



...
 FC 0
2
3
n 
(1  i )
(1  i ) 
 (1  i ) (1  i )
44
(equação 19)
MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES
6. Avaliação de investimentos
Para que um investimento seja economicamente viável, o valor presente do fluxo de caixa deve ser
positivo, isto é o valor presente das entradas (receitas geradas por este investimento) deve superar o
valor presente das saídas (investimentos e despesas relativas ao investimento).
Exemplo: Considere o fluxo de caixa mostrado na seção 4.1, descontado a uma taxa de 10% a.a.:
Quadro 6.1: Fluxo de caixa de um dado investimento:
Período
FC
Investimentos
($)
Receitas
($)
FCL
($)
0
FC0
- 1000
0
- 1000
1
FC1
-500
+ 800
+ 300
2
FC2
+ 800
+ 800
3
FC3
+ 1000
+ 1000
4
FC4
+ 1500
+ 1500
5
FC5
+ 1800
+ 1600
-200
Descontando o fluxo de caixa FC(0) utilizando a equação 19, obtemos:
VPL = 300/(1,1) + 800 /(1,1)2 + 1000 /(1,1)3 + 1500 /(1,1)4 + 1600 /(1,1)5 -1000= $ 2703,10
45
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6. Avaliação de investimentos
No caso do exemplo anterior, o investimento é economicamente viável, uma vez que o valor presente
líquido deste investimento é positivo, isto é, a soma das entradas (receitas) supera o valor das saídas
(investimento e despesas).
6.2 Método da taxa interna de retorno
A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que equaliza as entradas e saídas de um projeto de
investimento. A equação que fornece a taxa interna de retorno, pode ser escrita da seguinte forma:
FC 0 

 FC 1
FC n 
FC 1
FC 1




...

j
1
2
3
n 
j 1
(1  i )
(1  i )
(1  i )
(1  i ) 
 (1  i )
n
FC
j
(equação 20)
Assim, existe pelo menos uma taxa de juros i, que iguala FC0 à somatória dos FCj. A taxa de juros que
¨zera¨ o fluxo de caixa é a própria taxa interna de retorno e representa a rentabilidade de um projeto
de investimento. Na prática, o cálculo da taxa interna de retorno é feito através de um processo
interativo, isto é, calculando-se o valor presente líquido do fluxo de caixa e observando-se a taxa, na
qual ocorre a inversão do sinal do VPL do projeto de investimento.
46
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6. Avaliação de investimentos
Exercício:
Determinar a TIR do fluxo de caixa mostrado na figura 6.1. Calculemos o VPL deste fluxo de caixa
para diferentes taxas de juros:
VPL(10%) = $ 2703,19
VPL(20%) = $ 1750,64
VPL(30%) = $ 1115,43
VPL(40%) = $ 674,84
VPL(50%) = $ 358,85
VPL(60%) = $ 125,61
VPL(70%) = $ -50,89
Sabemos, portanto, que existe uma inversão de sinal no intervalo situado entre 60% e 70% e que a
TIR está situada neste intevalo. Através de sucessivas aproximações obtemos uma TIR de 66,8% .
47
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6. Avaliação de investimentos
6.2 Método do ¨Pay-back¨ ou do tempo de retorno de um investimento
A viabilidade economica de um projeto de investimento pode se determinada, comparando-se o tempo
de retorno do projeto com a vida útil dos ativos que compõem este investimento.
Para que um projeto possa ser considerado economicamente viável, o tempo de retorno do projeto
(em anos, meses ou qualquer outra unidade de tempo) deve ser inferior a vida util de um
equipamento, ferramental, etc., por exemplo, que faz parte do investimento.
Na prática, o tempo de retorno de um investimento é calculado através do fluxo de caixa descontado
de um projeto de investimento.
Considere o fluxo de caixa da figura 6.1. Observe, que no fluxo de caixa acumulado (coluna 7) existe
uma inversão de sinal entre o 2o. e o 3o. ano. Isto significa que o tempo de retorno do projeto é
superior a dois porém inferior a 3 anos. Aplicando uma regra de tres, proporcionalmente ao valor –
66,12 do final do 2o. ano e 685,2 do final do 3o.ano, obtemos um tempo de retorno para este projeto
de 2,1 anos.
Quadro 6.2: Fluxo de caixa de um investimento:
Período
1
0
1
2
3
4
5
48
Saídas
2
-1000
-500
-200
Entradas
3
0
800
800
1000
1500
1800
FCL
4
-1000
300
800
1000
1500
1600
Fatores
5
1
0,9090909
0,8264463
0,7513148
0,6830135
0,6209213
FCD
6
-1.000,00
272,73
661,16
751,31
1.024,52
993,47
FCA
7
-1.000,00
-727,27
-66,12
685,20
1.709,72
2.703,19
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6. Avaliação de investimentos
Assim, se a vida útil do equipamento for de 10 anos (suponhamos que este investimento se refira, por
exemplo a aquisição de um caminhão) o projeto pode ser considerando viável, uma vez que este projeto
trouxe um retorno num prazo inferior a vida útil deste bem.
49
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7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)
7.1 Conceituação
A operação de desconto é realizada quando se conhece o valor futuro, também conhecido como
valor nominal, valor de face ou valor de resgate.
Entende-se desconto como a diferença entre o valor de resgate de um título e seu valor
presente na data de operação, ou seja,
D=S–P
(equação 21)
onde, D representa o valor monetário do desconto, S o valor futuro ou valor de face e P o valor
presente ou valor creditado ou pago ao titular.
Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a
determinado período de tempo. É frequente a confusão entre taxa de juros e desconto. Repare que a
taxa de juros incide sempre sobre o montante do período anterior (juros compostos) ou sobre o
principal ou capital inicial (juros simples) e no desconto a taxa refere-se, sempre, ao seu montante
ou valor futuro.
7.2 Desconto simples ou bancário
Desconto simples é aquele, no qual a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor
futuro S. É utilizado de maneira ampla no Brasil nas chamadas operações realizdas pelos
bancos e chamadas de ¨desconto de duplicatas¨.
50
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7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)
O desconto é obtido multiplicando-se o seu valor de resgate F, pela taxa de desconto d (taxa de juros
paga pela instituição financeira), e pelo prazo a transcorrer até seu vencimento, n ou:
D=Fxdxn
(equação 21)
O valor presente P, ou de antecipação, pode ser calculado subtraindo-se do valor de resgate S, o
desconto D, ou:
P=F-D
(equação 22)
Exemplo:
Qual é o valor de desconto simples de um título de $ 1.000,00 com vencimento de 120 dias a taxa de
3,0% a.m. e o valor a receber na data da antecipação. Aplicando diretamente a equação 21, obtemos:
D = 1000 x 4 x 0,03 = $ 120,00
O valor a receber pelo aplicador será de :
P = 1000 – 120 = $ 880,00
51
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7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)
7.2 Desconto composto
Desconto composto é aquele, no qual a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro
S, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido em função
de cálculos exponenciais, e praticamente não é utilizado em nenhum país do mundo.
O valor líquido de um título calculado por este critério, por um prazo igual a n períodos unitários,
é dado pela expressão:
P = F (1 – d)n
(equação 23)
Exemplo:
Uma duplicata de $ 10.000,00 com 90 dias para seu vencimento é descontada a uma taxa de 3,0%
a.m. de acordo com o conceito de juros compostos. Calcular o valor líquido a ser creditado na
conta e o valor do desconto concedido.
A aplicação direta da equação 23 fornece o valor descontado (presente) do título:
P = 10000 (1 – 0,03)3 = 10000 x 0,91267 = $ 9126,73
O desconto é a diferença entre o valor de face (futuro) e o valor descontado e portanto
D = 10000,00 – 9126,73 = $ 873,27
52
MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES
Exercícios sobre Descontos
53
1.
Qual o valor atual de um título de valor de resgate de $ 90.000,00 com 4 meses a vencer,
sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% ao mes, com a) desconto simples e desconto
composto.
R: a) $ 78.300,00 ; b) 78.852,12
2.
Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de umcliente foi de $ 57.170,24,
correspondente a um título de $ 66.000,00 a taxa de 5,0% a.m. Determinar o prazo a
decorrer até o vencimento deste título com a) juros simples e juros compostos.
R: a) 2,67 meses e b) 2,8 meses.
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54
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