Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 2: Somatório e Produtório
Cálculo Numérico
Aula 2 - 1/30
©Prof. Lineu Mialaret
Somatório (1)
 Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5:
1 2  3  4  5
 Usa-se o Somatório para encurtar a escrita de dessa
somas de parcelas.
 Pode-se pensar nessa soma do seguinte modo:
 Suponha que se tenha alguma quantidade i, que
inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente,
os valores 2,3,4 e 5.
 A expressão resultante representa a soma de todos os
valores de i.
 A notação para somatório é dada da seguinte forma:
5
i
i 1
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Somatório (2)
 Onde:




A letra grega ∑ (sigma) representa o somatório;
O número 1 é o limite inferior do somatório;
O número 5 é o limite superior do somatório; e
A variável i é chamada de índice do somatório.
5
i
i 1
 Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e
depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do
limite superior.
 Todos os valores do índice do somatório são somados,
de forma que:
5
 i  1  2  3  4  5  15
i 1
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Somatório (3)
 Exemplo 1:
3
i  1 2  3  6
i 1
 Exercício 1: Qual o valor de
8
i  ?
i 1
18
i  ?
i 1
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Somatório (4)
 Nos exemplos apresentados, a expressão após o
símbolo de somatório é o símbolo i, denominado de
índice do somatório.
 Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão
e os valores sucessivos do índice são substituídos na
expressão.
 Exemplo 2:
5
2
2
2
2
2
2
i

(
1
)

(
2
)

(
3
)

(
4
)

(
5
)
 55

i 1
 Exercício 2: Qual o valor de
7
3
i
 ?
i 1
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Somatório (5)
 Para se simbolizar somatórios de forma geral, pode-se
usar a seguinte especificação a seguir:
q
 ai
i p
 Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e
nem a expressão após o símbolo do somatório; e
 A notação ai significa que a expressão será calculada para
diferentes valores de i, variando do limite inferior até o
superior, como se segue,
a p  a p1  a p2  ...  aq
 Há alguns casos especiais a serem considerados com
relação ao valor de ai :
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Somatório (6)
 Caso 1:
q
0  0
i p
 Aqui a expressão após o sinal de somatório é a constante
0, que tem o valor 0 independente do valor do índice do
somatório. A soma de qualquer quantidade de números
iguais a 0 é 0.
 Exemplo 3:
5
0  0  0  0  0  0  0
i 1
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Somatório (7)
 Caso 2:
n
c  c n
i 1
 Aqui a expressão após o símbolo de somatório é uma
constante, e o somatório diz que tem que se somar n
cópias de uma constante, o que é igual ao valor cn.
 Exemplo 4:
5
1  1  1  1  1  1  5
i 1
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Somatório (8)
 Caso 3:
0
a
i 1
i
0
 Aqui, nesse somatório, o limite superior é menor que o
limite inferior; e a interpretação usual de somatório não se
aplica; mas se convenciona que esse somatório é igual a 0.
 Exemplo 5:
0
2  0
i 1
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Aula 2 - 9/30
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Somatório (9)
 O índice de somatório é uma variável muda, isto é, ela
simplesmente marca o lugar do número que está sendo
alterado e pode-se usar qualquer outra variável sem
mudar o valor do somatório.
 Exemplo 6:
3
3
i 1
j 1
 i  j  6
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Somatório (10)
 Pode-se mudar os limites em um somatório, o que é
permitido desde que o valor do somatório permaneça o
mesmo.
 Exemplo 7:
3
2
i 1
i 0
i  (i 1)
 Já que ambos os somatórios tem o valor 1 + 2 + 3 = 6.
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Aula 2 - 11/30
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Somatório (11)
 Há algumas propriedades para somatórios.
 Propriedade 1:
q
q
q
i p
i p
i p
q
q
q
i p
i p
i p
 (ai  bi )   (ai )   (bi )
 Propriedade 2:
 (ai  bi )   (ai )   (bi )
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Aula 2 - 12/30
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Somatório (12)
 Propriedade 3:
q
q
i p
i p
 (cai )  c (ai )
 Onde c é uma constante.
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Aula 2 - 13/30
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Somatório (13)
 Prova da Propriedade 1:
q
q
q
i p
i p
i p
 (ai  bi )   (ai )   (bi )
Notar que,
 ap + bp + ap+1 + bp+1 + ... + aq + bq =
 ap + ap+1 + ... + aq + bp + bp+1 + ... + bq
termos em ai
q
 (ai )
i p
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termos em bi
q
 (bi )
i p
Aula 2 - 14/30
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Somatório (14)
 Exercício 3: Provar a Propriedade 2.
q
q
q
i p
i p
i p
 (ai  bi )   (ai )   (bi )
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Aula 2 - 15/30
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Somatório (15)
 Exercício 4: Provar a Propriedade 3.
q
q
i p
i p
 (cai )  c (ai )
 Onde c é uma constante.
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Aula 2 - 16/30
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Somatório (16)
 Exercício 5: Seja a soma dos valores de transações de
cartões de credito apresentadas a seguir,
 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100.
 Colocar essa soma em formato de somatório.
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Aula 2 - 17/30
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Somatório (17)
 Pode-se ter somatórios duplos (ou triplos, etc.).
 Exemplo 8:
m
n
i 1
j 1
  aij
 Exercício 6: Expandir o somatório acima.
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Aula 2 - 18/30
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Somatório (18)
 Exercício 6: Expandir o somatório abaixo.
m
n
i 1
j 1
  aij
 Solução:
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Aula 2 - 19/30
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Produtório (1)
 Seja a seguinte multiplicação de inteiros de 1 a 5:
1 2  3  4  5  120
 Usa-se o Produtório para encurtar a escrita de dessa
multiplicação de parcelas.
 Pode-se pensar nessa multiplicação do seguinte modo:
 Suponha que se tenha alguma quantidade i, que
inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente,
os valores 2,3,4 e 5.
 A expressão acima é o resultado da multiplicação de todos
os valores de i.
 A notação para produtório é dada da seguinte forma:
5
i
i 1
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Aula 2 - 20/30
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Produtório (2)
 Onde:
 A letra grega ∏ (pi) representa o produtório;
 O número 1 é o limite inferior do produtório;
 O número 5 é o limite superior do produtório; e
5
i
i 1
 A variável i é chamada de índice do produtório.
 Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior
e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor
do limite superior.
 Todos
os valores do índice
multiplicados, de forma que:
do
produtório
são
5
 i  1 2  3  4  5  120
i 1
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Aula 2 - 21/30
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Produtório (3)
 Exemplo 8:
3
 i  1 2  3  6
i 1
 Exercício 7: Qual o valor de
8
i  ?
i 1
18
i  ?
i 1
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Aula 2 - 22/30
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Produtório (4)
 Nos exemplos e exercícios apresentados, a expressão
após o símbolo de produtório é o símbolo i, o
denominado índice do produtório.
 Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão
e os valores sucessivos do índice são substituídos na
expressão.
 Exemplo 9:
5
2
2
2
2
2
2
i

(
1
)

(
2
)

(
3
)

(
4
)

(
5
)
 55

i 1
 Exercício 8: Qual o valor de
5
3
i
 ?
i 1
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Aula 2 - 23/30
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Produtório (5)
 Para se simbolizar produtórios de forma geral, pode-se
usar a seguinte especificação:
q
a
i
i p
 Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e
a expressão após o símbolo do produtório; e
 A notação ai significa que a expressão será calculada para
diferentes valores de i, do limite inferior até o superior,
como se segue,
a p  a p1  a p2  ...  aq
 Há algumas propriedades de produtórios para serem
consideradas a seguir.
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Aula 2 - 24/30
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Produtório (11)
 Propriedade 1:
n
a
i
 1 2  3  4  ... n  n!
i 1
 Exemplo 10:
4
a
i
 1 2  3  4  4! 24
i 1
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Aula 2 - 25/30
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Produtório (12)
 Propriedade 2:
n
n
c

c

i 1
 Exemplo 11:
4
4
2

2

2

2

2

2
 16

i 1
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Aula 2 - 26/30
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Produtório (13)
 Propriedade 3:
n
a
i
 c  (a1  c)  (a2  c)  (a3  c)  ... (an  c)
i 1
 Exemplo 12:
 Para ai1  1; ai 2  2; ai 3  3; c  2
3
 a  2  (1  2)  (2  2)  (3  2)  (1  2)  (2  2)  (3  2)  60
i
i 1
usando-se a soma
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Produtório (14)
 Propriedade 4:
n
n
i 1
i 1
n
a
c

c
 i
 ai
 Exemplo 13:
 Para ai1  1; ai 2  2; ai 3  3; c  2
3
3
a
2

(
1

2
)

(
2

2
)

(
3

2
)

2
 (1 2  3)  48
i
i 1
Cálculo Numérico
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Produtório (15)
 Propriedade 5:
n
n
i 1
i 1
log( ai )  log(a1  a2  ... an )  log(a1 ) log(a2 ) ...  log(an )   log ai
 Exemplo 14:
 Para ai1  2; ai 2  4; ai 3  6;
3
3
i 1
i 1
log( ai )  log(2  4  6)  log(2) log(4) log(6)   log ai  0,30  0,60  0,78  1,68
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Produtório (16)
 Exercício 9: Verificar se é verdadeira a equação abaixo.
n
n
n
 a b   a b
i i
i 1
Cálculo Numérico
i
i 1
i
i 1
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