Diagrama de BODE
• Módulo em decibéis (dB)
20logG( j
• Fase em graus
fig_10_09

s  3
G s  
ss  1s  2
fig_10_10
fig_10_11
fig_10_12
fig_10_13
fig_10_14
fig_10_15
fig_10_16
fig_10_17
Gs  
s  3
s  2s
2
fig_10_10

 2s  25
fig_10_18
fig_10_19
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Relaciona a estabilidade de um sistema de malha
fechada com a resposta em frequência de malha aberta
e à posição dos pólos e zeros de malha aberta;
• O critério é basicamente para análise de estabilidade
mas seus conceitos podem ser estendidos para análise
da resposta transitória e erros de estado estacionário;
• O critério é baseado nos seguintes conceitos:
– Relação entre os pólos de 1+G(s)H(s) e os pólos de G(s)H(s);
– Relação entre os zeros de 1+G(s)H(s) e os pólos da função de
transferência de malha fechada T(S);
– O conceito de mapeamento de pontos em uma função F(s);
– O conceito de mapeamento de contornos em uma função F(s).
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Baseia-se no mapeamento de contornos
no plano complexo de F(s) onde
conhecemos seus pólos e zeros;
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• O mapeamento de um contorno no
sentido horário que envolve um zero de
F(s) resulta em um contorno que circunda
a origem do plano complexo também no
sentido horário;
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• O mapeamento de um contorno no
sentido horário que envolve um pólo de
F(s) resulta em um contorno que circunda
a origem do plano complexo no sentido
anti-horário;
Obs.:No caso da figura
“e” o sentido do
mapeamento pode ser
horário ou anti-horário
dependendo se o polo
esta a direita ou a
esquerda do zero
respectivamente
Representação de
mapeamento por vetor
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Desta forma se F(s) possui “P” Pólos e “Z” Zeros
envolvidos por um determinado contorno no
sentido horário, o mapeamento deste contorno
através de F(s) irá produzir um contorno que
envolverá a origem “N” vezes no sentido antihorário, com N=P-Z.
– Um resultado para “N” positivo significa que “P” é
maior do “Z” e o contorno resultante esta no sentido
anti-horário. Ou seja, convencionamos contornos
positivos aqueles no sentido anti-horário.
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Um sistema típico de controle com
realimentação negativa unitária é dado
por:
• Onde F.T.M.A= G(s) H (s)
G( s)
• e F.T.M.F=
1  G( s) H ( s)
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Para estabilidade quero saber se existem
ou não pólos de Malha Fechada do lado
direito do plano “s”.
• Se considero um contorno que engloba
todo o lado direito do plano “s” e mapear
este contorno através de 1+G(s)H(s) eu
poderia através do conceito desenvolvido
anteriormente saber se existem ou não
pólos instáveis.
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• No entanto para fazermos o mapeamento
precisamos conhecer os pólos de 1+G(s)H(s),
que em geral são conhecidos pois são os pólos
de malha aberta.
• Também para fazer o mapeamento precisamos
conhecer os zeros de 1+G(s)H(s), que são os
pólos de malha fechada. No entanto se eu
conhecer estes zeros meu problema da
estabilidade já esta resolvido e não preciso
aplicar critério nenhum.
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Desta forma a idéia é utilizar não o mapeamento
de 1+G(s)H(s), mas sim de G(s)H(s) para a qual
em geral eu conheço os pólos e zeros.
• Mas agora, para efeito de saber o número de
pólos dentro do contorno escolhido que engloba
todo o lado direito do plano “s”, não posso mais
considerar envolvimentos da origem, mas sim o
ponto -1, pois, na teoria do mapeamento de
contornos somar uma constante a qualquer F(s)
desloca o contorno mapeado para direita desta
mesma constante.
Critério de Estabilidade de
NYQUIST
• Desta forma, mapeando através de
G(s)H(s), o contorno que engloba todo o
semi-plano direito o número “Z” de pólos
de malha fechada dentro deste contorno
será igual o número de pólos de malha
aberta do lado direito do plano “s” igual a
“P” menos o número de voltas dadas no
sentido anti-horário em torno do ponto -1.
• Z=P-N
Contorno
envolvendo o
semiplano da
direita para
determinar
estabilidade
plano s
Critério de Nyquist
• Se um contorno que envolve toda o semi-plano
direito for mapeado através de G(s)H(s), então o
número de pólos a malha fechada Z, no semiplano direito é igual ao número de pólos de
malha aberta P, que estão no semi-plano direito
menos o número de rotações no sentido antihorário N, em torno do ponto -1, isto é, Z=P-N.
O mapeamento gerado é conhecido como
diagrama de Nyquist, ou gráfico de Nyquist de
G(s)H(s);
• N é positivo quando esta no sentido anti-horário
em torno do ponto -1
Exemplos de mapeamento:
a. o contorno não envolve os pólos a malha fechada;
b. o contorno envolve os pólos a malha fechada
Exemplo
14  30 j43   
G jw  500
14  30  43   
2
2
3
2
3 2