Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3)
Cálculo Numérico
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Método de Eliminação de Gauss (1)
 No
escopo dos Métodos Diretos, destacam-se os
Métodos de Eliminação, os quais evitam o cálculo direto
da matriz inversa e não possuem problemas de tempo de
execução como a Regra de Cramer.
 Destaca-se o Método de Eliminação de Gauss, o qual
consiste em transformar o sistema linear original num
outro equivalente com a matriz dos coeficientes num
formato de matriz triangular superior, o que facilita a sua
resolução.
 Lembrar que dois sistemas lineares são considerados
equivalentes quando possuem a mesma solução.
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Método de Eliminação de Gauss (2)
 Seja o sistema linear Ax = b, onde a matriz A, de
tamanho n×n, é uma matriz triangular superior, com os
elementos da sua diagonal diferentes de zero.
 O sistema pode se descrito como a seguir,
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Método de Eliminação de Gauss (2)
 Com base na última equação do sistema, tem-se que
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Método de Eliminação de Gauss (3)
 A incógnita xn-1 pode ser obtida da penúltima equação,
como se segue,
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Método de Eliminação de Gauss (4)
 E sucessivamente, a incógnita x1 pode ser obtida da
primeira equação, como se segue,
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Método de Eliminação de Gauss (5)
 Dado um sistema linear triangular superior n×n com os
elementos da matriz A não nulos, as variáveis xn,xn-1,
xn-2,...,x2,x1 são obtidas da seguinte forma (Algoritmo 1):
 1º Passo:
 2º Passo:
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Método de Eliminação de Gauss (6)
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Método de Eliminação de Gauss (7)
 Algumas observações:
 Det(A) ≠ 0.
 Eliminação feita por colunas.
 Etapa k ou iteração k ou k-ésima iteração ou k-ésima etapa
é a fase em que se elimina a variável xk das equações k+1,
k+2, ..., n.
 aij(k) é o coeficiente da linha i e da coluna j no final da
k-ésima etapa.
 bi(k) é o i-ésimo elemento do vetor constante b no final da
k-ésima iteração.
 Considerando
que det(A)≠0, sempre é possível
reescrever o sistema linear de modo que o elemento da
posição a11 seja diferente de zero, usando a operação
elementar i) (lembrar do Teorema 1 anterior).
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Método de Eliminação de Gauss (8)
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Método de Eliminação de Gauss (9)
 Etapa 1:
 A eliminação da variável x1 das equações i = 2,3,...,n é
realizada da seguinte forma a seguir,
 Da equação i subtrai-se a 1ª equação multiplicada por mi1.
Observar que para esta eliminação seja realizada, a única
escolha possível para mi1 é,
 Denomina-se de multiplicadores os elementos
 Denomina-se de pivô
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Método de Eliminação de Gauss (10)
 Ao final dessa etapa (1ª iteração) tem-se,
 Onde,
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Método de Eliminação de Gauss (11)
 Etapa 2:
 É sempre possível reescrever a matriz A(1), sem alterar a
posição da linha 1, de tal forma que o pivô a22(1) seja não
nulo.
 Multiplicadores desta etapa (iteração) são
 A variável x2 é eliminada das equações i = 3,...,n da
seguinte forma,
 Da equação i subtraí-se a segunda equação multiplicada
por mi2.
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Método de Eliminação de Gauss (12)
 Ao final dessa etapa (2ª iteração) tem-se,
 Onde,
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Método de Eliminação de Gauss (13)
 Procede-se até a etapa (n-1) e ao final da iteração tem-se,
 Onde,
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Método de Eliminação de Gauss (14)
 Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
 1ª Etapa
 Seja Li a representação do vetor linha formado pela i-ésima
linha da matriz A(k)|b(k), sendo a linha L1 apresentada a seguir,
 O objetivo é eliminar x1 das equações 2 e 3.
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Método de Eliminação de Gauss (15)
 Seja a matriz ampliada do sistema linear a seguir,
 Então
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Método de Eliminação de Gauss (16)
 Na iteração 1 tem-se como resultado final,
 2ª Etapa
 Objetivo é eliminar x2 da equação 3
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Método de Eliminação de Gauss (17)
 Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver o sistema
abaixo,
 A solução do sistema acima é,
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Método de Eliminação de Gauss (18)
 Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de
Gauss.
 Hipóteses
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Método de Eliminação de Gauss (19)
 Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de
Gauss.
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Método de Eliminação de Gauss (20)
 Número de Operações Primitivas do Algoritmo 2.
 Fase de Eliminação
 Fase de Resolução
 Total de operações primitivas
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Método de Eliminação de Gauss (21)
 Exercício 1: Resolver o sistema a seguir,
2x 1  3 x 2  x 3  5
4x1  4x 2  3x 3  3
2x 1  3 x 2  x 3  1
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Método de Eliminação de Gauss (22)
 Exercício 1: Resolver o sistema a seguir,
2x 1  3 x 2  x 3  5
4x1  4x 2  3x 3  3
2x 1  3 x 2  x 3  1
 Solução do Exercício 1:
 x1 = 1
 x2 = 2
 x3 = 3
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Método de Eliminação de Gauss (23)
 Exercício 2: Resolver o sistema a seguir,
1,5 x1  5,4 x2  3,3 x3  10
4,2 x1  2,3 x2  4,5 x3  11,7
2,7 x1  5,7 x2  7,8 x3  8,9
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Método de Eliminação de Gauss (24)
 Exercício 2: Resolver o sistema a seguir,
1,5 x1  5,4 x2  3,3 x3  10
4,2 x1  2,3 x2  4,5 x3  11,7
2,7 x1  5,7 x2  7,8 x3  8,9
 Solução do Exercício 2:
 x1 = -1,1918
 x2 = 1,7121
 x3 = -1,1918
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Estratégias de Pivoteamento
 Sabe-se que para executar o método de Eliminação de
Gauss, requer-se o cálculo dos multiplicadores a seguir,
em cada k-ésima etapa do algoritmo.
 Problemas que podem ocorrer:
 Pivô nulo
 Impossível de se trabalhar.
 Pivô próximo de zero
 Pode conduzir a resultados totalmente imprecisos (erros de
arredondamento).
 Deve-se adotar Estratégias de Pivoteamento
 Adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.
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Pivoteamento Parcial (1)
 Estratégia de Pivoteamento Parcial
 No início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher
para o pivô o elemento de maior módulo entre os
coeficientes
 Trocar as linhas k e i, se for necessário.
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Pivoteamento Parcial (2)
 Exemplo 2: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a
seguir,
 Início da Etapa 2:
 i) escolher o pivô mais adequado
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Pivoteamento Parcial (3)
 ii) trocar as linhas 2 e 3, e assim,
 Os multiplicadores serão
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Pivoteamento Parcial (4)
 A escolha do maior elemento em módulo entre os
candidatos a pivô faz com que os multipicadores, em
módulo, se localizem entre 0 e 1, o que evita a
ampliação de erros de arredondamento.
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Pivoteamento Parcial (5)
 Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando
pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.
1,5 x 1  5,4 x 2  3,3 x 3  10
4,2x 1  2,3 x 2  4,5 x 3  11,7
2,7 x 1  5,7 x 2  7,8 x 3  8,9
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Pivoteamento Parcial (6)
 Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando
pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.
1,5 x 1  5,4 x 2  3,3 x 3  10
4,2x 1  2,3 x 2  4,5 x 3  11,7
2,7 x 1  5,7 x 2  7,8 x 3  8,9
 Solução do Exercício 3:
 x1 = -1,1919
 x2 = 1,7121
 x3 = 3,1252
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Pivoteamento Completo (1)
 Estratégia de Pivoteamento Completo
 No início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher
para o pivô o elemento de maior módulo entre todos os
elementos que ainda atuam no processo de eliminação, ou
seja,
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Pivoteamento Completo (2)
 Exemplo 3: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a
seguir,
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Pivoteamento Completo (3)
 Início da Etapa 2:
 i) escolher o pivô mais adequado
 Observa-se que o pivô dessa etapa é
 O que acarreta a troca das colunas 2 e 4 e em seguida,
das linhas 2 e 3.
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Pivoteamento Completo (4)
 Isso gera a matriz abaixo,
 Essa estratégia envolve uma comparação extensa entre
os elementos
e troca linhas e colunas.
 Esforço computacional maior que a estratégia anterior.
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Pivoteamento Completo (5)
 Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a
estratégia de pivoteamento completo.
2x 1  3 x 2  x 3  5
4x1  4x 2  3x 3  3
2x 1  3 x 2  x 3  1
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Pivoteamento Completo (6)
 Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a
estratégia de pivoteamento completo.
2x 1  3 x 2  x 3  5
4x1  4x 2  3x 3  3
2x 1  3 x 2  x 3  1
 Solução do Exercício 4:
 x1 =
 x2 =
 x3 =
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Sem Pivoteamento Parcial (1)
 Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a
seguir,
 O referido sistema linear será resolvido de duas formas:
 Sem pivoteamento parcial; e
 Com pivoteamento parcial.
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Sem Pivoteamento Parcial (2)
 Sem pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos.
 O sistema linear é,
 Então tem-se,
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Sem Pivoteamento Parcial (3)
 Etapa 1:
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Sem Pivoteamento Parcial (4)
 Etapa 1:
 Solução do sistema
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Sem Pivoteamento Parcial (5)
 Solução do sistema
 Verifica-se que a solução acima não satisfaz a segunda
equação, pois
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Com Pivoteamento Parcial (1)
 Com pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos.
 O sistema linear é,
 Etapa 1:
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Com Pivoteamento Parcial (2)
 Etapa 1:
 Solução do sistema
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