Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 18: Sistemas de Equações Lineares (6)
Cálculo Numérico
Aula 18 - 1/23
©Prof. Lineu Mialaret
Introdução
 Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas
lineares são divididos em dois grupos:
 Os Métodos Diretos; e
 Os Métodos Iterativos.
 Os Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros
de arredondamento, fornecem a solução exata de um
sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio
de um número finito de operações aritméticas.
 Os Métodos Iterativos são aqueles que geram uma
sequência de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximação
inicial x(0). Sob certas condições, a sequência converge
para a solução x*, caso ela exista.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 2/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Diretos (1)
 Seja o sistema linear Ax = b, onde se tem,
 A: matriz de coeficientes, n x n;
 X: vetor das variáveis, n x 1; e
 B: vetor dos termos constantes, n x 1.
 Esse sistema é convertido, sob a aplicação de alguma
sistemática, num outro sistema do tipo x = Cx + g, onde a
matriz C é n x n e o vetor g é um vetor n x 1.
 Tem-se então que a função φ(x) = Cx + g é uma função
de iteração dada na forma matricial.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 3/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Diretos (2)
 Sistemática utilizada:
 Parte-se de x(0) (vetor aproximação inicial) e se constrói, de
forma consecutiva, os vetores a seguir,
 A aproximação x(k+1), é calculada pela fórmula a seguir,
 Ou seja,
Cálculo Numérico
Aula 18 - 4/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Diretos (3)
 Critérios de Parada:
 As iterações são repetidas até que o vetor x(k) esteja
suficientemente próximo do vetor x(k-1) .
 A distância entre esses dois vetores é dada por,
 Dada uma precisão
como
Cálculo Numérico
x
qualquer, o vetor x(k) será escolhido
, solução aproximada da solução exata, se d(k) < .
Aula 18 - 5/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Diretos (4)
 Critérios de Parada:
 Pode-se também efetuar o teste de erro relativo,
 Critérios de Parada:
 Adicionalmente,
o número máximo de iterações
(execuções da sistemática) pode ser usado também como
critério de parada.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 6/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (1)
 Seja o sistema linear original apresentado a seguir,
Cálculo Numérico
Aula 18 - 7/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (2)
 Supondo que aii ≠ 0, i = 1,...n, isola-se o vetor x mediante
a separação pela diagonal, conforme mostrado a seguir,
para se obter x = Cx + g,
 E dessa forma tem-se x = Cx + g, onde
Cálculo Numérico
Aula 18 - 8/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (3)
Cálculo Numérico
Aula 18 - 9/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (4)
Cálculo Numérico
Aula 18 - 10/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (5)
 Exemplo 1: Resolver o sistema linear apresentado a
seguir,
pelo Método de Gauss-Jacobi, com
Cálculo Numérico
Aula 18 - 11/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (6)
 Uma iteração genérica é,
 Tem-se na forma matricial,
Cálculo Numérico
Aula 18 - 12/23
, então
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (7)
 Na primeira iteração (k = 0), tem-se,
 Ou seja,
Cálculo Numérico
Aula 18 - 13/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (8)
 Fazendo-se o cálculo de dr(1), tem-se
 Na próxima iteração, tem-se
Cálculo Numérico
Aula 18 - 14/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (9)
 Na iteração seguinte, tem-se,
 Solução do sistema linear original, com erro menor que
0,05 obtida pelo Método de Gauss-Jacobi é,
Cálculo Numérico
Aula 18 - 15/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (10)
 Observação Importante:
Cálculo Numérico
Aula 18 - 16/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (11)
 Teorema: Critério das Linhas.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 17/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (12)
 Exemplo 2: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
E a matriz A, apresentada a seguir,
Cálculo Numérico
Aula 18 - 18/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (13)
 Tem-se que,
 E pelo Critério das Linhas, tem-se a garantia de
convergência para o método de Gauss-Jacobi.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 19/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (14)
 Exercício 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
Resolver pelo método de Gauss-Jacobi e testar o Critério
das Linhas.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 20/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (15)
 Exercício 2: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
Testar o Critério das Linhas.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 21/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (16)
 Exercício 3: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
Permutar a 1ª linha com a 2ª linha e testar o critério das
linhas.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 22/23
©Prof. Lineu Mialaret
Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (17)
 Observação:
 Sempre que o Critério das Linhas não for satisfeito, devese tentar uma permutação de linhas e/ou colunas de forma
a se obter uma disposição para a qual a matriz dos
coeficientes satisfaça o Critério das Linhas.
 No entanto nem sempre é possível obter tal disposição.
Cálculo Numérico
Aula 18 - 23/23
©Prof. Lineu Mialaret