QUADRICAS
ELIPSÓIDE
A equação padrão do elipsóide é
Sendo convencionado que os parâmetros a, b, e c são positivos
Estes parâmetros são semi eixos das três elipses obtidas no corte
Do elipsóide pelos planos coordenados
-Quando temos o eixo Z=0 e raio igual a 1
X2 + Y2 = 1
a2 b2
Obtemos a seguinte elipse na cor vermelha
A equação que usamos é
Quando temos o eixo Y=0 e raio igual a 1
Temos a seguinte equação X2 + Z2 = 1
a2 c2
E a elipse em verde
Quando temos X=0 e raio igual a 1
Temos a seguinte equação Y2 + Z2 = 1
b2
c2
E a elipse em azul
O elipsóide nunca é o gráfico de uma função real de duas
variáveis reais, pois geralmente ocorrem dois cortes por
retas verticais. No entanto, podemos separá-lo em dois
gráficos, dados pelas duas funções
As curvas de nível de cada uma destas funções aparecem
ao lado: são elipses dadas pela equação
com k variando entre c e -c. Para k=c temos o ponto da
origem e para K= 0 temos a elipse máxima na cor carmim
O elipsóide tem uma versão com ainda maior simetria, que é uma
superfície de revolução:
o esferóide, que ocorre quando dois dos três semi-eixos são iguais.
Neste caso, os cortes do elipsóide por planos paralelos a um ou aos
três planos coordenados são círculos. Distinguimos três tipos de esferóides:- o alongado (ou prolato), com a = b < c
-o achatado (ou oblato), com a = b > c
- a esfera, com a = b = c.
prolato
oblato
esfera
Algumas aplicações das elipsóide:
Tomografia computadorizada
Em uma tomografia computadorizada, os fótons são coletados por
Um cristal cintilador , que converte a energia incidente em corrente
elétrica , proporcional à energia de raiosX incidentes onde uma
“fatia”Do paciente, por ex. De 10 mm de espessura é imageada ,
eliminando a superposição de estruturas adjacentes que ocorrem na
radiografia tradicional.
Produzida por um feixe estreito girando em torno do paciente , esta
Fatia é dividida em uma matriz de 512 x512 elementos de volume
(voxeis) e cada um medindo aprox. 0,5x0,5x10 mm.
A imagem é reconstituida por computador como
Matriz de 512x512 pixels .
As doses de radiação X nos tecidos estão no limite
10 e 100 mili sievert ao ano.
Na terra a radiação que nos atinge normalmente
É 360 milirem/ano ( 3,6 mili sievert/ano).
Os astronautas na estação espacial Mir recebem
em média 60 rem/ ano.
A radiação na superfície da lua é de 70
sievert/min.O que é fatal
O limite dose equivalente para a população em
geral é de o,1 rem/ano ( 1 mili sievert/ano) sendo o
limite para trabalhadores ocupacionais de 2
rem/ano(20 mili sievert/ano).
Fontes: Instituto de matemática UFRGS, Tabela produzida pelos alunos do PROIN
Marcelo Manzali Bonaccorsi
Roberto Andrade Mansur
Paulo Marques - Feira de Santana, 28/08/1999
www.if.ufrgs.br