"CURSO DE AVALIAÇÃO S0CIOECONÔMICA DE
PROJETOS"
BRASÍLIA
BRASIL
CLAUDIA NERINA BOTTEON
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Maio - 2009
CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS
• Valor do dinheiro ao longo do tempo.
• Juros e taxas de juros.
• Valores atuais e futuros num único valor
monetário e de uma série de valores iguais ou
diferentes.
“MOMENTO” Y “PERÍODO”
Momento:
INSTANTE no tempo
(exemplo: 30 de Julio de 2003)
Período:
tempo decorrido entre dois momentos do
projeto (exemplo: 30/7 á 30/8 de 2003)
Momento 0
Momento 1
Primeiro mês
Momento 2
Segundo mês
Momento n
Fluxo mensal
VALOR DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO
IDEIA CENTRAL: O valor atribuído a um real hoje é maior
que o valor dado a um real disponível no futuro.
Não é o mesmo:
R$ 100 hoje
CAUSAS DESTA DIFERENÇA:
Impaciência
Risco
Oportunidades de investimento
Promessa
de R$ 100
num mês
CONCEITO DE JUROS
O QUÉ É JUROS?
Os juros é esse “adicional” que se pode obter se o
dinheiro for aplicado numa alternativa de
investimento.
TAXA DE JUROS
É uma forma de medir qual porcentagem representa
os juros em relação ao capital investido.
Por exemplo:
Invisto R$ 1.000
Obtenho: R$ 60
Taxa: 60/1.000 = 0,06 = 6%
Importante: definir bem o período
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
1. JUROS SIMPLES
 Os juros se recebem sobre o capital investido
originalmente.
 Suposto: os juros são retirands em cada período.
Exemplo numérico:
Se toma emprestado R$ 1.000 para ser devolvido
em três anos, a juros simples. Taxa anual de juros: 10%
Período
Dívida ao início
do ano
Juros anuais
Dívida ao final
do ano
1
2
3
1.000
1.100
1.200
100
100
100
1.100
1.200
1.300
Capital inicial (A) = 1.000
Capital final ou valor ou montante total (MT) = 1.300
Juros totais (IT) = MT – A =
300
Forma de calcular o IT:
300 = 1.000 . 3 . 0,10
IT
= A
.
n
.
TP
Fórmula “principal”
Fórmulas derivadas:
Montante total: MT = A + IT = A + (A . n . TP)
Taxa de juros: TP = IT / ( A . n)
=
A . ( 1 + n . TP)
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
2. JUROS COMPOSTOS
 Os juros são recebidos sobre o capital investido
originalmente ao qual vão sendo acumulados os juros que se
vão ganhando.
 Suposto: os juros não são retirados em cada período.
Exemplo numérico:
Se toma emprestado R$ 1.000 a ser pago em três
anos, a juros compostos. Taxa anual de juros: 10%
Período
Dívida ao início
do ano
Juros anuais
Dívida ao final
do ano
1
2
3
1.000
1.100
1.210
100
110
121
1.100
1.210
1.331
Capital inicial (A) = 1.000
Capital final ou valor ou MONTANTE TOTAL (MT) = 1.331
Juros totais (IT) = MT – A =
331
Forma de calcular o MT:
1.331 = 1.000 . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) = 1.000 . (1+ 0,10)3
MT
= A
.
(1+ i)n
Fórmula “principal”
Fórmulas derivadas:
Juros totais: IT = MT - A = A . (1+i)n - A = A . [(1+i)n – 1]
Capital inicial: A = MT / (1+i)n
Taxa de juros: i = (MT / A)(1/n) - 1
NA AVALIAÇÃO DE PROJETOS:
Utiliza-se sempre JUROS COMPOSTOS
O capital inicial (A) é denominado de VALOR PRESENTE (VP)
O montante total (MT)é denominado de VALOR FUTURO (VF)
Portanto, centramos a atenção em duas fórmulas:
VF = VP . (1+i)n
VP = VF / (1+i)n
EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS DE JUROS
1. TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas de juros são proporcionais quando estando
referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um
mesmo capital inicial e se capitalizado a juros simples
produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo.
Utilizando o exemplo anterior (juros simples)
Taxa 10% anual:
MT = 1.000 . ( 1 + 3 . 0,10 ) = 1.300
Taxa 30% de 3 anos:
MT = 1.000 . ( 1 + 1 . 0,30 ) = 1.300
No mesmo lapso (três anos) produzem o mesmo montante total.
Pelo tanto, estas duas taxas são proporcionais.
Como se obtém outras taxas proporcionais a estas duas?
Supõe-se que se deseja obter uma taxa proporcional semestral à taxa
mensal de 1%. O procedimento tem três etapas:
Primeira etapa: igualização do prazo
• Neste caso, o prazo se iguala em seis meses.
• A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez.
Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso
• Mensal:
• Semestral:
MT = A . ( 1 + 0,01 . 6 )
MT = A . ( 1 + TPsemestral . 1 )
Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo da TP
A . ( 1 + 0,01 . 6 ) = A . ( 1 + TP semestral . 1 )
1,06 = 1 + TP semestral . 1
(1,6 – 1) = TP semetral = 0,06
2. TAXAS EQUIVALENTES
As taxas de juros são equivalentes quando são referidas a
períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo
capital inicial e capitalizado a juros COMPOSTOS produzem
o mesmo montante total em igual lapso de tempo
Utilizando o exemplo anterior (juros compostos)
Taxa 10% anual:
MT = 1.000 . ( 1 + 0,10 )3 = 1.331
Taxa 33,1% três anos:
MT = 1.000 . ( 1 + 0,331) = 1.331
No mesmo lapso (três anos), as taxas produzem o mesmo
montante total. Portanto, estas duas taxas são equivalentes.
Como se obtém outras taxas equivalentes a estas duas?
Supõe-se que se deseja obter una taxa semestral equivalente à taxa
mensal de 1%. O procedimento tem três etapas:
Primeira etapa: igualização do prazo
• Neste caso, o prazo se iguala em seis meses.
• A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez.
Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso
• Mensal:
• Semestral:
MT = A . ( 1 + 0,01)6
MT = A . ( 1 + i semestral)1
Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo de i
( 1 + 0,01 )6 = ( 1 + i semestral)1
( 1,06152015) - 1 = i semestral
i semestral = 0,0615
Passar de uma taxa NOMINAL para outra EFETIVA
Taxa nominal
anual
Taxa periódica
proporcional
Por proporcionalidade
de taxas
Taxa efetiva
anual
Por equivalência de
taxas
Um elemento essencial para poder passar
de uma taxa nominal a uma efetiva é a
unidade de tempo definida para a
capitalização de juros
Os resultados são diferentes
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Exemplo: Taxa nominal anual: 20%
A capitalização é mensal
Taxa mensal proporcional:
TP anual = TP mensal x 12
0,2 / 12 = 0,0167 = TP mensal
Taxa efetiva anual:
(1 + 0,0167)12 - 1 = TEA
0,2194 = TEA
21,94% > 20%
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Exemplo: Taxa nominal anual: 20%
A capitalização é bimestral
Taxa bimestral proporcional:
TP anual = TP bimestral x 6
0,2 / 6 = 0,0333 = TP bimestral
Taxa efetiva anual:
(1 + 0,0333)6 - 1 = TEA
0,2174 = TEA
21,74% > 20%
A TEA resultante com capitalização bimestral é menor
que a TEA com capitalização mensal.
Isto ocorre pois os juros passam a formar parte do
capital a cada período e sobre quais são cobrados
novos juros.
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Exemplo: Taxa nominal anual: 20%
A capitalização é anual
Taxa anual proporcional:
Taxa efetiva anual:
TP anual = 20%
(1 + 0,2)1 - 1 = TEA
0,20 = TEA
A TEA é igual a TNA, quando a capitalização é anual.
Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA
Exemplo: Taxa nominal anual: 12%
A capitalização é mensal
Taxa mensal proporcional:
Taxa efetiva mensal:
TP mensal = 1%
(1 + 0,01) - 1 = i mensal
0,01 = i mensal
Taxa efetiva bimestral:
(1 + 0,01)2 - 1 = i bimestral
0,0201 = i bimestral
VALORES PRESENTES E VALORES FUTUROS
Valor futuro de uma soma presente
Valor presente de uma soma futura
Valor presente de um plano de prestações futuras
diferentes
Valor presente de um plano de prestações iguais
Valor presente de um plano de prestações crescentes a
uma taxa constante
1. VALOR FUTURO DE UMA SOMA PRESENTE
É o valor que essa soma (presente) terá ao final do tempo,
considerando juros compostos.
Soma presente
(R$)
...JUROS...
Valor Futuro
(R$)
Para efetuar o cálculo é necessário conhecer:
•
•
•
A duração total do período
A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso
A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)
Fórmula geral a aplicar
= VP . ( 1 + i ) n
VF
Exemplo 1:
Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três
meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de 2%?
VF = 150 . ( 1 + 0,02 )3 = 159,18
150
153
156,06
159,18
“CAPITALIZAÇÃO”
Exemplo 2: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três
meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de 2% durante
dois meses e 5% no terceiro?
VF = 150 . ( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05 ) = 163,86
Se a taxa de juros muda o durante o lapso considerado,
deve-se “separar” a fórmula geral
Fórmula geral a aplicar
VF
= VP . ( 1 + i ) n
Exemplo 3: Qual é o valor futuro de R$ 100 ao final de 14
meses, se a taxa de juros efetiva semestral é de
10%?
O primeiro a fazer é encontrar a taxa efetiva mensal:
i mensal = (1,1)(1/6) – 1 = 1,6012%
O valor futuro no momento 14 resulta:
VF14 = 100 . ( 1,016012)14 = 124,91
2. VALOR PRESENTE DE UMA SOMA FUTURA
É o valor que essa soma (futura) terá HOJE. Calcula-se
utilizando juros compostos.
Valor presente
(R$)
Soma Futura
(R$)
Para efetuar o cálculo é necessário conhecer:
•
•
•
A duração total do período
A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso
A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)
Fórmula geral a aplicar
VP = VF / ( 1 + i ) n
Exemplo 1: Qual é o valor presente de R$ 150 a receber dentro de três
meses, se a taxa de juros mensal é de 2%?
VP = 150 / ( 1 + 0,02 )3 = 141,35
141,35
144,17
147,06
150
“ATUALIZAÇÃO”
Exemplo 2: Qual é o valor presente de R$ 150 após três
meses, si se estima que a taxa de juros mensal será
2% durante dois meses e 5% no terceiro?
VP = 150 / [( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05) ] = 137,31
Se a taxa de juro muda durante o lapso considerado,
deve-se “separar” a fórmula geral
3. VALOR PRESENTE DE FUTURAS E DIFERENTES
SOMAS DE DINHEIRO
É a soma dos valores presentes de cada soma futura
(utilizando juros compostos).
SF1
SF2
SF3
...
SFn
VP1
VP2
+
VP3
...
VPn
VP
Cada una das somas deve ser
ATUALIZADA devidamente
Exemplo: Qual é o valor presente das seguintes duas somas a
receber no futuro: R$ 200 ao final de 10 meses e R$ 400 ao
final de 18 meses? A taxa efetiva mensal: 10%.
200
VP ( R $ 200 ) 
200
(1,10 )
10
 77 ,11
+
VP ( R $ 400 ) 
400
(1,10 )
VP(conjunto) 
18
 71,94
200
400
+
 149,05
10
18
(1,10)
(1,10)
400
4. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES
IGUAIS
É a soma dos valores presentes de cada prestação
(utilizando juros compostos).
O que é uma prestação? É uma soma de dinheiro que será
paga ou recebida regularmente ao largo do tempo.
•
•
Devem ser iguais em montante
Devem estar uniformemente distribuídas no tempo
Tipos de prestações
De acordo ao seu número:
•
•
Denominam-se ANUALIDADES se são prestações finitas
Denominam-se PERPETUIDADES se são prestações infinitas
De acordo ao momento de pagamento da primeira delas:
•
•
•
No principio do período denominam-se ADIANTADAS
Ao final do período denominam-se VENCIDAS
Em qualquer outro momento, denominam-se DIFERIDAS
a) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE VENCIDA
0
1
2
1°C
2° C

C
C
+
+ ....
VP 
2
(1 + i) (1 + i)
VP  (1 + i)  C +
C
C
+
+ ....
2
(1 + i) (1 + i)
Diminuindo a segunda da primeira:
VP  (1 + i) - VP  C
C
VP 
i
b) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE ADIANTADA
0
1
1°C
2° C
2

É como você atualizar todo o fluxo
para o “momento –1” e em
seguida capitalizar por um
período
C
VP   (1 + i)
i
Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas
prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de
R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral?
250
250
250
……
VP = 250 / 0,10 = 2.500
Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações
semestrais, se forem adiantadas?
250
250
250
…….
VP = (250 / 0,10) . 1,1 = 2.500 . 1,1 = 2.750
Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas
prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de
R$ 250, calculadas a 10% efetivo anual?
Primeiro: deve-se calcular a taxa efetiva semestral, já que as
prestações são semestrais: 4,88% (equivalente à taxa de
10% anual).
Logo: a cota VP = 250 / 0,0488 = 5.122,02
Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas
prestações semestrais de R$ 250, se a primeira deve ser
paga após 14 meses, calculadas a 10% efetivo anual?
c) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE VENCIDA
1° C
VP 
2° C
Enésima
C
C
C
+
+ .... +
(1 + i) (1 + i) 2
(1 + i)n
VP  (1 + i)  C +
C
C
C
+
+ .... +
(1 + i) (1 + i) 2
(1 + i)n 1
Diminuindo a segunda da primeira:
C
VP  (1 + i) - VP  C (1 + i)n
C 
1 
(1 + i)n - 1
 C
VP   1 n
i  (1 + i) 
(1 + i)n  i
d) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE ADIANTADA
0
1°C
1
2° C
2
n-1
Enésima
C 
1 
(1 + i)n - 1
 (1 + i)  C 
 (1 + i)
VP   1 n
n
i  (1 + i) 
(1 + i)  i
Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de 6
prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de
R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral?
250
250
250
250
250
250
 (1,10 ) 6 - 1 
VP  250  
  1 .088 ,82
6
 (1,10 )  0,10 
Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações
semestrais, se forem adiantadas?
250
250
250
250
250
250
 (1,10)6 - 1 
VP  250  
  (1,10)  1.197,70
6
 (1,10)  0,10 
Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de 6
prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250
calculadas a 10% efetivo semestral, se a primeira delas for
paga após 2 meses?
Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações
semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 1%
efetivo mensal, se a primeira delas deve ser paga após 12 meses?
5. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES
CRESCENTES A UMA TAXA CONSTANTE
Conceito
0
Distribuição das cotas
1
2
…
C
C·(1+ )
…
Taxa constante de crescimento: 
C é o valor correspondente à primeira prestação/cota.
n
n
n

(1 +  ) 
(1 + i ) - (1 +  )
VP 
 1  C
.
n 
n
i- 
(1 + i ) 
(1 + i )  ( i -  )
C
Se o número de prestações for infinito:
VP 
C
i- 
.
n
C·(1+ )
n-1
Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitos
benefícios líquidos de transitar, calculadas a 10% efetivo
anual?
Conceito
0
Benefício líquido de transitar
1
2
3
4a
95.000
96.900
98.838
...
Taxa constante de crescimento: 2% anual
VP 
95.000
 R$ 1.187.500 .
(0,1 - 0,02)
Exemplo 2: ¿Qual é o valor presente dos benefícios se seu
número for 20?
95.000  (1,02) 20 
VP 
 1  R$ 925.209,02 .
20 
(0,1 - 0,02) 
(1,1) 