Soluções Numéricas de EDO’s
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Equações Diferenciais Ordinárias
• Equações contendo derivadas são equações
diferenciais.
• Necessário conhecer equações diferenciais
para:
– Compreender e investigar problemas envolvendo o
fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação
de calor em objetos sólidos, a propagação e
detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição
de populações, entre outros.
• Note que toda a parte do cálculo chamado de
cálculo de primitivas compreende a determinação
de soluções de uma equação diferencial.
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Equações Diferenciais Ordinárias
• Ao estudar alguns fenômenos, é difícil
estabelecer diretamente a relação de
dependência entre uma variável independente x e
uma dependente y.
• Todavia, é mais fácil estabelecer a relação
entre x, y e as derivadas y’(x), y’’(x), …, Y(n)(x).
• Esta relação constitui uma equação diferencial.
– Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é
modelada através de equações diferenciais.
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Equações Diferenciais Ordinárias
• Equação diferencial:
– é uma equação envolvendo um função
desconhecida e algumas de suas derivadas.
• Equação diferencial ordinária de ordem n:
– equação que envolve derivadas até a ordem
n da forma
Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x))
(1)
a ≤ x ≤b.
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Equações Diferenciais Ordinárias
•A
solução de (1’) :
– Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x))
(1)
a ≤ x ≤b.
– é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e
tem n derivadas neste intervalo e que satisfaz (1).
– Se a função é de uma só variável, então a equação se
chama ordinária.
– As equações que estabelecem relações entre uma
variável e depende de duas ou mais variáveis
independentes e as derivadas (agora parciais), são
chamadas de equações diferenciais parciais.
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Solução de uma EDO
• Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos:
– Método analítico - O que tenta levar à uma solução exata do
problema
– Método numérico - O que encontra uma solução aproximada.
• Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x,y) é
encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada.
• Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x,y) = 2x + 3, sua solução é
obtida por:
– y = ∫(2x+3)dx = x2 + 3x + C
– Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem
uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas
soluções para C = 0, C = 2 e C = 4.
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Solução de uma EDO
y
C=4
C=2
C=0
x
Note que à medida que
C varia, tem-se uma
família de soluções.
Representações de soluções particulares, para alguns valores de
C, da função
y= x 2 + 3 x + C.
Figura 1
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Solução de uma EDO
Para determinarmos uma solução específica é necessária a atribuição do
valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a ,
y = s ) por onde a solução particular deve obrigatoriamente passar.
O processo para encontrar esta solução específica y da equação y ’ =
f ( x, y ) com
y ( a ) = s, onde a e s são dados numéricos, é chamado
de problema de condição inicial.
Assim, podemos particularizar a solução do problema anterior
atribuindo-lhe, por exemplo, a seguinte condição:
 dy
 2x  3

 dx
y ( 0 )  0

y = x 2 + 3 + C, e a particular será
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0 2 + 3 x 0 + C  C = 0. Ou seja, y = x + 3 x .
Logo, a solução geral é dada por
dada por y ( 0 ) = 0 =
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Definindo as condições iniciais
• Para especificar uma das curvas que formam a família de
soluções, é preciso impor condições adicioinais na função y.
Essas condições são da forma:
– y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n
(2)
– Que são chamadas de condições iniciais.
• O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de
problema de valor inicial ou problema de condições iniciais.
Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) com a ≤ x ≤b
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(1)
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Definindo as condições iniciais
• O problema geral de primeira ordem é escrito como:
– Y’(x) = f(x, y(x)), y(a) =  com a ≤ x ≤ b
(3)
– OU
– dy/dt = f(t, y(t)), y(a) =  com a ≤ t ≤ b
–
• Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como:
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– Y(n)(x) = f(x, y’, y’’, …, Y(n-1)), a ≤ x ≤b
(4a)
– y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n
(4b)
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Condições de contorno
• Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter
problemas com condições de contorno, isto é:
• Além da condição no início do fenômeno, temos também um
condição a atingir no fim do fenômeno.
– EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito
como
– Y’’(x) = f(x, y, y’’) ,
a≤x≤b
(5)
– com
– y(a) = 1 , y(b) = 2
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Sistema de Equações Diferenciais
Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte
forma geral:
•
Y’1(x) = f1(x, y1, y2, y3, … yn)
Y’2(x) = f2(x, y1, y2, y3, … yn)
…
a≤x≤b
(6a)
Y’n(x) = fn(x, y1, y2, y3, … yn)
Sujeito a yk(a) = k , k = 1(1)n
(6b)
Onde f1, f2, … f1n são funções de n + 1 variáveis.
Nota: se o problema (6a) tem solução, então ele tem, em geral,
várias soluções (uma família de soluções). Com as condições (6b),
temos o problema do valor inicial.
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Sistema de Equações Diferenciais
• As soluções do problema (6a) são derivadas da solução de uma única
equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o problema (4),
utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir um conjunto de n
funções Y1, Y2, …, Yn, da seguinte forma:
Y1(x) = y(x)
Y2(x) = y’(x)
(7)
…
Yn(x) = y(n-1)(x)
Então (4a) pode ser escrita como:
Y(n)(x) = f(x, y1, y2, … yn).
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(8a)
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Sistema de Equações Diferenciais
• Diferenciando (7), obtemos:
Y’1(x) = Y2(x)
Y’2(x) = Y3(x)
…
(8b)
Yn-1(x) = Yn(x)
De onde obtermos para (4) um sistema de equações diferenciais. As
condições iniciais de (4b) tornam-se as condições iniciais do sistema.
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Sistema de Equações Diferenciais
• EXEMPLO:
y’’’(x) = xy’(x) + exy(x) + x2 + 1
0≤x≤1
y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -1
Fazendo a mudança de variáveis, obtemos:
y’1(x) = y2(x)
y’2(x) = y3(x)
0≤x≤1
y’3(x) = xy2(x) + ex y1(x) + x2 + 1
y1(0) = 1, y2(0) = 0, y1(0) = -1
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Uso de computadores na solução de EDO
 Um computador pode ser uma ferramenta
extremamente útil no estudo de equações
diferenciais.
 Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo
para solucioná-las como, por exemplo: o método de
Euler e o de Runge-Kutta.
 Além disso, há excelentes pacotes (software) de
solução numérica que podem ser aplicados a diversos
problemas matemáticos. Exemplo: Matlab.
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Equações Diferenciais de Primeira Ordem
A forma geral das equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem é
dy/dx = f (x,y)
(i)
Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça
essa equação para todo t em um dado intervalo é
uma solução desta equação.
Exemplo: y` = 2y + 3e
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t
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Equações Lineares
Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é
chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um
exemplo com coeficientes constantes é
dy/dt = - ay + b,
onde a e b são constantes dadas.
Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos
a forma geral da equação linear de primeira ordem
dy/dt +p(t)y = g(t),
onde p e g são funções dadas da variável independente t.
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Exemplo: Considere a equação diferencial
dy/dt + 2y = 3.
Encontre sua solução.
Solução:
Temos que
dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt
= -2
y - 3/2
ln |y - 3/2 | = -2t + c
Logo,
y = 3/2 + ce
- 2t
Se g(t) = 0, então a equação é dita equação
linear homogênea.
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Referências
• HOPCROFT, J. E.; ULLMAN, J. D. Introdução à
Teoria de Autômatos, Linguagens e Computação.
Rio de Janeiro: Campus, 2002.
• MENEZES, P. F.; DIVÉRIO, T. A. Linguagens Formais
e Autômatos, Porto Alegre: Sagra-Luzzatto, 2001.
• PAPADIMITRIOU, C. H.; LEWIS, H. F. Elementos de
Teoria da Computação. Porto Alegre: Bookman,
2000.
• GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a
Ciência da Computação, Rio de Janeiro: LTC, 1995.
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