Ensino Superior
Introdução aos Sistemas de Controle
2.5.2 Revisões Fundamentais
Equações Diferenciais
Amintas Paiva Afonso
Soluções Numéricas
de EDO’s
Amintas Paiva Afonso
Equações Diferenciais
 Equações contendo derivadas são equações diferenciais.
 É necessário conhecer equações diferenciais para:
• Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de
corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em
objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas
sísmica, o aumento ou diminuição de populações, o
movimento de fluidos, entre outros.
 Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de
primitivas compreende a determinação de soluções de uma
equação diferencial.
Equações Diferenciais
 Você aprendeu, em cálculo, que a derivada dy/dx de uma
função y =  (x) é em si uma outra função ’(x).
2
 A função y  e
é diferencial no intervalo (-, ), e a sua
2
0 ,1 x
0 ,1 x
derivada é dy / dx  0 , 2 xe
. Se substituirmos e
no lado
direito da derivada pelo símbolo y, obteremos
0 ,1 x
2
dy
 0 , 2 xy
(1)
dx
 Como resolver essa equação na função incógnita y =  (x)?
 A equação construída em (1) é chamada de equação diferencial.
Definição de Equação
Diferencial
 Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de
uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais
variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED).
 Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equações
diferenciais por tipo, ordem e linearidade.
Classificação quanto ao Tipo
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): se a função
desconhecida depende de uma única variável independente.
Neste caso, aparecem apenas derivadas simples.
dy
5y  e ,
x
dx
2
d y
dx

2
dy
dx
 6 y  0,
dx
dt

dy
 2x  y
dt
(2)
Equações Diferenciais Parciais (EDP): se a função
desconhecida depende de diversas variáveis independentes.
Neste caso, aparecem as derivadas parciais.
 u
2
x
2
 u

y
2
 u
2
2
 0,
x
2
 u
2

t
2
2
u
t
,
u
y

v
x
(3)
Classificação de Equações
Diferenciais
Notação de Leibniz:
dy
Notação de Leibniz:
dy
2
3
d y d y
,
,
,...
2
3
dx dx
dx
2
5y  e ,
x
d y
dx
dx
Notação linha:
Notação linha: y `, y ``, y ```,...
y `5 y  e ,
x
2

dy
 6 y  0,
dx
dx
dt

dy
 2x  y
dt
y ``  y ` 6 y  0,
A notação linha é usada somente para denotar as três
primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como y(4), em
vez de y’’’’.
Classificação de Equações
Diferenciais
Sistema de equações diferenciais: se existem duas ou mais
funções que devem ser determinadas, precisamos de um
sistema de equações.
dx
 f (t , x , y )
dt
dy
(8)
 g (t , x , y )
dt
Uma solução de um sistema como (8) é um par de funções
diferenciais x = 1(t), y = 2(t), definidas em um intervalo comum I,
que satisfazem cada equação do sistema neste intervalo.
Classificação de Equações
Diferenciais
Notação ponto de Newton (cocô de mosca): é às vezes
usada em Física ou Engenharia para denotar derivadas em
relação ao tempo. Assim sendo, a equação diferencial
2
d s
dt
2
  32
torna-se
s   32
Derivadas parciais são geralmente denotadas por uma
notação em subscrito. Assim sendo, a equação diferencial
 u
2
x
2
 u
2

t
2
 2
u
t
, torna-se
u xx  u tt  2 u t
Equações Diferenciais
 Ao estudar alguns fenômenos, é difícil estabelecer
diretamente a relação de dependência entre uma
variável independente x e uma dependente y.
 Todavia, é mais fácil estabelecer a relação entre
x, y e as derivadas y’(x), y’’(x), …, Y(n)(x).
 Esta relação constitui uma equação diferencial.
• Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é
modelada através de equações diferenciais.
Equações Diferenciais
 Equação diferencial:
• é uma equação envolvendo uma função desconhecida
e algumas de suas derivadas.
 Equação diferencial ordinária de ordem n:
• equação que envolve derivadas até a ordem n da forma
Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x))
a ≤ x ≤b.
Classificação por Ordem
Ordem: a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que
aparece na equação.
Exemplos:
dy
dx
4
d y
 5 x  3,
dt
4

3
d y
dt
3

2
d y
dt
2

dy
dt
 y 1
primeira ordem
segunda ordem
2
d y
dx
2
3
 dy 
x
 5
  4y  e
 dx 
É uma equação diferencial de segunda ordem.
Classificação por Ordem
Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são
ocasionalmente escritas na forma diferencial
M(x, y) dy + N(x, y) dx = 0
Por exemplo, supondo que y seja a variável dependente em
(y - x) dx + 4x dy = 0, então y’ = dy/dx
Portanto, dividindo pela diferencial dx, obtemos a forma alternativa
4xy’ + y = x
Classificação por Ordem
Geralmente a equação
F(y, y’, y”, ..., y(n)) = 0
(4)
é uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma
variável dependente.
Onde F é uma função de valores reais de n + 2 variáveis, x, y,
y’, ..., y(n), e onde y(n) = dny / dxn.
Por razões práticas e teóricas, também consideraremos
n
d y
dx
n
 y  f ( x , y , y ' , y " ,..., y
n
( n  1)
)
(5)
Classificação por Ordem
Quando servir aos nossos propósitos, usaremos a forma normal
2
dy
d y
 f ( x, y ) e
 f ( x, y, y ')
2
dx
dx
para representar equações diferenciais ordinárias de primeira
e segunda ordem.
Por exemplo, a forma normal da equação de primeira ordem
4xy’ + y = x é y’ = (x – y)/4x
Classificação por
Linearidade
Equações Lineares e não-lineares: A equação diferencial
F ( x , y ' , y " ,..., y
(n)
)0
(4)
É dita linear se F é uma função linear das varáveis y, y’, y”,..., y(n-1)
Assim a equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é
an ( x) y
(n)
 a n 1 ( x ) y
n
an ( x)
d y
dx
n
 a n 1 ( x )
d
( n  1)
n 1
dx
y
n 1
   a1 ( x ) y ' a 0 ( x ) y  g ( x )  0
   a1 ( x )
dy
dx
 a0 ( x) y  g ( x)
(6)
Classificação por
Linearidade
n
an ( x)
d y
dx
n
 a n 1 ( x )
d
n 1
dx
y
n 1
   a1 ( x )
dy
 a0 ( x) y  g ( x)
dx
(2 )
Em (2) observamos as duas propriedades características de
uma equação diferencial linear:
1) A variável dependente e todas as suas derivadas são do 1º
grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1.
2) Cada coeficiente depende no máximo da variável
independente x. As equações diferenciais ordinárias lineares
abaixo são, respectivamente, de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
(y - x) dx + 4x dy = 0, y’’ – 2y’ + y = 0 e
3
d y
dx
3
 x
dy
dt
5y  e
x
Classificação por
Linearidade
Equações não-lineares: Uma equação diferencial ordinária
não-linear é simplesmente uma que não é linear.
A equação diferencial que não é da forma (1) é uma equação
não-linear. Exemplo: y ' ' ' 2 e t y " yy '  t 4
Funções não-lineares da variável dependente ou de suas derivadas,
como seny ou e y’, não podem aparecer em uma equação linear.
Assim sendo,
Termo não-linear
Coeficiente dependente de y
Termo não-linear
Função não-linear de y
4
2
(1  y ) y ' 2 y  e ,
x
d y
dx
2
Termo não-linear
Potência diferente de 1
 seny  0,
d y
dx
4
 y
2
0
Solução de uma EDO
 Definição: Toda função , definida em um intervalo I que tem
pelo menos n derivadas contínuas em I, as quais quando
substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n
reduzem a equação a uma identidade, é denominada uma
solução da equação diferencial no intervalo.
Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial
ordinária de ordem n (4) é uma função  que tem pelo menos n
derivadas e para qual
F(x, (x), ’(x), ..., (n)(x)) = 0 para todo x em I.
Soluções
Soluções: Uma solução da equação
y(n) = f (x, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) em
<x<
é uma função  tal que `, ``, ... (n) existem e satisfazem
(n)(x) = f [x, (x), `(x), ``(x), ... (n-1) (x)]
para todo x em  < x < 
Em nossa discussão introdutória, vimos que y  e
solução de dy / dx  0 , 2 xe 0 ,1 x no intervalo (-, ).
2
0 ,1 x
2
é uma
Verificação de uma Solução
Exemplo 1: Verifique se a função indicada é uma solução da
equação diferencial dada no intervalo (-, ).
b) y’’ – 2y’ + y = 0; y = xex
a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16
Solução: Uma maneira de verificar se a solução dada é uma
solução é observar depois de substituir, se ambos os lados da
equação são iguais para cada x no intervalo.
a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16
lado esquerdo:
dy

16
dx
lado direito:
xy
1
1/ 2
4 . x  
3
1
x
3
4
 1 4
 x
x 
 16

1/ 2
1 2 1 3
 x . x   x
4
 4
Verificação de uma Solução
Verifique se a função indicada é uma solução da equação
diferencial dada no intervalo (-, ).
a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16
lado esquerdo:
lado direito:
dy

1
4 . x  
3
1
dx
16
xy
 1 4
 x
x 
 16

1/ 2
x
3
4
1/ 2
1 2 1 3
 x . x   x
4
 4
Vemos que ambos os lados são iguais para cada número real x.
Note que y1/2 = ¼ x2 é, por definição, a raiz quadrada não negativa
de 1/16 . x4
Verificação de uma Solução
Verifique se a função indicada é uma solução da equação
diferencial dada no intervalo (-, ).
b) y’’ – 2y’ + y = 0; y = xex
Das derivadas y’ = xex + ex e y’’ = xex + 2ex, temos, para x  
lado esquerdo: y ' ' 2 y ' y  ( xe x  2 e x )  2( x e x  e x )  xe x  0
lado direito: 0
Observe que neste exercício, cada equação diferencial tem a
solução constante y = 0, - < x < . Uma solução de uma
equação diferencial identicamente nula no intervalo I é chamada
de solução trivial.
Curva Integral
O gráfico de uma solução  de uma EDO é chamado de curva
integral. Uma vez que  é uma função diferenciável, ela é
contínua no intervalo de definição I. Assim sendo, pode haver uma
diferença entre o gráfico da função  e a solução da função .
Posto de outra forma, o domínio da função  não precisa ser
igual ao intervalo I de definição (ou domínio) da solução  .
O exemplo 2 ilustra a diferença.
Domínio versus
intervalo I de Definição
Exemplo 2: O domínio de y = 1/x é  - {0}. A função racional y = 1/x, é
descontínua em zero. A função não é diferenciável em x = 0, uma vez que
o eixo y (cuja equação é x = 0) é uma assíntota vertical do gráfico.
Entretanto, y = 1/x é também solução da
equação diferencial linear de primeira ordem
xy’ + y = 0. (verifique)
Mas quando afirmamos que y = 1/x é uma
solução dessa ED, queremos dizer que é uma
função definida em um intervalo I no qual é
diferenciável e satisfaz a equação.
Portanto, tomamos I como sendo (-, 0) ou (0,
duas curvas integrais.
). O gráfico ilustra as
Domínio versus
intervalo I de Definição
Exemplo 2:
(a) Função y = 1/x, x 0
(b) Solução y = 1/x, (0, )
Soluções Explícitas e
Implícitas
Solução Explícita: É quando numa solução a variável dependente
é expressa somente em termos da variável independente e das
constantes.
y = x4/16, y = xex e y = 1/x são soluções explícitas de
dy/dx = xy1/2, y’’ – 2y’ + y = 0 e xy’ + y = 0
Além disso, a solução trivial y = 0 é uma solução explícita de
todas as três equações.
Soluções Explícitas e
Implícitas
Solução Implícita: Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma
solução implícita de uma equação diferencial (4), em um intervalo
I, quando existe pelo menos uma função  que satisfaça a relação,
(n)
bem como a equação diferencial em I.
F ( x , y ' , y " ,..., y )  0 (4)
Exemplo 3: A relação x2 + y2 = 25
é uma solução implícita da ED
dy

dx
x
y
no intervalo -5 < x < 5. Por
diferenciação implícita, obtemos
d
dx
x 
2
d
dx
y
2

d
dx
25
ou
2x  2y
d
dx
0
Soluções Explícitas e
Implícitas
Exemplo 3: Uma solução implícita e duas explícitas de y’ = - x/y
(a) Solução implícita
x2 + y2 = 25
(b) Solução explícita
(c) Solução explícita
y1 
y 2   25  x ,  5  x  5
25  x ,  5  x  5
2
2
Uso de computadores na
solução de EDO
 Exercícios destinados a Laboratório de Computação.
Use um SAC (Sistema Algérico Computacional) para
computar todas as derivadas e fazer as simplificações
necessárias à constatação de que a função indicada é uma
solução particular da equação diferencial dada.
1) y(4) – 20 y’’’ + 158y’’ – 580y’ + 841y = 0; y = xe5x cos 2x
2)
x3y’’’ +
2x2y’’ +
20xy’ - 78y = 0;
y  20
cos( 5 ln x )
x
3
sen ( 5 ln x )
x
Equações Diferenciais
Ordinárias
 A solução de (5’):
• y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x))
(5)
a ≤ x ≤b.
• é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e tem n
derivadas neste intervalo e que satisfaz (5).
• Se a função é de uma só variável, então a equação se chama
ordinária.
• As equações que estabelecem relações entre uma variável e
depende de duas ou mais variáveis independentes e as
derivadas (agora parciais), são chamadas de equações
diferenciais parciais.
Solução de uma EDO
 Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos:
• Método analítico: O que tenta levar à uma solução exata do problema
• Método numérico: O que encontra uma solução aproximada.
 Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x,y) é
encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada.
 Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x,y) = 2x + 3, sua
solução é obtida por:
• y = ∫(2x+3)dx = x2 + 3x + C
• Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem
uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas
soluções para C = 0, C = 2 e C = 4.
Solução de uma EDO
y
C=4
C=2
Note que à medida que C varia,
tem-se uma família de soluções.
C=0
x
Representações de soluções particulares, para alguns valores de
C, da função
y = x 2 + 3 x + C.
Figura 1
Solução de uma EDO
Para determinarmos uma solução específica é necessária a atribuição do
valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a ,
y = s ) por onde a solução particular deve obrigatoriamente passar.
O processo para encontrar esta solução específica y da equação y ’ =
f ( x, y ) com
y ( a ) = s, onde a e s são dados numéricos, é chamado
de problema de condição inicial.
Assim, podemos particularizar a solução do problema anterior
atribuindo-lhe, por exemplo, a seguinte condição:
 dy
 2x  3

 dx
y ( 0 )  0

y = x 2 + 3x+ C, e a particular será
2
0 2 + 3 x 0 + C  C = 0. Ou seja, y = x + 3 x .
Logo, a solução geral é dada por
dada por y ( 0 ) = 0 =
Definindo as condições
iniciais
 Para especificar uma das curvas que formam a família de
soluções, é preciso impor condições adicionais na função y.
Essas condições são da forma:
• y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n
(2)
• Que são chamadas de condições iniciais.
 O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de
problema de valor inicial ou problema de condições iniciais.
y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, y(n-1)(x)) com a ≤ x ≤b
(1)
Definindo as condições
iniciais
 O problema geral de primeira ordem é escrito como:
• y’(x) = f(x, y(x)), y(a) = 
com a ≤ x ≤ b
(3)
ou
dy/dt = f(t, y(t)), y(a) = 
com a ≤ t ≤ b
 Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como:
• y(n)(x) = f(x, y’, y’’, …, y(n-1)), a ≤ x ≤b
(4a)
• y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n
(4b)
Condições de contorno
 Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter
problemas com condições de contorno, isto é:
 Além da condição no início do fenômeno, temos também uma
condição a atingir no fim do fenômeno.
EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito como
y’’(x) = f(x, y, y’’) ,
com
y(a) = 1 , y(b) = 2
a≤x≤b
(5)
Usando símbolos diferentes
Exemplo 2: As funções x = c1cos4t e x = c2sen4t, onde c1 e c2 são
constantes arbitrárias ou parâmetros, são ambas soluções da
equação diferencial linear x’’ + 16x = 0.
Para x = c1cos4t  x’ = - 4c1sen4t e x’’ = - 16c1cos4t.
Substituindo x’’ e x, obtemos
x’’ + 16x = - 16c1cos4t + 16c1cos4t = 0
Para x = c2sen4t  x’’= - 16c2sen4t e, portanto,
x’’ + 16x = - 16c2sen4t + 16c2sen4t = 0
É fácil constatar que a combinação linear de soluções, ou a família
a dois parâmetros x = c1cos4t + x = c2sen4t é também uma
solução da equação diferencial.
Verificação de uma Solução
Uma solução de uma equação diferencial na incógnita y e na
variável independente x no intervalo  é uma função y(x) que
verifica a equação diferencial identicamente em todo x em .
Exemplo 3: Tem-se que y(x) = C2sen(2x) + C2cos(2x) é uma
solução de y’’ + 4y = 0. Isso pode ser visto através da
substituição de y(x) na equação original. Assim:
y’(x) = C1cos(2x) - C1sen(2x)
y’’(x) = -4C1sen(2x) - 4C2cos(2x)
y(x) + 4y = (-4C1 + 4C1)sen(2x) + (4C2 - 4C2)cos(2x) = 0
Sistema de Equações
Diferenciais
 Um
sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte
forma geral:
• y’1(x) = f1(x, y1, y2, y3, … yn)
• y’2(x) = f2(x, y1, y2, y3, … yn)
•…
a≤x≤b
(6a)
• y’n(x) = fn(x, y1, y2, y3, … yn)
• Sujeito a yk(a) = k , k = 1(1)n
(6b)
• Onde f1, f2, … f1n são funções de n + 1 variáveis.
• Nota: se o problema (6a) tem solução, então ele tem, em geral, várias
soluções (uma família de soluções). Com as condições (6b), temos o
problema do valor inicial.
Sistema de Equações
Diferenciais
 As soluções do problema (6a) são derivadas da solução de uma
única equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o
problema (4), utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir
um conjunto de n funções y1, y2, …, yn, da seguinte forma:
• y1(x) = y(x)
(7)
• y2(x) = y’(x)
•…
• yn(x) = y(n-1)(x)
• Então (4a) pode ser escrita como:
• y(n)(x) = f(x, y1, y2, … yn).
(8a)
Sistema de Equações
Diferenciais
 Diferenciando (7), obtemos:
• y’1(x) = y2(x)
(8b)
• y’2(x) = y3(x)
•…
• yn-1(x) = yn(x)
• De onde obtemos para (4) um sistema de equações
diferenciais. As condições iniciais de (4b) tornam-se as
condições iniciais do sistema.
Sistema de Equações
Diferenciais
 EXEMPLO:
• y’’’(x) = xy’(x) + exy(x) + x2 + 1
0≤x≤1
y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -1
• Fazendo a mudança de variáveis, obtemos:
• y’1(x) = y2(x)
• y’2(x) = y3(x)
0≤x≤1
• y’3(x) = xy2(x) + ex y1(x) + x2 + 1
y1(0) = 1, y2(0) = 0, y1(0) = -1
Uso de computadores na
solução de EDO
 Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil
no estudo de equações diferenciais.
 Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para
solucioná-las como, por exemplo: o método de Euler e o de
Runge-Kutta.
 Além disso, há excelentes pacotes (software) de solução
numérica que podem ser aplicados a diversos problemas
matemáticos. Exemplo: Matlab, Mapple, Mathematica, Scilab.
Algumas questões
relevantes
 Uma equação
(existência)
diferencial
sempre
tem
solução?
 Quantas soluções tem uma equação diferencial dada
que ela tem pelo menos uma? Que condições
adicionais devem ser especificadas para se obter
apenas uma única solução? (unicidade)
 Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma
solução? E, se for o caso, como?
Equações Diferenciais de
Primeira Ordem
A forma geral das equações diferenciais ordinárias de
primeira ordem é
dy/dx = f (x,y)
(i)
Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa
equação para todo t em um dado intervalo é uma solução
desta equação.
Exemplo: y’ = 2y + 3et
Serão estudadas três subclasses de equações de primeira
ordem: as equações lineares; as separáveis e as equações
exatas.
Equações Lineares
Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é
chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um
exemplo com coeficientes constantes é
dy/dt = - ay + b,
onde a e b são constantes dadas.
Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a
forma geral da equação linear de primeira ordem
dy/dt + p(t)y = g(t),
onde p e g são funções dadas da variável independente t.
Equações Lineares
Exemplo: Considere a equação diferencial
dy/dt + 2y = 3. Encontre sua solução.
Solução:
Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt = -2
y - 3/2
ln |y - 3/2| = -2t + c
Logo,
y = 3/2 + ce- 2t
Se g(t) = 0, então a equação é dita equação linear homogênea.
Fator integrante
Consiste em multiplicar a equação diferencial por uma
determinada função (t) de modo que a equação resultante
seja facilmente integrável.
Exemplo: Considere a equação dy/dt +2y = 3. Assim
podemos ter (t) dy/dt + 2 (t) y = 3 (t)
Vamos tentar encontrar (t) de modo que a expressão
anterior tenha a esquerda do sinal da igualdade a derivada
de (t) y.
Assim, d[(t) y]/dt = (t) dy/dt + d (t)/dt y.
Fator integrante
Comparando com a equação anterior temos que as duas primeiras
parcelas são iguais e que as segundas podem ficar desde que (t) seja
tal que d (t) /dt = 2 (t)
Logo [d (t) /dt] / (t) = 2
Donde d [ln| (t)|] / dt = 2 O que nos leva ao resultado
ln |(t)| = 2t +c ou
(t) = c e 2 t
que é um fator integrante para a equação dada. Como não queremos
um caso mais geral, tomamos
(t) = e 2 t
Fator integrante
Logo, a equação dada, fica:
e 2 t dy/dt + 2 e 2 t y = 3 e 2 t
Ora, d (e 2 t y)/dt = 3 e 2 t
Então e 2 t y = (3/2) e 2 t + c, donde y = (3/2) + c e - 2 t.
que é a mesma solução encontrada anteriormente.
Em várias equações pode-se ter fator integrante como
em dy/dt + ay = b, o fator será (t) = ea t basta apenas
fazer as devidas substituições de a e b.
Fator integrante
Exemplo : Resolver a seguinte equação diferencial com condição
inicial
y ` + 2y = te –2t , y(1) = 0.
Solução: Temos
(t) = e 2 t
Logo e 2 t y` + 2y e 2 t = t
(e 2 t y)` = t
e 2 t y = (t2/2) + c. Aplicando a condição inicial, y(1) = 0,
Obtemos c = ½. E finalmente, a resposta
y = (e –2t/2) (t2 – 1)
Fator integrante
Escolha de (t)
dy/dt + p(t)y = g(t)
(t) [dy/dt] + (t) p(t)y = (t) g(t) o segundo termo do lado
esquerdo é igual a derivada do primeiro
[d(t)] /dt = p(t) (t), supondo que (t) > 0
{[d(t)] /dt} / (t) = p(t)
então
ln (t) =  p(t)dt + c, escolhendo c = 0, temos
(t) que é a função mais simples, ou seja,
(t) = exp [ p(t)dt] = e  p(t)dt
Fator integrante
Exemplo: Seja dy/dt + y/2 = 2 + t.
Temos então a = 1/2, logo (t) = e t /2.
Então d[e t /2 y]/dt = 2 e t /2 + t e t /2.
Temos, integrando por partes,
e t /2 y = 4 e t / 2 + 2t e t /2 - 4 e t /2 + c,
Como c é constante, temos
y = 2t + c e - t / 2
Equações separáveis
A equação geral de primeira ordem é dy/dx = f(x,y) que pode ser
colocada na forma
M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0
Onde
M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1.
Porém se M depende apenas de x e N apenas de y, ela pode ser
escrita como
M(x) + N(y)dy/dx = 0.
Esta equação é dita separável, pois se for escrita na forma diferencial
Equações separáveis
M(x)dx + N(y)dy = 0
Então as fórmulas envolvendo cada variável pode ser separada pelo
sinal da igualdade.
Exemplo: Considere a equação diferencial
y` = -2xy.
Então podemos fazer y`/y = -2x
e daí
ln|y| = - x2 + c,
2
2
logo para cada c R temos duas soluções:
y1 = e - x
+c
e
y2 = - e - x
+c
Equações exatas
Uma equação na forma M(x,y) + N(x,y) y` = 0 é uma equação exata
em R (uma região) se, e somente se,
My (x,y) = Nx (x,y)
em cada ponto de R.
Exemplo: Verifique se a equação
(x2 + 4y)y` + (2xy + 1 ) = 0 é exata.
Solução: Neste caso, M(x,y) = 2xy +1
e
N(x,y) = x2 + 4y.
Logo My = 2x e Nx = 2x, donde My = Nx e consequentemente ela é
exata.
Equações exatas
Teorema 2.6.1: Suponha que as funções M, N, My, Nx são
contínuas na região retangular
R:  < x < 
e
 < y < . Então a equação
M(x,y) + N(x,y)y` = 0 é uma equação exata em R se, e
somente se, My(x,y) = Nx(x,y) (1) em cada ponto de
R. Isto é, existe uma equação  satisfazendo as equações
x(x,y) = M(x,y),
y(x,y) = N(x,y) se,
e somente se, M e N satisfazem a equação (1).
Equações exatas
As vezes é possível transformar uma equação diferencial que não é
exata em uma exata multiplicando-se a equação por um fator
integrante apropriado. Isto é, determinar uma função (x,y) tal que
(M)y = (N)x seja uma equação exata.
Exemplo: A equação xy` - y = 0 não é exata.
Porém se multiplicarmos por 1/x2 = (x,y), temos
y`/x - y/x2 = 0
que é exata.
Facilmente podemos ver que M(x,y) = - y/x2
N(x,y) = 1/x
e que
My = - 1/x2 = Nx
Equações exatas
Exemplo: Resolva a seguinte equação diferencial
(3x2 – 2xy +2 ) dx + (6y2 - x2 + 3) dy = 0.
Solução: Temos My(x,y) = -2x = Nx(x,y). Logo exata.
Assim existe uma
 (x, y) tal que
x (x, y) = 3x2 – 2xy +2 ,
y (x, y) = 6y2 - x2 + 3
Integrando a x (x, y), temos  (x, y) = (3x2 – 2xy +2) dx
= x3 – 2 x2 y +2x + h(y).
Fazendo y = N, temos - x2 + h’(y) = 6y2 - x2 + 3
h’(y) = 6y2 + 3
donde h(y) = 2y3 + 3y
 (x, y) = x3 – 2 x2 y +2x + 2y3 + 3y = c.
e por fim
Equações exatas
Fatores integrantes para equações exatas
Podemos multiplicar M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0
por uma função  e depois tentar escolhê-la de modo que a equação
resultante (x,y) M(x,y) dx + (x,y N(x,y)dy = 0 seja exata.
Sabemos que ela será exata se, e somente se, (M)y = (N)x. Assim,
ela deve satisfazer a equação diferencial
M y - N x + (My – Nx)  = 0.
Vamos determinar as condições necessárias sobre M e N de modo que a
equação dada tenha um fator integrante  dependendo apenas de x.
Equações exatas
(M)y = (N)x,
(Nx) = Nx + N[(d )/dx]
Logo, para que (M)y seja igual a (N)x, é necessário que
d )/dx = [(My – Nx) / N] .
Se [(My – Nx) / N] depende somente de x, então existe um fator
integrante  que depende apenas de x também.
Exemplo: Determine o fator integrante e resolva a seguinte equação
diferencial dx – 2xydy = 0.
Solução: Temos que M = 1 e N = –2xy.
Logo My = 0 e
não é exata.
Nx = -2y e, como são diferentes, a equação dada
Vamos então determinar o fator que a torna exata.
Equações exatas
Temos (My – Nx ) / N = (0 + 2y) / (-2xy) = - 1 / x.
Logo  (x,y) = exp  (-1/x)dx = e – lnx = 1/ x.
Assim temos dx /x = 2y dy
Donde  dx /x =  2y dy
E conseqüentemente ln|x| - y 2 + c = 0.
Existência e unicidade
de solução
Teorema 2.4.1: (Existência e Unicidade) Se as funções p e g são
contínuas em um intervalo aberto
I :  < t <  contendo o ponto t = t0, então existe uma única função
y = (t) que satisfaz a equação diferencial
y` + p(t)y = g(t)
para cada t em I e que também satisfaz a condição inicial y(t0) = y0,
onde y0 é um valor inicial arbitrário prescrito.
Existência e unicidade
de solução
Exemplo: Determine um intervalo no qual a equação
ty` + 2y = 4t2 e y(1) = 2 tem uma única solução.
Solução: y` + (2/t) y = 4t
Assim, p(t) = 2 / t e g(t) = 4t e consequentemente g(t) é
contínua para todo t e p(t) contínua para t  0.
Logo, para t > 0 contém a condição inicial, dando o intervalo
procurado 0 < t < .
A solução é
y = t2 + 1 / t2 ,
t > 0.
.
Existência e unicidade
de solução
Teorema: 2.4.2: Suponha que as funções f e f/y são contínuas em
um retângulo
<t<
e
 < y <  contendo o ponto (to, yo). Então
em algum intervalo to – h < t < to + h contido em  < t < ,
Existe uma única solução y = (t) do problema de valor inicial y’ =
f(x,y) e y(to) = yo
Exemplo: Resolva o problema de valor inicial y’ = y2
e y(0) = 1 e determine o intervalo no qual a solução existe.
Existência e unicidade
de solução
Solução: Pelo teorema 2.4.2 temos f(x,y) = y2 e f/y = 2y
contínuas em todo ponto de R.
Logo a solução dy/dt = y2 dy/ y2 = dt, logo
-y – 1 = t + c
e y = 1 / (t+c).
Como y(0) = 1, temos y = 1 / (1 - t) que é a solução.
Portanto a solução existe apenas em -  < t < 1.
Referências
 HOPCROFT, J. E.; ULLMAN, J. D. Introdução à Teoria de
Autômatos, Linguagens e Computação. Rio de Janeiro:
Campus, 2002.
 MENEZES, P. F.; DIVÉRIO, T. A. Linguagens Formais e
Autômatos, Porto Alegre: Sagra-Luzzatto, 2001.
 PAPADIMITRIOU, C. H.; LEWIS, H. F. Elementos de Teoria
da Computação. Porto Alegre: Bookman, 2000.
 GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a
Ciência da Computação, Rio de Janeiro: LTC, 1995.