Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 11: Sistemas de Equações Lineares (1)
Cálculo Numérico
Aula 11 - 1/32
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Introdução (1)
 Uma grande variedade de problemas de engenharia
pode ser resolvida através da análise linear, dentre os
quais pode-se citar:
 Determinação do potencial em redes elétricas;
 Cálculo da tensão em estruturas metálicas da construção
civil;
 etc.
 O problema matemático em todos estes casos se reduz a
resolver um sistema de equações simultâneas.
 A maioria dessas aplicações envolve um conjunto de
equações lineares.
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Introdução (2)
 Uma equação é linear se cada termo contém não mais
do que uma variável e cada variável aparece elevada na
primeira potência.
 Exemplo 1:
 3x + 4y + 10z = 3 (é uma equação linear);
 xy - 3z = 7 (não é uma equação linear); e
 x3 + y + z = 5 (não é uma equação linear).
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Sistemas Lineares (1)
 Um sistema linear com m equações e n variáveis é
escrito usualmente na forma que se segue,
onde,
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Sistemas Lineares (2)

Exemplo 1:
onde
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5  coeficientes
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x1, x2 e x3
 incógnitas
5, 2 e -1
 constantes (ou termos
independentes)
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Sistemas Lineares (3)
 Usando-se notação matricial, o sistema linear pode ser
representado usualmente na forma que se segue,
onde
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Sistemas Lineares (4)
 Tem-se também,
 E finalmente,
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Sistemas Lineares (5)
 Interpretação geométrica de um sistema linear com duas
variáveis.
4
2x1  x 2  3

x1  3x 2  2
3
2
1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-1
-2
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Soluções de Sistemas Lineares (1)
 Dado um sistema linear com duas equações e duas
variáveis, apenas uma das situações abaixo pode
ocorrer:
 O sistema tem solução única;
 O sistema tem infinitas soluções; e
 O sistema não admite solução.
 Obs.:
 O caso genérico será visto mais adiante.
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Soluções de Sistemas Lineares (2)
 Sistema Linear com Solução Única.
x2
4
2x1  x 2  3

x1  3x 2  2
3
2
1
-0.5
0.5
-1
1
1.5
2
2.5
x1
1
Solução Única x*   
1
 
-2
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Soluções de Sistemas Lineares (3)
 Interpretação geométrica de um sistema linear com três
variáveis.
Compatível Determinado.
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Soluções de Sistemas Lineares (4)
 Sistema Linear com Infinitas Soluções.
x2
2x1  x 2  3

4x1  2x 2  6
6
4
2
x1
-2
1
-1
2
3
4
5
-2
Infinitas Soluções
-4
-6
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Soluções de Sistemas Lineares (5)
 Interpretação geométrica de um sistema linear com três
variáveis.
Compatível Indeterminado.
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Soluções de Sistemas Lineares (6)
 Sistema Linear com Nenhuma Solução.
x2
2x1  x 2  3

4x1  2x 2  2
4
2
-1
-0.5
0.5
-2
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1
1.5
2
x1
Não Admite Solução
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Soluções de Sistemas Lineares (7)
 Interpretação geométrica de um sistema linear com três
variáveis.
Incompatível.
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Soluções de Sistemas Lineares (8)
 Para o caso genérico (um sistema linear de m equações
e n incógnitas), considere a matriz A de ordem m × n
como uma função que a cada vetor x  ℝn associa um
vetor b  ℝm, b = Ax.
 Resolver o sistema linear Ax = b consiste em
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Soluções de Sistemas Lineares (9)

Exemplo 2: Seja a matriz A apresentada a seguir,

Essa matriz associa a um vetor  ao ℝ2 um outro vetor 
ℝ2.

Então,
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Soluções de Sistemas Lineares (10)

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Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares (11)
 Dada uma matriz A de ordem m × n, define-se o conjunto
Imagem de A, (Im(A)) como se segue,
 Esse conjunto é um subespaço vetorial do ℝm.
 Considerando as colunas da matriz A, resolver o sistema
Ax = b implica em obter escalares x1,x2,...,xn que
permitem que se escreva o vetor b como uma
combinação linear das n colunas de A.
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Soluções de Sistemas Lineares (12)
 Dado o sistema
 As colunas da matriz a seguir,
 São linearmente independentes e formam uma base para o
ℝ2
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Soluções de Sistemas Lineares (13)
 Dado qualquer vetor u  ao ℝ2, existem e são únicos os
escalares x1 e x2 de ℝ tais que
 Para este caso, tem-se que Im(A) = ℝ2.
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Soluções de Sistemas Lineares (14)
 Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares (15)
 Definindo-se o posto de A como
 posto (A) = dimensão (Im(A)) = dim(Im(A)).
 Seja o sistema linear a seguir,
 Já se viu que Im(A) = ℝ2, portanto existe um único
tal que
 O
Sistema Linear
determinado.
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acima
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é
dito
ser
compatível
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Soluções de Sistemas Lineares (16)
 Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares (17)
 Seja o sistema linear a seguir,
 E a matriz de coeficientes,
, na qual
 As colunas de A são linearmente dependentes e não
forma uma base para ℝ2.
 O posto de A, posto(A) = dim(Im(A)) = 1.
 Dado um vetor b  Im(A), o sistema linear Ax=b admitirá
infinitas soluções, e será compatível indeterminado.
 Se b ∉ Im(A), o sistema não admite solução e é incompatível.

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Soluções de Sistemas Lineares (18)
 Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares (19)
 Seja o sistema linear a seguir,
 Neste caso,
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Soluções de Sistemas Lineares (20)
 Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares (21)
 Nos casos em que m ≠ n, observa-se que
 i) Posto(A)
min{m,n};
 Ii) Se m < n, o sistema Ax=b nunca terá solução única, pois
posto de (A) < n.
 Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares
(122)
 Exemplo 3: Seja o sistema linear a seguir,
 Eliminando-se o termo x2 da 2ª equação e substituindo
na 1ª equação, obtém-se x1 = 12 + x3 e tem-se o conjunto
das infinitas soluções dado por
 Neste exemplo,
 Posto(A) = m = 2 < n = 3 e o sistema é compatível indeterminado.
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Soluções de Sistemas Lineares (23)
 Nos casos em que m ≠ n, observa-se que
 iii) Se m > n, mesmo que posto(A) = n, o sistema Ax=b
pode não ter solução pois a situação b ∉ Im(A) ocorre
sempre.
 Graficamente,
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Soluções de Sistemas Lineares (24)
 Seja A uma matriz de coeficientes m X n.
 Se posto(A) = min {m,n}, então A é posto-completo.
 Se posto(A) < min {m,n}, então A é posto-deficiente.
 Sintetizando,
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