administração
amintas paiva afonso
Matemática Financeira
Desconto Simples
Curso: Administração
Professor: Amintas Paiva Afonso
3
Títulos de Crédito
Os títulos de crédito são instrumentos legais previstos no
direito comercial (contratos) e são usados para formalizar
dívidas que serão pagas no futuro, em prazo previamente
estipulado.
Representam
ativos
financeiros
que,
por
serem
endossáveis, possibilitam sua negociação, ou seja, permitem
que seus possuidores (credores da dívida que lhes deu
origem) possam vende-los por valor inferior ao que será
recebido no futuro.
4
Títulos de Crédito
A vantagem dada ao comprador de um título é denominada
de desconto e corresponde a um prêmio pela antecipação
do vencimento.
Esta negociação de títulos de crédito é denominada
desconto de títulos, em geral feita por instituições
financeiras, e muito comum entre empresas quando ocorre a
antecipação do resgate (pagamento) de uma duplicata
(título de crédito oriundo de faturamento de mercadorias).
5
Títulos de Crédito
Diz-se que um título de crédito possui elevada liquidez
quando suas chances de desconto são altas.
Os títulos possuem os seguintes dados:
a) quem deve pagar;
b) quanto deve ser pago (ou como se calcula);
c) em que data (ou prazo a partir de sua emissão em
que será pago);
d) a quem será pago.
6
Títulos de Crédito
• Nota Promissória – pode ser usada entre pessoas físicas
ou entre instituições financeiras.
• Consiste em título de crédito que corresponde a uma
promessa de pagamento, em que vão especificados:
▫ valor nominal e quantia a ser paga (que é a dívida
inicial acrescida dos juros);
▫ data de vencimento do título (em que a dívida deve ser
paga);
▫ nome e assinatura do devedor;
▫ nome do credor e da pessoa que deverá receber a
importância a ser paga.
7
Títulos de Crédito
• Letra de Câmbio – é um título ao portador, emitido
por uma financeira em operações de crédito direto
para pessoas físicas ou jurídicas.
• Uma Letra de Câmbio tem especificados:
▫ valor de resgate (que é o valor nominal acrescido
de juros);
▫ data de vencimento do título;
▫ quem deve pagar.
8
Títulos de Crédito
• Duplicata – é usada por pessoa jurídica contra um cliente
(que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual
vendeu mercadorias a prazo, ou prestou serviços a serem
pagos no futuro (segundo contrato).
• Da duplicata devem constar:
▫ o aceite do cliente;
▫ o valor nominal;
▫ a data de vencimento;
▫ o nome de quem deverá pagar;
▫ o nome da pessoa a quem deverá pagar.
Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal.
9
Títulos de Crédito
• Cheques Pré-datados – embora não especificados pela
legislação, têm sido cada vez mais empregados em
operações comerciais em função da facilidade operacional
do uso.
• De forma similar à Letra de Câmbio, o cheque pré-datado
deve ter especificado:
▫ o valor nominal,
▫ a data programada para o depósito;
▫ o emitente (quem deve pagar).
10
Operações de Desconto
As operações de desconto representam a antecipação
do recebimento (ou pagamento) de valores futuros,
representados por títulos.
Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado
ao tempo, para antecipar um valor futuro deve-se
deduzir o custo de oportunidade, aplicando um
desconto.
Assim, o valor futuro torna-se igual ao valor presente
mais o desconto.
11
Operações de Desconto
Note que o desconto representa os juros associados
a operação.
O conceito de juros, porém, está associado a
operações de capitalização (levar do presente para o
futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a
operações de descapitalização (ou operações de
desconto, trazer do futuro para o presente).
12
Desconto Simples
• A operação de desconto normalmente é realizada
quando se conhece o valor futuro de um título (FV,
Valor Nominal, Valor de Face ou Valor de Resgate) e
se quer determinar o seu Valor Atual (PV).
13
Desconto Simples
• O desconto (D), deve ser entendido como a diferença
entre o valor futuro (FV) do título e o valor atual (PV) na
data da operação. Embora seja freqüente a confusão entre
juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos.
Enquanto no cálculo dos juros a taxa se refere ao
período da operação incidente sobre o capital inicial (PV),
no desconto a taxa do período incide sobre o montante
ou valor futuro (FV).
14
Desconto Simples
O desconto (D), deve ser entendido como a diferença
entre o Valor de Nominal de um título e o seu Valor
Presente na data da operação, ou seja,
D = FV – PV
D = valor monetário do desconto;
FV = valor nominal, valor futuro;
PV = valor atual, valor presente, valor liquido, valor pago.
15
Siglas para desconto
• PV - é o valor obtido pelo título de crédito em data anterior
ao dia do vencimento;
• FV - é o valor expresso no título de crédito e que deve ser
pago no dia do vencimento;
• D - é a diferença entre o valor nominal e o valor atual,
desconto obtido da operação;
• n - é o número de períodos transcorridos entre a data do
desconto até o seu vencimento, denominado período
antecipação;
16
Siglas para desconto
• i - A taxa de desconto deverá estar indicada na mesma
unidade de tempo que o número de períodos n, refere ao
prêmio pago para a realização da antecipação;
• Se a taxa de descontos e períodos não forem compatíveis
faz-se necessário a conversões de unidades, seja, da taxa
ou do período.
Podemos classificar os tipos de desconto como
Simples (método linear) e Composto (método
exponencial).
Prazo de
antecipação
de recursos
Vencimento
VALOR
NOMINAL
(-)
DESCONTO
Antes do
vencimento
=
VALOR LÍQUIDO
Nesta unidade iremos estudar a linguagem
de desconto bancário simples:
• Desconto Racional Simples (por dentro)
• Desconto Bancário ou Comercial (por fora)
• Desconto de Notas Promissórias
• Desconto de Duplicatas
Relembrando ...
Título: Documento que um mutuário (tomador de um
empréstimo) oferece a um mutuante (cedente de um
empréstimo) por meio do qual o mutuante pode provar
publicamente ser credor daquela quantia.
Os três tipos de títulos mais usados são: NOTAS
PROMISSÓRIAS, DUPLICATAS e LETRAS DE CÂMBIO.
Desconto de um título é o valor que se deve abater no valor
de face do mesmo pela antecipação de seu pagamento.
20
Desconto Simples
• Os comerciantes em geral, buscando vantagens ou
na impossibilidade de efetuarem à vista o pagamento
de suas compras, assumem o compromisso de o
fazerem em uma certa data futura.
• Esses compromissos são expressos em documentos
denominados títulos de crédito.
21
Desconto Simples
Embora seja frequente a confusão entre juros e
descontos,
trata-se
de
dois
critérios
distintos,
claramente caracterizados.
Assim como no caso dos juros, o valor do desconto
também está associado a uma taxa (i) e a determinado
período de tempo (n).
Esses compromissos são expressos em documentos
denominados títulos de crédito.
22
Desconto Simples
Enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao
período da operação incide sobre o capital inicial
ou valor presente, no desconto a taxa do período
incide sobre o seu montante ou valor futuro.
JUROS
DESCONTOS
taxa incide sobre o capital inicial
taxa incide sobre o montante
23
Simbologia
FV = valor nominal (valor de face) do título;
PV = valor atual (valor descontado) do título;
D = desconto (total) em n períodos;
n = número de períodos antes do vencimento do título;
i = taxa de desconto.
Em qualquer desconto, temos por definição:
D = FV – PV
FV = PV + D
PV = FV – D
24
Esquema Desconto Simples
• Desconto simples é uma linguagem de empréstimos.
É muito utilizada pelos bancos para:
▫ Descontar duplicatas  repor capital de giro das
empresas.
▫ Descontar promissórias  efetuar empréstimos.
Existem dois tipos de desconto simples:
▫ Racional (ou por dentro)  igual ao juros simples.
▫ Irracional (ou “por fora”, ou “comercial” ou “bancário)”
26
Desconto Simples
Desconto Racional (Desconto por dentro)
Desconto Simples
É aquele onde a referencia para o cálculo
percentual do desconto é o
VALOR ATUAL (PV)
Desconto Comercial (Desconto por fora)
É aquele onde a referencia para o cálculo
percentual do desconto é o
VALOR NOMINAL (FV)
Desconto Racional Simples
• No Brasil não é muito praticado, pois é
desfavorável para aquele que possui os recursos
financeiros e terá de conceber um desconto em
função de uma negociação.
• Esta operação é interessante para quem solicita o
desconto, mas quem determina a metodologia de
cálculo da operação geralmente é quem tem a
posse dos recursos financeiros.
28
Desconto Racional Simples
• O desconto “por dentro” ou racional é obtido
multiplicando-se o valor atual (PV) do título pela taxa
de desconto (i), e este produto pelo prazo (n) a
decorrer até o vencimento do título.
• Entretanto, na prática, o valor atual (PV) do título é
sempre a incógnita, teremos que deduzir uma fórmula
que dê o valor do desconto (D) em função das
variáveis conhecidas, ou seja, ( FV, i e n).
Desconto Racional Simples
DRS = VN – VL
DRS = Desconto Racional Simples
VN = Valor Nominal, Valor de Face (VB)
VL = Valor Líquido (negociado antes do venc.)
VN = VL (1 + id x nd)  VL = VN / (1 + id x nd)
VN .id .nd
DRS 
1  id .nd
30
Desconto Racional Simples
• Fórmula:
 id  n  
D  FV  

 1  id  n 
31
Desconto Racional Simples
Desconto “por dentro” ou racional
⇒ 100% é o valor ATUAL
Neste caso, o nosso esquema será:
100% +
i%
= (100% + i%)
Valor Atual
DESCONTO
Valor Nominal
Atenção: a taxa de desconto, i%, é sempre
proporcional ao prazo de antecipação do título.
Desconto Racional Simples
Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00
é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o
desconto racional?
Valor Líquido = R$ 23.809,52
DRS = R$ 1.190,48
Desconto Comercial Simples “bancário”, “irracional” ou “por
fora”
• Assim como nas operações de juros simples, o desconto
bancário simples resulta do produto do prazo (n) pela taxa
de desconto (id).
• No entanto, enquanto na linguagem dos juros simples, as
taxas de juros incidem sobre o capital inicial, no desconto
bancário simples, as taxas de desconto incidem sobre o
montante.
Taxa de desconto  Taxa de Juros
34
Desconto Comercial Simples
• Juros simples calculado sobre o valor nominal (VF) do
título de crédito, no prazo (n) que falta para o vencimento, a
uma taxa (id) denominada taxa de desconto. É utilizada no
Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas
chamadas
operações
de
desconto
de
duplicatas
realizado pelos bancos. Por definição o desconto “por
fora” é obtido multiplicando-se o valor de resgate (FV) do
título pela taxa de desconto (id), e este produto pelo prazo
(n) a decorrer até o vencimento.
35
Desconto Comercial Simples
• Fórmulas:
D  FV  id  n
D  FV  PV
PV  FV  D
PV  FV (1  id  n)
36
Desconto Comercial Simples
Desconto “por fora” ou comercial
⇒ 100% é o valor NONINAL
Neste caso, o nosso esquema será:
(100% - i%) +
i%
Valor atual
DESCONTO
=
100%
Valor Nominal
Desconto Comercial Simples
DBS = VN x id x nd e VL = VN - DBS
DBS = Desconto Bancário Simples
VN = Valor Nominal, Valor de Face (VB)
VL = Valor Líquido (negociado antes do venc.)
id
= taxa de desconto
nd = prazo de desconto
Desconto Comercial Simples
Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00
é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o
desconto bancário?
DBS = VN x id x nd
DBS = R$ 1.250,00
Valor Líquido = R$
23.750,00
Desconto Comercial Simples
Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em
um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de
2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 1% a
título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título.
Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida
de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?
VL = VN – DBS – Diof - DADM
a) DBS = 25.000 x 0,025 x 2 = R$ 1.250,00
b) DADM = 25.000 x 0,01
= R$ 250,00
c) DIOF = 25.000 x 0,000041
= R$ 61,50
VL = 25.000 -1.250 – 250 – 61,50 = R$ 23.438,50
Desconto Comercial Simples
Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em
um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de
2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra uma 1% a título de
despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o
valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma
outra alternativa sería tomar um empréstimo com a taxa líquida de
2,8% ao mês. Qual a melhor opção?
Sendo PV = 23.438,50 e FV = 25.000,00, então a taxa
desta operação será:
i = 25.000 – 23.438,50 / 25.000 x 2 = 0,0312 = 3,12%
Obs.: A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao
mês, neste caso, será a melhor opção.
41
Exemplo Desconto
• Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a
decorrer até o seu vencimento, foi descontada por
um banco à taxa de 2,7% ao mês. Calcular o valor
líquido creditado ou entregue ao cliente, de acordo
com os dois conceitos.
▫
▫
▫
▫
▫
Dados:
FV = 70.000,00
n = 90 dias
i = 2,7% a.m.
PV = ?
42
Exemplo Desconto Racional
▫
▫
▫
▫
▫
Dados:
FV = 70.000,00
n = 90 dias  90/30 = 3 m
i = 2,7% a.m.
PV = ?
 d  n 
D  FV  PV
D  FV  

 1  d  n
5.245,14  70.000 PV
 0,081
D  70.000 
PV  64.754,86

 1,081
D  70.000 0,0749306
D  5.245,14
43
Exemplo Desconto Racional
100%
Valor Atual
+
i%
DESCONTO
=
100% + (2,7%.3) = (100% + 2,7%.3)
100% + 8,10% = 108,10%
70.000
A
108,1%
100%
7.000.000 = 108,1 A
A = 64.754,85
(100% + i%)
Valor Nominal
44
Exemplo Desconto Comercial
▫
▫
▫
▫
▫
Dados:
FV = 70.000,00
n = 90 dias  90/30 = 3 meses
i = 2,7% a.m.
PV = ?
PV  FV (1  d  n)
PV  70.000 (1  0,027 3)
PV  70.000 0,919
PV  64.330,00
45
Exemplo Desconto Comercial
(100% - i%) +
Valor atual
i%
=
DESCONTO
100%- (2,7%.3) + (2,7%.3) = 100%
100% - 8,10% + 8,10% = 100%
91,90% + 8,10% = 100%
70.000
100%
A
91,90%
6.433.000 = 100 A
A = 64.330,00
100%
Valor Nominal
46
Desconto Bancário
É o DESCONTO COMERCIAL acrescido de uma TAXA DE
DESPESAS BANCÁRIAS, aplicadas sobre o valor nominal.
A taxa de despesa bancária está relacionada com as
despesas administrativas do banco, necessárias para efetuar
a operação.
Db = N i n + N h
h = taxa de despesas bancárias
Db = N (in + h)
47
Exemplo Desconto Bancário
• Um título de R$ 100.000,00, é descontado em um banco,
seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto
comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre
o valor nominal do título como despesa administrativa e
1,5% a.a de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo
proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
▫ Dados:
▫ N = 100.000,00
Despesas Bancárias:
▫ n = 6 meses
Taxa Adm = 2% N
▫ i = 5% a.m.
IOF= 1,5% a.a.
▫ V=?
DESCONTO DE PROMISSÓRIAS E DUPLICATAS
Se uma duplicata tem um valor de R$ 1.000,00 e deve ter um
desconto de 10%, então recebe-se a quantia de R$ 900,00.
Logo, você recebe R$ 900,00 e promete que pagará R$
1.000,00. Dessa forma o juro real cobrado é de R$ 100,00
em R$ 900,00, ou seja, uma taxa de desconto de 10%
corresponde a uma taxa de juros de 11,11%.
900,00 ---- 100%
100 ---- x
x = 11,11%
NOTAS PROMISSÓRIAS
• Nota Promissória é o Título de Crédito que
corresponde a uma promessa de pagamento,
muito usada entre pessoas físicas ou entre
pessoas físicas e uma Instituição Financeira.
• É um documento legal em que alguém se
compromete a pagar a outra pessoa ou empresa
uma determinada quantia em determinada data.
NOTAS PROMISSÓRIAS - EXEMPLO
DESCONTO DE NOTAS PROMISSÓRIAS
Valor Líquido descontado  Diferença entre o valor de face
de um título e o valor do desconto aplicado.
Exemplo: Descontar uma nota promissória de R$ 10.000,00
com prazo de 2 meses, a uma taxa de desconto de 4,2% ao
mês, determinando:
a) o valor líquido obtido;
b) a taxa de juros simples equivalente a essa operação de
desconto.
VL = VB (1 – id * n)
ou
PV = FV (1 – id * n)
FÓRMULA DO DESCONTO SIMPLES
D = FV * id * n
PV = FV – D  VL = VB - D
PV = FV (1 – id * n)
FV = PV / (1 – id * n)
Dedução da Fórmula Matemática:
Valor Presente: PV = FV – D  PV = FV - FV * id * n
PV = FV (1 – id * n)
Valor Futuro (Valor de Face do Título): FV = PV / (1 – id * n)
Onde: id = taxa de desconto
D = valor do desconto (R$)
DESCONTO DE NOTAS PROMISSÓRIAS
Dados:
• VB = 10.000,00
• n = 2 meses
• i = 4,2% a.m.
10.000,00
8,4%
9160,00
91,6%
0
2 meses
Solução:
id = 4,2% . 2 = 8,4% p/ 2 meses
VL = 10.000 (1 - 0,084)
VL = 10.000 * 0,916
VL = R$ 9.160,00
O portador da nota promissória
recebeu R$ 9.160,00 e pagará R$
10.000,00 ao final de 2 meses.
DESCONTO DE NOTAS PROMISSÓRIAS
Falta calcular a taxa de juros mensal equivalente...
Lembrando que Principal * Coeficiente = Montante, então:
9.160 * Coeficiente = 10.000
Coeficiente = 10.000 / 9.160  Coeficiente = 1,0917
 O coeficiente na linguagem de desconto é 1,0917
Em juros simples: FV = VP * (1 + i * n), ou seja:
Montante
Principal
Coeficiente
Coeficiente na linguagem de juros simples é igual a (1 + i * n)
DESCONTO DE NOTAS PROMISSÓRIAS
Para determinar a taxa equivalente em juros simples nesta
operação basta igualarmos os coeficientes...
Coeficiente (juros simples) = Coeficiente (desconto)
1 + i * n = 1,0917
i * 2 = 1,0917 - 1
i * 2 = 0,0917
i = 0,0917 / 2 = 0,0459 = 4,59% a.m.
Para 2 meses a taxa de desconto de 4,2% é equivalente
à taxa de juros simples de 4,59% a.m.
Outro cáculo da taxa de juros mensal equivalente
J = 10.000 – 9.160
J = 840
J = VL . i . n
i = 840 / 9160 x 2 = 0,0459
i = 4,59% ao mês
Para 2 meses a taxa de desconto de 4,2% a.m. é
equivalente à taxa de juros simples de 4,59% a.m.
Cálculo da NP a partir do Valor Líquido
Exemplo: Um paciente precisou de R$ 5.000,00
líquidos para pagar a conta do hospital e obteve o
dinheiro pelo desconto de uma nota promissória no
prazo de 42 dias, a uma taxa de desconto de 4,5%
ao mês. Determine:
a) o valor da Nota Promissória
b) a taxa mensal equivalente de juros simples.
Cálculo da NP a partir do Valor Líquido
Dados:
• VL = 5.000,00
5.000,00
• n = 42 dias
• i = 4,5% a.m.
= 4,5%  30 = 0,15% a.d.
0
5.336,18
6,3%
93,7%
42 dias
Solução:
id = 0,15 * 42 = 6,3% p/ 42 dias
VB = VL / (1 - desconto) Para o portador da nota promissória
VB = 5.000 / (1 - 0,063) receber R$ 5.000,00 ao descontar a NP,
ele deverá pagar R$ 5.336,18 ao final de
VB = 5.336,18
42 dias.
Cálculo da NP a partir do Valor Líquido
Falta calcular a taxa de juros mensal equivalente
Lembrando que Principal * Coeficiente = Montante, então:
5.000 * Coeficiente = 5.336,18
Coeficiente = 5.336,18 / 5.000  Coeficiente = 1,0672
 O coeficiente na linguagem de desconto é 1,0672
Em juros simples: S = P * (1 + i * n), ou seja:
Montante
Principal
Coeficiente
Coeficiente na linguagem de juros simples é igual a (1 + i * n)
Cálculo da NP a partir do Valor Líquido
Para determinar a taxa equivalente em juros simples nesta
operação basta igualarmos os coeficientes...
Coeficiente (juros simples) = Coeficiente (desconto)
1 + i * n = 1,0672
i * 42 = 1,0672 - 1
i = 0,0672 / 42
i = 0,0016 a.d. = 0,0016 * 30 = 0,048 = 4,8% a.m.
Para 42 dias a taxa de desconto de 4,5% é equivalente
à taxa de juros simples de 4,8% a.m.
Para determinar a taxa equivalente em juros simples nesta
operação basta igualarmos os juros ao desconto obtido.
J = desconto = 5.336,18 – 5.000,00
J = 336,18
J = VP . i . n
336,18 = 5.000 x i x 42
i = 0,0016
i = 0,16% ao dia
i = 4,8% ao mês
Para 42 dias, a taxa de desconto de 4,5% é equivalente à
taxa de juros simples de 4,8% a.m.
DUPLICATAS
• Duplicata é o título emitido por uma pessoa jurídica contra o
cliente (pessoa física ou jurídica) para o qual ela vendeu
mercadorias à prazo ou prestou serviços para serem pagos
no futuro segundo um contrato.
• As empresas vendedoras ou prestadoras de serviços
costumam trocar duplicatas em bancos para poder repor
seu capital de giro, uma vez que podem ter realizado várias
operações mercantis (vendas), mas terem recebido pouco
dinheiro à vista.
• São trocadas em bancos a taxas mais baixas que
promissórias pois, em geral, a empresa se compromete a
pagar por duplicatas não cobertas.
DUPLICATAS - EXEMPLO
DESCONTO DE DUPLICATAS
Exemplo 1: Descontar uma duplicata de R$ 85.600,00 para
21 dias, a uma taxa de desconto de 3,6% ao mês.
Dados:
• VB = 85.600,00
• n = 21 dias
• i = 3,6% a.m. = 0,12% a.d.
85.600,00
83.442,88
Solução:
id = 0,12 * 21 = 2,52% p/ 21 dias
0
21 dias
VL = VB * (1 - desconto) O portador da duplicata irá
receber R$
VL = 85.600 * (1 - 0,0252) 83.442,88 ao descontar hoje a duplicata de R$
85.600,00 com prazo de 21 dias.
VL = 83.442,88
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Exemplo 2: Determinar o Valor Líquido obtido pelo
desconto do seguinte Borderô de Duplicatas, com
taxa de desconto de 3,3% ao mês:
• R$ 19.000,00 ---- 16 dias
• R$ 24.000,00 ---- 32 dias
• R$ 35.000,00 ---- 41 dias
Valor da
Prazo Coeficiente
Valor
Duplicata
líquido
R$ 19.000,00
16
18.665,60
0,9824
R$ 24.000,00
32
R$ 35.000,00
41
id = 3,3% ao mês / 30 = 0,11% a.d.
Para 16 dias  id = (0,0011 * 16) = 0,0176
Coeficiente = 1 - 0,0176 = 0,9824
Valor Líquido = 19.000 * 0,9824 = R$ 18.665,60
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Valor da
Prazo Coeficiente
Valor
Duplicata
líquido
R$ 19.000,00
16
18.665,60
0,9824
R$ 24.000,00
32
23.155,20
0,9648
R$ 35.000,00
41
Id = 3,3% ao mês / 30 = 0,11% a.d.
Para 32 dias  Id = (0,0011 * 32) = 0,0352
Coeficiente = 1 - 0,0352 = 0,9648
Valor Líquido = 24.000 * 0,9648 = R$ 23.155,20
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Valor da
Prazo Coeficiente
Valor
Duplicata
líquido
R$ 19.000,00
16
18.665,60
0,9824
R$ 24.000,00
32
23.155,20
0,9648
R$ 35.000,00
41
33.421,50
0,9549
Id = 3,3% ao mês / 30 = 0,11% a.d.
Para 41 dias  Id = (0,0011 * 41) = 0,0451
Coeficiente = 1 - 0,0451 = 0,9549
Valor Líquido = 35.000 * 0,9549 = R$ 33.421,50
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Valor da
Prazo Coeficiente
Valor
Duplicata
líquido
R$ 19.000,00
16
18.665,60
0,9824
R$ 24.000,00
32
23.155,20
0,9648
R$ 35.000,00
41
33.421,50
0,9549
Valor líquido total = 18.665,60 + 23.155,20 + 33.421,50
Valor líquido total = R$ 75.242,30
Assim, quem descontar o borderô de duplicatas irá receber
R$ 75.242,30. Se esperasse o prazo das mesmas para
recebê-las, receberia R$ 78.000,00.
Irá pagar pela necessidade imediata de dinheiro no bolso!
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Exemplo 2: Suponha que as duplicatas do borderô do
exemplo anterior foram substituídas pelo desconto de
uma única NP com prazo de 22 dias, de tal maneira que o
banco obtivesse a mesma receita contábil, considerada a
taxa de desconto de 3,3% ao mês: Determinar o valor
dessa única NP.
• R$ 19.000,00 ---- 16 dias
• R$ 24.000,00 ---- 32 dias
• R$ 35.000,00 ---- 41 dias
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
A1
A2
A
3
0
1
6
2
2
32
41
P = A1 + A2 + A3
•
•
•
•
•
i = 3,3% / 30 = 0,11% ao dia (taxa de desconto)
taxa de desconto no período de 22 dias: 0,11 x 22 = 2,42%
taxa de desconto da 1ª Duplicata : 0,11 x 16 = 1,76%
taxa de desconto da 2ª Duplicata : 0,11 x 32 = 3,52%
taxa de desconto da 3ª Duplicata : 0,11 x 41 = 4,51%
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
• Receita contábil do desconto das duplicatas:
0,0176 x 19.000 = 334,40
0,0352 x 24.000 = 844,80
0,0451 x 35.000 = 1.578,50
Total
R$ 2.757,70
Como a receita contábil obtida pelo desconto da NP deve
ser igual à receita do desconto das duplicatas, então:
NP x 2,42% = 2.757,70
NP x 0,0242 = 2.757,70
NP = 2,757,70 / 0,0242
NP = R$ 113.954,55 (valor da NP única)
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Exemplo 3: uma empresa apresenta o borderô de
duplicatas abaixo, para serem descontadas num
banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês.
Qual o valor líquido recebido pela empresa?
• R$ 2.500,00 ---- 25 dias
• R$ 3.500,00 ---- 57 dias
• R$ 6.500,00 ---- 72 dias
DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS
Duplicata
R$ 2.500,00
R$ 3.500,00
R$ 6.500,00
Prazo
(dias)
25
57
72
Coeficiente
0,975
Valor
líquido
62,50
199,50
468,00
id = 3% ao mês / 30 = 0,1% a.d.
Para 25 dias  Id = (0,001 * 25) = 0,025
Coeficiente = 1 - 0,025 = 0,975
Valor Líquido = 2.500 * 0,975 = R$ 62,50
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amintas paiva afonso