Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
10 Semestre de 2013
Matemática Discreta 1 – MD 1
Prof. Lineu Mialaret
Aula 4: Matrizes (1)
Matemática Discreta I
Aula 4 - 1/27
©Prof. Lineu Mialaret
Introdução (1)
 Matriz pode ser definida como um conjunto de elementos
dispostos de forma tabular, os quais podem representar
por exemplo, números reais, números complexos e
expressões, dentre outros.
 Normalmente uma matriz é delimitada por colchetes ou
chaves; e
 O tamanho da matriz é definido por seu número de linhas e
de colunas.
 Notação:
 Implícita - Letras Maiúsculas
– A ou A
– A ou A
– m A n ou A mn
– Amn
Matemática Discreta I
(em negrito ou não)
(em itálico ou não)
(uma matriz com m linhas e n colunas)
Aula 4 - 2/27
©Prof. Lineu Mialaret
Introdução (2)
 Notação
 Explícita
 O elemento
aij , denominado de ij-ésima entrada ou
elemento, aparece na linha i e na coluna j.
 Uma matriz com m linhas e n colunas é uma matriz
m x n, onde m e n determinam o tamanho da matriz.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 3/27
©Prof. Lineu Mialaret
Introdução (3)
 Duas matrizes A e B são iguais se tiverem o mesmo
tamanho e se os elementos correspondentes forem
iguais.
 Ou seja, aij  biji, j
 Há
uma série de matrizes especiais, que serão
apresentadas a seguir.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 4/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Linha e Matriz Coluna
 Matriz Linha
 Uma matriz A de tamanho 1 x n, ou seja, com uma linha e
n colunas.
 Matriz Coluna
 Uma matriz B de tamanho m x 1, ou seja, com m linhas e
uma coluna.
 Obs.: Um vetor pode ser representado por
essas matrizes.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 5/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Quadrada (1)
 Matriz Quadrada
 Uma matriz A é denominada de matriz quadrada se for de
tamanho n x n (ou m x m), ou seja, ela tem o mesmo
número de linhas e colunas.
 Exemplo 1: Matriz Quadrada A.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 6/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Quadrada (2)
 Numa matriz quadrada A define-se a diagonal
principal e a diagonal secundária.
 A diagonal principal é formada pelos elementos aij tais
que i = j.
 Na diagonal secundária, tem-se i + j = n + 1.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 7/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Diagonal
 Matriz Diagonal
 Uma matriz quadrada B é denominada de Matriz Diagonal
se apenas os elementos da diagonal são diferentes de
zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição a
seguir,
 Exemplo 2: Matriz Diagonal B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 8/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Nula
 Matriz Nula
 Uma matriz A é denominada de Matriz Nula se todos os
seus elementos forem iguais a zero, ou seja, se ela satisfaz
a seguinte proposição a seguir,
 Exemplo 3: Matriz Nula A.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 9/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Identidade
 Matriz Identidade
 Uma matriz diagonal B é denominada de Matriz Identidade
(ou In) se todos os seus elementos da diagonal forem
iguais a um, ou seja, se ela satisfaz a seguinte proposição
a seguir,
 Exemplo 4: Matriz Identidade B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 10/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Triangular Superior
 Matriz Triangular Superior
 Uma matriz quadrada A é denominada de Matriz Triangular
Superior se todos os seus elementos abaixo da diagonal
principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte
proposição que se segue,
 Exemplo 5: Matriz Triangular Superior A.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 11/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Triangular Inferior
 Matriz Triangular Inferior
 Uma matriz quadrada B é denominada de Matriz Triangular
Inferior se todos os seus elementos acima da diagonal
principal forem zero, ou seja, se ela satisfaz a seguinte
proposição a seguir,
 Exemplo 6: Matriz Triangular Inferior B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 12/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Simétrica
 Matriz Simétrica
 Uma matriz quadrada A ou B é denominada de Matriz
Simétrica se houver uma simetria dos seus elementos com
relação à diagonal principal, ou seja se ela satisfaz a
seguinte proposição a seguir,
 Exemplo 7: Matrizes Simétricas A e B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 13/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Densa
 Matriz Densa
 Uma matriz A é denominada de Matriz Densa se a maior
parte de seus elementos for diferente de zero.
 Exemplo 8: Matriz Densa A.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 14/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Esparsa
 Matriz Esparsa
 Uma matriz é denominada de Matriz Esparsa se a maior
parte de seus elementos for igual a zero.
 Uma matriz diagonal é um exemplo de uma matriz esparsa
quadrada.
 Exemplo 9: Matrizes Esparsas.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 15/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Transposta (1)
 Matriz Transposta
 A operação de transposição de uma matriz para se gerar a
Matriz Transposta se faz trocando suas linhas por suas
colunas, de tal forma que a linha m se transforma na
coluna n e a coluna n se transforma na linha j.
 Notação:
Exemplo 10: Matriz A e sua transposta AT.
 A ou AT

aT ij  a ji
 Exemplo 11: Vetor transposto.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 16/27
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Transposta (2)
 Exercício 1: Qual é a matriz transposta AT da matriz A
apresentada a seguir?
Matemática Discreta I
Aula 4 - 17/27
©Prof. Lineu Mialaret
Potência de Matrizes
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências
de A são definidas como se segue,
Matemática Discreta I
Aula 4 - 18/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (1)
 Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n.
A soma destas matrizes gera uma matriz C = A + B,
construída de forma a atender a equação a seguir,
 Exemplo 12: Soma das matrizes A e B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 19/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (2)
 Sejam duas matrizes A e B de dimensões iguais a m x n.
A subtração dessas matrizes gera uma nova matriz
D = A - B, construída de forma a atender a equação a
seguir,
 Exemplo 13: Subtração das matrizes A e B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 20/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (3)
 Seja
um escalar e a matriz A com dimensão igual m x
n. A multiplicação de um escalar (ou c) pela matriz A
gera uma matriz F construída usando a equação a
seguir,
 Exemplo 14: Multiplicação das matrizes A e B.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 21/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (4)
 Há uma série de propriedades nas operações algébricas
das matrizes de soma e multiplicação por escalar.
 A + B = B + A;
 (A + B) + C = A + (B + C);
 (A + B) = A + B;
 ( + )A = cA + A;
 ( )A = ( A);
 (A + B)′ = A′ + B′; e
 ( A)′ = A′.
 Obs.:
 A e B matrizes; e
 e escalares.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 22/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (5)
 Para a multiplicação de duas matrizes, seja A uma matriz
de dimensão m x n e B uma matriz de dimensão p x q.
 A multiplicação da matriz A pela matriz B só é possível
se n = p, caso contrário se diz que as matrizes A e B são
incompatíveis para a multiplicação.
 Se as matrizes A e B são compatíveis, a multiplicação
das matrizes gera uma nova matriz P = AB com cada
elementos pij construído da seguinte forma a seguir,
 A matriz P tem a dimensão m x q.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 23/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (6)
 A multiplicação de duas matrizes A e B de dimensões
iguais a m x n ocorre como apresentado a seguir,
 E o ij-ésimo elemento cij é dado por como se segue,
Matemática Discreta I
Aula 4 - 24/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (7)
 Exemplo 15: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir.
Calcular a matriz AB.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 25/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (8)
 Exercício 2: Sejam as matrizes A e B dadas a seguir.
Calcular a matriz P = AB.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 26/27
©Prof. Lineu Mialaret
Operações com Matrizes (9)
 Há uma série de propriedades adicionais nas operações
algébricas das matrizes (as matrizes A, B e C são de
dimensões tais que os produtos abaixo sejam definidos).




(AB)′ = B′A′ ou (AB)T = BTAT;
C(AB) = (CA)B;
A(B + C) = (AB + AC); e
A(BC) = (AB)C.
 Obs.:
 Em geral não vale a propriedade comutativa, ou seja, AB≠BA;
e
 Se AB = 0, isso não implica que A = 0 ou que B = 0.
Matemática Discreta I
Aula 4 - 27/27
©Prof. Lineu Mialaret