Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 10: Noções Básicas sobre Erros (4)
Cálculo Numérico
Aula 10 - 1/25
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Erros de Arredondamento (1)
 Quando
se
está
utilizando
um
equipamento
computacional para processar uma
determinada
operação aritmética, se o número obtido não pertencer
às regiões de underflow ou de overflow e este não é
representável exatamente no sistema de ponto flutuante
SPF, o mesmo será representado de forma aproximada
por nra.
 Esta
aproximação será caracterizada como um
arredondamento do número real nr, para que sua
representação seja possível no SPF.
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Aula 10 - 2/25
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Erros de Arredondamento (2)
 Um número nr na base decimal foi arredondado na
posição k se todos os dígitos de ordem maior que k
forem descartados segundo o seguinte critério:
 O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o
dígito de ordem (k + 1) for maior que a metade da base.
Caso contrário, o número nr é representado com os k
dígitos iniciais;
 Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da
base e o de ordem k é par, então o número nr é
representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é
ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade; e
 O arredondamento por corte considera que, para obter um
número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição
k.
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Aula 10 - 3/25
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Erros de Arredondamento (3)
 Exemplo 1: Considere um equipamento com o sistema
de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín,
expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5).
 Se a = 0,5324 × 103 = e b = 0,4212 × 10−2, então
a
× b = 0,22424688 × 101, que é arredondado e armazenado
como (a × b)a = 0,2242 × 101.
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Erros de Arredondamento (4)
 Exemplo 2: Considere um equipamento com o sistema
de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín,
expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5).
 Se a = 0,5324 × 103 = e b = 0,1237 × 102, então
a
+ b = 0,54477 × 103, que é arredondado e armazenado
como (a + b)a = 0,5448 × 103.
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Erros Absoluto (1)
 Define-se Erro Absoluto (Eabs) como se segue,
onde
aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o
valor aproximado da mesma grandeza.
 O valor exato de aex muitas vezes não é disponível, e a
definição anterior fica sem sentido.
 Assim, é necessário trabalhar-se com um limitante superior
para o erro, ou seja, deve-se escrevê-lo na forma,
 Em que ε é um limitante conhecido.
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Aula 10 - 6/25
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Erros Absoluto (2)
 A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte
maneira,
 Ou ainda,
 Isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com
erro absoluto não superior a ε.
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Erros Relativo (1)
 Define-se Erro Relativo (Erel) como se segue,
onde
aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o
valor aproximado da mesma grandeza.
 O valor exato de aex muitas vezes não é disponível, e a
definição anterior fica sem sentido.
 Assim, é necessário trabalhar-se com um limitante superior
para o erro, isto é, escrevê-lo na forma a seguir,
 Em que δ é um limitante conhecido.
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Aula 10 - 8/25
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Erros Relativo (2)
 Pode-se observar que o erro relativo fornece mais
informações sobre a qualidade do erro que se está
cometendo num determinado cálculo, uma vez que no
erro absoluto não é levada em consideração a ordem de
grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo
esta ordem é contemplada.
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Erros Relativo (3)
 Exemplo 3: Considere o valor exato aex = 2345,713 e o
valor aproximado aaprox = 2345,000.
 Então,
 Eabs = 0,713
 Erel = 0,00030396.
 Exemplo 4: Considere o valor exato aex = 1,713 e o valor
aproximado aaprox = 1,000.
 Então,
 Eabs = 0,713
 Erel = 0,416229.
 Obs.:
 Nos exemplos acima, o erro absoluto é o mesmo, embora o erro
cometido pela aproximação seja muito mais significativo no
Exemplo 4. No Exemplo 1, o erro relativo é da ordem de 0.03%, e
no Exemplo 2, é da ordem de 41,6%.
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Erros Relativo (4)
 Em geral, nos procedimentos numéricos gera-se uma
sequencia de soluções aproximadas que convergem ou
não para a solução desejada do problema.
 Os erros absolutos e relativos serão usados como critério
de parada nestas sequencias de aproximações.
 O erro relativo é preferível, devido às observações nos
exemplos anteriores.
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Aula 10 - 11/25
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Erros Relativo (5)
 Exemplo 5: Para se resolver a equação a seguir,
Pode-se utilizar o seguinte processo iterativo abaixo,
 Assim, dado o valor x0, pode-se, por meio da expressão
anterior, gerar a sequencia de soluções aproximadas x1,
x2, ...
 Dado que a propriedade de convergência da sequência de
aproximações esteja estabelecida e uma tolerância préfixada ε foi definida para o cálculo de uma raiz da equação
f(x) = 0, pode-se verificar se a sequência de aproximações
atingiu a precisão anterior ε, realizando os seguintes testes
a seguir,
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Aula 10 - 12/25
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Erros Relativo (6)
 Se
for verdade (forma absoluta),
 Diz-se que xn+1 é a raiz da equação f(x) = 0 com tolerância ε;
caso contrário, deve-se calcular outro elemento da sequência.
 Se
for verdadeiro (forma relativa),
 Concluí-se que xn+1 é a raiz da equação com a tolerância ε e,
em caso contrário, deve-se proceder ao cálculo do outro
termo da sequência.
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Aula 10 - 13/25
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Erros de Truncamento (1)
 Quando se representa uma função por meio de uma
série infinita e, por limitações do sistema de
armazenamento
de
dados
do
equipamento,
considerando-se apenas um número finito de termos, dizse que se está cometendo um Erro de Truncamento.
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Aula 10 - 14/25
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Erros de Truncamento (2)
 Exemplo 6: Considerando a representação de uma
função f(x) usando a Série de Taylor, nas vizinhanças do
ponto x ,
Onde
é o valor da n-ésima derivada da função f(x)
no ponto x .
 Quando se trunca a série no 3º termo, ou seja,
considerando-se apenas os termos até a derivada de
ordem 2, na expressão anterior, tem-se um erro cometido
nessa aproximação, como segue,
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Aula 10 - 15/25
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Erros de Truncamento (3)
 Exemplo 7: Considerando o desenvolvimento de f(x) = ex
em Série de Taylor, ou seja,
ou de forma compacta,
 Supondo que o equipamento utilizado para trabalhar
numericamente com a série seja capaz de armazenar
somente dados referentes aos 4 primeiros termos, ou seja,
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Aula 10 - 16/25
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Erros de Truncamento (4)
 Neste caso, são desprezados todos os termos de potência
maiores que 4, ou seja, trunca-se a série no termo de
potência de ordem 3.
 Destacando-se os quatro primeiros termos da série, podese escrevê-la da seguinte forma,
 Supondo que se deseja calcular o valor de ex para x = 2
usando apenas os quatro primeiros termos da série, ou
seja a série truncada.
 Neste caso, tem-se e2 = 6,33333, que é um valor com erro
absoluto bem significativo quando comparado com
e2 = 7,38906 obtido numa calculadora científica que
armazena uma quantidade maior de termos da série.
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Aula 10 - 17/25
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Propagação de Erros (1)
 Quando se desenvolve um processo numérico para
buscar a solução de um determinado problema, o
processamento envolve um número grande de
operações primitivas ou elementares.
 Na maioria das vezes o erro cometido em uma operação
isolada pode não ser muito significativo para a solução
do problema, mas é necessário analisar como os erros
se propagam quando há muitas operações no
processamento.
 É necessário ter conhecimento da forma com que os erros
estão se propagando, ou seja, caso estejam acumulando a
uma taxa crescente, diz-se que o erro é ilimitado, e a
sequencia de operações é considerada instável; e
 Se os erros estão se acumulando a uma taxa decrescente,
diz-se que o erro é limitado e a sequencia de operações é
estável.
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Aula 10 - 18/25
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Propagação de Erros (2)
Erros Ilimitados e Erros Limitados.
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Aula 10 - 19/25
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Propagação de Erros (3)
 Exemplo 8: Usando-se aritmética de ponto flutuante de 4
dígitos, base decimal e arredondamento por corte,
calcular o valor da seguinte soma,
 Para i = 1, na aritmética definida, realiza-se inicialmente a
operação que resulta no seguinte valor aproximado
 Calculando o erro absoluto, tem-se que
 Eabs1 = | 4,03569 – 4,034 | = 0,00169 = 0,169 × 10-2
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Aula 10 - 20/25
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Propagação de Erros (4)
 Para i = 2, na aritmética definida, realiza-se a operação
que resulta no seguinte valor aproximado
 Calculando o erro absoluto, tem-se que
 Eabs2 = | 8,06978 – 8,068 | = 0,00178 = 0,178 × 10-2
 Observar que ao se realizar a mesma operação de adição
por duas vezes, comete-se um erro absoluto maior.
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Propagação de Erros (5)
 Para i = 3, na aritmética definida, realiza-se a operação
que resulta no seguinte valor aproximado
 Calculando o erro absoluto, tem-se que
 Eabs3 = | 12,10467 – 12,10 | = 0,00467 = 0,467 × 10-2
 Para i = 4, obtém o seguinte valor aproximado
 Calculando o erro absoluto, tem-se que
 Eabs4 = | 16,1395 – 16,13 | = 0,0095 = 0,95 × 10-2
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Aula 10 - 22/25
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Propagação de Erros (6)
 Como se pode observar, na medida em que se aumenta
o número de parcelas na operação de adição,
considerando a aritmética definida anteriormente,
aumenta-se também o erro absoluto cometido na soma
final.
 Desta forma, a sequência de operações pode-se tornar
instável, conforme o gráfico abaixo.
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Aula 10 - 23/25
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Propagação de Erros (7)
 Exemplo 9: Para se resolver a equação a seguir,
pode-se utilizar o seguinte processo iterativo abaixo,
 Neste procedimento, em cada iteração estão envolvidas as
operações de adição e multiplicação, que são repetidas até
que se calcule o valor aproximado de xn para a solução da
equação com uma precisão ε desejada.
 Se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de
erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar
ao longo do processo.
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Aula 10 - 24/25
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Propagação de Erros (8)
 Se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de
erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar
ao longo do processo.
 Se este procedimento convergir para a solução x da
equação, apesar dos erros cometidos, tem-se que a
sequencia de operações se torna estável, conforme o
gráfico abaixo.
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Aula 10 - 25/25
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