Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 12: Sistemas de Equações Lineares (2)
Cálculo Numérico
Aula 12 - 1/23
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Sistemas Lineares Homogêneos (1)
 Um sistema linear com m equações e n variáveis, escrito
usualmente na forma que se segue,
onde o vetor b≠0, é denominado de Sistema Linear Não
Homogêneo.
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Sistemas Lineares Homogêneos (2)
 Um sistema linear com m equações e n variáveis, escrito
usualmente na forma que se segue,
onde o vetor b=0, é denominado de Sistema Linear
Homogêneo.
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Sistemas Lineares Homogêneos (3)
 Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a
solução a seguir,
que é chamada de Solução Trivial.
 O sistema possui somente a solução trivial ou tem infinitas
soluções (Solução não Trivial).
 Se Am×n é uma matriz de coeficientes tal que m < n, então o
sistema homogêneo Ax = 0 tem solução diferente da solução
trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos
equações do que incógnitas tem infinitas soluções.
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Sistemas Lineares Homogêneos (4)
 Se Am×n uma matriz de coeficientes,
 Se os vetores X e Y são soluções do sistema homogêneo
AX = 0, então X + Y também é solução; e
 Se X é a solução do sistema homogêneo AX = 0, então kX
também é solução.
 Demonstração:
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Operações Elementares (1)
 Resolução de um Sistema Linear
 Ideia básica:
 Obter um outro sistema linear que possua o mesmo conjunto
de soluções do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver.
 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz é uma
das três operações a seguir,
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Operações Elementares (2)
 Seja o sistema AX=B apresentado a seguir,
 A matriz Aumentada ou Matriz Ampliada é a matriz obtida
como mostrada abaixo,
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Operações Elementares (3)
 Sistemas Equivalentes
 Se dois sistemas lineares AX=B e CX = D são tais que a
matriz aumentada [C|D] é obtida de [A|B] aplicando-se
operações elementares, então os dois sistemas possuem
as mesmas soluções.
 Exemplo 1:
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Métodos Diretos (1)
 Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas
lineares são divididos em dois grupos:
 Os Métodos Diretos; e
 Os Métodos Iterativos.
 Os Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros
de arredondamento, fornecem a solução exata de um
sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio
de um número finito de operações aritméticas.
 Os Métodos Iterativos são aqueles que geram uma
sequencia de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximação
inicial x(0). Sob certas condições, a sequencia converge
para a solução x*, caso ela exista.
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Métodos Diretos (2)
 Os Métodos Diretos são métodos utilizados na resolução
de sistemas de equações densos de porte pequeno a
médio.
 Um sistema denso é aquele na qual a matriz dos
coeficientes tem um número pequeno de elementos
nulos.
 São considerados sistemas de pequeno porte aqueles
que possuem até trinta equações e de médio porte até
cinquenta equações. A partir daí, são considerados
sistemas de grande porte.
 Pertencem à classe dos Métodos Diretos aqueles
estudados no ensino médio, como a Regra de Cramer.
 Entretanto, tais métodos não são usados em problemas
práticos que exigem a resolução de sistemas de equações
lineares com um número relativamente grande de
equações
porque
apresentam
problemas
de
desempenho e eficiência.
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Regra de Cramer (1)
 Seja D o determinante da matriz formada pela matriz de
coeficientes a seguir,
 Seja Dxi o determinante da matriz que se obtém do sistema
dado, substituindo a coluna dos coeficientes xi (i = 1;2;3;...;n),
pelos termos independentes b1;b2;...;bn.
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Regra de Cramer (2)
 Os valores das incógnitas de um sistema linear de n
equações e n incógnitas são dados por frações cujo
denominador é o determinante D dos coeficientes das
incógnitas e o numerador é o determinante Dxi, ou seja,
xi = Dxi/D.
 Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear apresentado a
seguir,
 E seja D o determinante dos coeficientes apresentado a
seguir,
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Regra de Cramer (3)
 Tem-se então,
 Onde,
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Regra de Cramer (4)
 Logo,
 Portanto, o conjunto de soluções do sistema linear será
 x = 5; y = 2; z = 4.
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Métodos Diretos (2)
 Exemplo 3: Suponha que se esteja interessado em
resolver o sistema linear a seguir,
3 x1 – x2 + 2 x3 = 12
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 11
2 x1 – 2 x2 – x3 = 2
 Utilizando a Regra de Cramer, para se calcular x1,
12
1
2
11
2
3
2
x1 
3
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2
1
1
2
1
2
3
2
2
1
12

3
2
3
11 3
11 2
1
2
 2 1
2 1
2 2
2 3
1 3
1 2
1
2
 2 1 2 1
2 2
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3
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Métodos Diretos (3)
 O processo de calcular utilizando a Regra de Cramer, o
valor de x1, envolve um total de ? operações aritméticas de
somas (subtrações) e multiplicações (divisões).
12

3
2
3
11 3
11 2
1
2
 2 1
2 1
2 2
2 3
1 3
1 2
1
2
 2 1 2 1
2 2
3
 Portanto, para se calcular a solução x1, x2 e x3
são
necessárias ? operações aritméticas.
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Métodos Diretos (4)
 A aplicação da Regra de Cramer exige o cálculo de n+1
determinantes (D e Dxi, 1 i n)
 Para n = 20 o número total de operações efetuadas será
21×20!×19 multiplicações mais um número semelhante de
adições.
 Assim, um computador que efetue cerca de 100 milhões de
multiplicações por segundo levaria 3x105 anos para efetuar
as operações necessárias.
 Com isso, a Regra de Cramer é inviável em função do
tempo de computação para sistemas muito grandes.
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Métodos Diretos (5)
 Deve-se observar que no caso de sistemas lineares n×n,
com solução única, o vetor x* é dado por x* = A-1b.
 No entanto calcular explicitamente a matriz A-1 e em
seguida efetuar o produto A-1b é desaconselhável, uma vez
que o número de operações envolvidas é grande.
 Lembrando:
 Seja A uma matriz quadrada qualquer.
 Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular.
Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular
(|A| ≠ 0).
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular,
então há uma matriz A-1, chamada de Matriz Inversa de A,
de tal forma que AA-1 = A-1A = In, onde In é a Matriz
Identidade de ordem n.
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Métodos Diretos (6)
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Métodos Diretos (7)
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Métodos Diretos (8)
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Métodos Diretos (9)
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Métodos Diretos (10)
 Dessa
forma, o estudo de métodos mais eficientes
computacionalmente torna-se necessário, pois em geral, os
problemas práticos exigem a solução de sistemas lineares de
grande porte, ou seja, sistemas que envolvem um grande
número de equações e variáveis.
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