Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 8: Noções Básicas sobre Erros (2)
Cálculo Numérico
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Sistema Binário (1)
• No sistema binário, cada número é representado de uma
forma única, mediante uma combinação de símbolos 0 e 1,
que, representa uma combinação de “estados 1” e “estados
0” dos bits que formam um conjunto ordenado.
 Designa-se por bi cada bit deste conjunto ordenado, no qual o índice
i corresponde ao número da casa que o bit está ocupando.
 Seguindo a lógica de que cada posição em número decimal vale 10
vezes mais que a posição imediatamente a sua direita e 10 vezes
menos que a posição imediatamente a sua esquerda.
 No sistema binário cada casa vale 2 vezes mais que aquela que
está imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que está
a sua esquerda.
 Desta forma, tem-se que, se o valor da primeira casa da direita
for 20, a segunda valerá 20 x 2 = 21, e assim consecutivamente
para a esquerda. Os valores das casas ficam claros no seguinte
esquema a seguir.
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Sistema Binário (2)
• Se b0, b1, b2,..., são os bits que se coloca em cada posição, a
quantidade representada valerá:
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Sistema Binário (3)
• Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se
a convenção de separar mediante vírgulas as casas b0 e b-1,
de tal modo que a representação fique:
• Em que bi = 0 ou 1.
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Sistema Binário (4)
• Exemplo 1:
 O número binário 10011,00 representa a seguinte quantidade
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Sistema Binário (5)
• A partir do conhecimento sobre a base, pode-se saber
quantos números ou caracteres podem ser representados de
acordo com o número de bits utilizados.
 Sabe-se, por exemplo, que com um bit pode-se representar dois
valores diferentes, 0 e 1.
 Se houver 2 bits, então se pode representar 4 diferentes valores com
as combinações dos valores possíveis de cada bit.
 Isto é, chamando-se o primeiro bit de b1 e o segundo de b2,
podemos ter todos valores possíveis da combinação de valores
b 1b 2.
 Como tanto b1 quanto b2 podem assumir o valor 0 ou 1, tem-se
as seguintes possíveis combinações, mostradas a seguir:
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Sistema Binário (6)
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Sistema Binário (7)
• Da mesma forma, caso se tenha 3 bits, pode-se combinar os
valores destes três bits e obter-se 8 diferentes valores:
 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111.
• Logo, pode-se concluir que, quando se tem 1 bit conseguese representar 2 valores distintos (21 valores);
 Quando se tem 2 bits, consegue-se representar 4 valores distintos (22
valores).
 Quando se tem 3 bits, pode-se representar 8 valores diferentes (23
valores).
 Logo, para um número n de bits, pode-se representar 2n valores
distintos.
 Com isso, com 8 bits pode-se representar 28 = 256 valores
distintos.
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Conversão de Bases (1)
• Conforme visto nos sistemas de numeração apresentados,
cada um deles possui uma certa proximidade com os outros.
 Isto torna possível que valores representados em um dado sistema
possam ser convertidos para outro sistema.
 Isto é necessário porque o ser humano trabalha no sistema decimal e
o computador, no sistema binário.
 Por isso, deve-se poder converter valores decimais em valores
binários.
 Da mesma forma, deve-se poder entender os dados gerados pelo
computador, o que nos leva a converter valores binários em decimais.
 Como, muitas vezes valores hexadecimais são usados para
representar dados a serem armazenados na memória, de forma a
facilitar o trabalho do programador, também deve-se saber converter
valores decimais para hexadecimais e valores hexadecimais para
valores binários, que são os valores realmente armazenados na
memória.
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Conversão de Bases (2)
 O caminho contrário é igualmente importante. Converter valores de
um sistema de numeração para outro é um processo chamado de
conversão de bases.
 Os conceitos vinculados à conversão de base são necessários à
construção dos computadores.
 Basicamente estes conceitos são usados para a construção de
circuitos digitais que, juntamente com as chamadas portas lógicas
são combinados formando o coração do processador, a ULA (Unidade
Aritmética e Lógica), e todas as outras partes que o formam.
 Por meio de uma série de circuitos que fazem somas, subtrações,
comparações, entre outros, os bits podem ser interpretados e
arranjados da forma que se quiser.
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Decimal X Binário (1)
dividendo
divisor
quociente
resto
Método da
Divisão Sucessiva
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Decimal X Binário (2)
• Exemplo 2: Transformar (197)10 em binário.
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Decimal X Binário (3)
• Exemplo 3: Transformar (357)10 em binário.
Faz-se a leitura de todos os restos da direita para esquerda,
que fica da seguinte forma: 1 0 1 1 0 0 1 0 1
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Decimal X Binário (4)
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Decimal X Binário (5)
Método da
Multiplicação Sucessiva
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Decimal X Binário (6)
• Exemplo 4: Transformar (0,1875)10 em binário.
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Decimal X Binário (7)
• Exemplo 5: Transformar (0,1)10 em binário.
ou
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Decimal X Binário (8)
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Decimal X Binário (9)
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Aula 8 - 19/22
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Decimal X Binário (10)
• Sintetizando, decimal para binário
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Binário X Decimal (1)
• A conversão de binário em decimal corresponde
simplesmente a utilizar a ideia vista anteriormente de
associação de valores a cada posição (casa) do número a
partir da base 2, de forma que cada posição mais à esquerda
vale duas vezes mais que a anterior.
 O valor de cada posição é multiplicado pelo valor do bit da posição.
• Exemplo 6: Converter (11001)2 em decimal.
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Binário X Decimal (2)
• Exemplo 7: Converter (01100001)2 em decimal.
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