Projeto através do Lugar das
Raízes
• Variações do ganho de malha aberta
• Colocar os pólos fora do caminho do lugar
das raízes:
– Trocar a planta;
– Introduzir controladores (compensadores);
• Reduzir o erro de estado estacionário;
• Melhorar a resposta transitória.
a. Exemplo de
lugar das raízes,
mostrando um
ponto de projeto
possível através
de ajuste de
ganho (A) e um
ponto de projeto
desejado que não
pode ser atendido
através de um
simples ajuste de
ganho (B);
b. respostas com
base nos pólos
em A e em B
Técnicas de
compensação:
a. cascata;
b. retroação
Compensador
em cascata
Controlador
original
Controlador
original
Processo a
controlar
Processo a
controlar
Compensador
em retroação
Compensador Proporcional Integral Ideal - PI
O pólo em A:
a. está sobre o
lugar das
raízes sem
compensador;
b. não está
sobre
o lugar das
raízes com a
inclusão do
pólo do
compensador;
(continua)
Compensador
Proporcional Integral
Ideal - PI
c.
aproximadamente
sobre o lugar das
raízes com a
inclusão do pólo e
do zero do
compensador
Controlador PI
Proporcional (P)
Processo a
controlar
Exemplo: reduzir o erro de estado
estacionário para uma entrada degrau
unitário a zero mantendo a relação de
amortecimento em 0,174
0,1
Compensação por Atraso de Fase
1
e  
; K v  lim sG s 
s 0
Kv
sK s  z1 s  z2 .... Kz1 z2 ...
K va  lim

s  0 s s  p s  p ...
p1 p2 ...
1
2
sK s  zc s  z1 s  z2 .... Kzc z1 z2 ...
K vn  lim

s  0 s s  p s  p s  p ...
pc p1 p2 ...
c
1
2
pc p1 p2 ...
p1 p2 ...
pc
en   
; ea   
 en    ea  
Kzc z1 z2 ...
Kz1 z2 ...
zc
Ex: se o pólo do controlador esta em -0,01 e o zero
do controlador em -0,1 o novo erro será 10 vezes
menor que o erro antigo.
Lugar das raízes:
a. antes da compensação por atraso de fase;
b. depois da compensação por atraso de fase
Para o exemplo anterior manter a relação de
Amortecimento em 0,174 utilizando um controlador de atraso de fase que melhore a
constante de erro por um fator de 10
Compensador
zero
pólo
Processo a
controlar
1
e  
; K p  lim G s 
s 0
1 K p
164,6
164,6

 8,23
s  0 s  1s  2 s  10
20
K pa  lim
ea   
1
 0,108
1  8,23
en   
0,108
1
 0,0108 
 0,0108  K pn  91,59
10
1  K pn
164,6s  zc 
164,6 zc

 91,59
s  0 s  p s  1s  2 s  10
20 pc
c
K pn  lim
zc
 11,13 escolhendopc  0,01  zc  0,111
pc