Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 5: Matrizes (2)
Cálculo Numérico
Aula 5 - 1/29
©Prof. Lineu Mialaret
Determinante (1)
 Seja uma matriz quadrada A, então pode-se estabelecer
seu determinante, que é um escalar denotado por |A| e é
definido como se segue,
 Onde o elemento
aij é o j-ésimo elemento da i-ésima linha
e |Aij| é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e a
j-ésima coluna da matriz A. (i = 1).
 Obs.: Pode-se eliminar qualquer linha.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 2/29
©Prof. Lineu Mialaret
Determinante (2)
 Exemplo 1: Seja a matriz A ao lado.
 Eliminando-se a primeira linha.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 3/29
©Prof. Lineu Mialaret
Determinante (3)
 Há alguns casos especiais de cálculo de determinantes.
 Matriz A de ordem 2.
 Exemplo 2: Cálculo do |A|.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 4/29
©Prof. Lineu Mialaret
Determinante (4)
 Matriz A de ordem 3:
 Exemplo 3: Cálculo do |A|.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 5/29
©Prof. Lineu Mialaret
Determinante (5)
 Sintetizando,
 Determinante de uma Matriz A de ordem 2.
 Determinante de uma Matriz A de ordem 3.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 6/29
©Prof. Lineu Mialaret
Operações Elementares em Linhas (1)
 Há três operações elementares realizadas nas linhas de
uma matriz.
 Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha (Li ⇔ Lj)
 Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k
(Li ⇒ k.Li)
Cálculo Numérico
Aula 5 - 7/29
©Prof. Lineu Mialaret
Operações Elementares em Linhas (2)
 Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k
vezes a j-ésima linha (Li ⇒ Li + k.Lj)
 Matrizes Equivalentes:
 Dadas duas matrizes A e B, de ordem m x n, diz-se que B
é linha equivalente a A, se B é obtida de A por meio de um
número finito de operações elementares sobre as linhas de
A, e denota-se isso por A ⇒ B ou A ∼ B.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 8/29
©Prof. Lineu Mialaret
Operações Elementares em Linhas (3)
 Seja A uma matriz m x n. Diz-se que a matriz A está em
Forma de Escada (ou em Escada de Linhas) se, para
cada linha da matriz se verifica:
 Caso 1 – Se a linha i é nula
 Então para todo r > i, a linha r é nula; e
 Caso 2 – Se a linha i não é nula
 Então se ais é o primeiro elemento não nulo da linha i
(chamado de pivot) então para todo l > i e para todo
c ≤ s, alc = 0.
 A matriz A está na Forma Condensada (ou em Escada
de Linhas Reduzida) se está em forma de escada e para
cada linha i
 O pivot é a identidade; e
 Se ais é o pivot, então para todo l < i, als = 0.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 9/29
©Prof. Lineu Mialaret
Operações Elementares em Linhas (4)
 Exemplo 4: A matriz apresentada a seguir está em forma
de escada.
 Exemplo 5: A matriz apresentada a seguir está em forma
condensada.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 10/29
©Prof. Lineu Mialaret
Operações Elementares em Linhas (5)
 Propriedade de uma matriz qualquer:
 Toda matriz pode ser transformada, por meio de operações
elementares, numa matriz em forma de escada ou em uma
matriz condensada.
 Exemplo 6: Transformação para a forma condensada.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 11/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (1)
 Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular.
Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular.
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular,
como apresentada a seguir.
 Há uma matriz A-1, chamada de Matriz Inversa de A, de
tal forma que AA-1 = A-1A = In, onde In é a Matriz
Identidade de ordem n.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 12/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (2)
 Exemplo 7: Seja as matrizes A e A-1, dadas a seguir.
 Então tem-se que
Cálculo Numérico
Aula 5 - 13/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (3)
 Caso Especial: Inversa de uma matriz A de ordem 2.
 Exemplo 8: Seja a matriz A dada a seguir. Encontrar A-1.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 14/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (4)
 Exemplo 9: Achar a inversa de matriz A de ordem 3,
apresentada a seguir.
 Pode-se achar a inversa dessa matriz fazendo-se uso da
seguinte informação:
 Uma matriz A de ordem n é inversível se e somente se A é
linha equivalente a I (matriz identidade) e, nesse caso, toda
sequência de operações elementares que transforma A em I
também transforma I em A-1.
 Caso se posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a
matriz [A I] então as operações elementares nessa matriz
produzem operações idênticas em A e I. Ou existem
operações elementares que transformam A em I e I em A-1
ou, a matriz A não é inversível.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 15/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (5)
 O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado
direito, como se segue,
 O objetivo agora é somar ou subtrair linhas multiplicadas
por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado
esquerdo.
 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.
 Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira
linha, primeira coluna) da matriz esquerda, como se segue. E
os elementos a12 e a13 tornaram-se nulos.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 16/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (6)
 Fazer as próximas operações:
 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1.
 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.
 Com as operações acima, os elementos a12 e a13 tornaram-
se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária.
 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3.
 Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 17/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (7)
 Fazer as próximas operações:
 3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.
 Multiplicação executada para fazer 1 no elemento a12 da
matriz esquerda.
 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1.
 Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada
matriz identidade no lado esquerdo.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 18/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (8)
 Finalmente,
 a matriz inversa é a parte da direita da matriz
Cálculo Numérico
Aula 5 - 19/29
[I A-1]
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Inversa (9)
 Há
algumas propriedades especiais para matrizes
inversas (as matrizes A, B e C são tais que as suas inversas
existam e os produtos sejam definidos).
 (A−1)T = (AT)−1
 (AB)−1 = A−1 + B−1
 Se a inversa de uma matriz A existe, então |A| = 0.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 20/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Ortogonal (1)
 Uma matriz quadrada A é denominada ser uma Matriz
Ortogonal se suas linhas, consideradas como vetores,
são mutuamente perpendiculares e de comprimento 1, o
que equivale a dizer que AAT = I.
 Exemplo 10: Seja a matriz A apresentada a seguir. Ela é
uma matriz ortogonal.
 Obs.:
 Uma matriz A é ortogonal, se e somente se, AT = A−1.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 21/29
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Ortogonal (2)
 Exercício 1: Seja a matriz A apresentada a seguir.
Mostrar que ela é uma matriz ortogonal. Lembrar que
uma matriz ortogonal, AAT = I.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 22/29
©Prof. Lineu Mialaret
Rank de Matriz (1)
 O rank (posto) de uma matriz A de ordem m x n é
fornecido pelo número máximo de linhas (ou colunas)
linearmente independentes (LI) da matriz A.
 Exemplo 11: Seja a matriz A apresentada a seguir.
 Neste exemplo, todas as colunas ou linhas da matriz A são
linearmente independentes (LI).
Cálculo Numérico
Aula 5 - 23/29
©Prof. Lineu Mialaret
Rank de Matriz (2)
 Exemplo 12: Seja a matriz B apresentada a seguir.
 Neste exemplo, a primeira coluna da matriz B é uma
combinação linear das demais, ou seja, essa coluna não é
linearmente independentes (LI).
Cálculo Numérico
Aula 5 - 24/29
©Prof. Lineu Mialaret
Rank de Matriz (3)
 Uma outra forma de se determinar o rank de uma matriz
A é contabilizar o número de linhas nulas que se obtém a
partir de uma nova matriz B em forma de escada que
possa ser obtida a partir de A por meio de operações
elementares.
 Exemplo 13: A matriz apresentada a seguir tem rank = 2,
pois está em forma de escada e tem duas linhas não
nulas.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 25/29
©Prof. Lineu Mialaret
Rank de Matriz (4)
 Exemplo 14: Determinar o rank da matriz A apresentada
a seguir.
 Para contabilizar o rank, da matriz A, deve-se transformala, por meio de operações elementares, numa matriz em
forma de escada. Faz-se então as seguintes operações:
 L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1)
 L3 ⇒ L3 + (-1)L1
Cálculo Numérico
Aula 5 - 26/29
©Prof. Lineu Mialaret
Rank de Matriz (5)
 Na matriz B faz-se então as seguintes operações:
 L1 ⇒ L1 + (-2)L2, L3 ⇒ (1/8)L3
 L1 ⇒ L1 + 3L3, L2 ⇒ L2 + (-2)L3
 Obtém-se então 3 linhas não nulas.
 Logo, o rank da matriz A é 3.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 27/29
©Prof. Lineu Mialaret
Traço de Matriz (1)
 Seja uma matriz quadrada A de ordem k, então pode-se
definir o traço de A, denotado por tr(A), como sendo
dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal.
)
 Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir.
Cálculo Numérico
Aula 5 - 28/29
©Prof. Lineu Mialaret
Traço de Matriz (2)
 Há algumas propriedades envolvendo o traço de uma
matriz.
 Propriedades: Seja um escalar, A e B matrizes, então
 tr( A) = tr(A);
 tr(A ± B) = tr(A) ± tr(B);
 tr(AB) = tr(BA);
 tr(B−1 AB) = tr(A); e
 tr(AA′) =
Cálculo Numérico
.
Aula 5 - 29/29
©Prof. Lineu Mialaret