Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 6: Matrizes (3)
Cálculo Numérico
Aula 6 - 1/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (1)
 Seja a matriz A e os seguintes vetores u e v
apresentados como se segue.
 E sejam as seguintes transformações operadas em A
que resultam em:
Cálculo Numérico
Aula 6 - 2/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (2)
 As transformações realizadas podem ser apresentadas
graficamente, como apresentado a seguir.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 3/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (3)
 Generalizando,
tomando
como
foco
as
transformações lineares
do tipo Ax = λx, com λ
constante,
têm-se
transformações nas quais
o vetor x tem seu
tamanho expandido ou
diminuído.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 4/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (4)
 Exemplo 1:
Seja a matriz A e o vetor x como
apresentados a seguir.
 Tem-se que a matriz Ax apresenta o seguinte formato:
Cálculo Numérico
Aula 6 - 5/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (5)
 Um autovetor para uma matriz A de ordem k é um vetor
x, não nulo, tal que Ax = x, para algum escalar .
 Um escalar é chamado de autovalor de uma matriz A
se há uma solução não trivial x para a equação Ax = x.
 Obs.:
 O escalar e a matriz x são chamados de autovalor e
autovetor associado; e
 Normalmente, os autovetores são dados num formato
padronizados e, tal que
em que
Cálculo Numérico
Aula 6 - 6/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (6)
 Considere a transformação Ax = λx, então tem-se que
Ax − λx = (A − λI)x = 0.
 A matriz quadrada A − λI é uma matriz singular e
pode-se resolver a equação matricial a seguir,
Ax − λIx = (A − λI)x = 0
para λ, usando-se o fato que o determinante de
(A − λI) deve ser 0, ou seja, |A − λI| = 0.
 Essa equação é conhecida como Equação ou Função
Característica. Dessa forma, deve-se obter os valores
de λ que são raízes da função característica.
 Seja A uma matriz quadrada de ordem k, então existem k
autovalores λ1, λ2, λ3, ..., λk que satisfazem a equação
polinomial |Ax − λI| = 0. Assim sendo, existem k
autovetores e1, e2, ..., ek associados.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 7/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (7)
 Exemplo 2: Seja a matriz A apresentada a seguir.
 Então tem-se que
 E chega-se na seguinte equação polinomial
Cálculo Numérico
Aula 6 - 8/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (8)
 Tem-se o cálculo das seguintes raízes
 Finalmente, os autovalores da matriz A são
Cálculo Numérico
Aula 6 - 9/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (9)
 Para o cálculo dos autovetores associados, deve-se
calcular
 Autovetor e1 associado ao autovalor λ1 = 3
 Tem-se que x11 = 0 e x12 pode ser qualquer valor, e será
considerado igual a 1. O primeiro autovetor é x′1 = (0,1).
Padronizando x1, tem-se
Cálculo Numérico
Aula 6 - 10/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (10)
 Autovetor e2 associado ao autovalor λ2 = 1
 Tem-se que x21 = -2x22. Fazendo x22 = 1, então x21 fica igual a
x21 = -2 e o segundo autovetor é x′2 = (-2,1). Padronizando o
autovetor x2 , tem-se
Cálculo Numérico
Aula 6 - 11/35
©Prof. Lineu Mialaret
Autovalores e Autovetores (11)
 Exercício 1: Calcular os autovalores e autovetores
associados à matriz A apresentada a seguir.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 12/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição Espectral (1)
 Seja uma a matriz A simétrica de ordem k, então A pode
escrita por
 Exemplo 3: Seja a matriz A apresentada a seguir.
 Têm-se os autovalores λi e
autovetores ei associados.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 13/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição Espectral (2)
 Portanto,
Cálculo Numérico
Aula 6 - 14/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição Espectral (3)
 Defina-se
uma matriz ortogonal U cujas colunas
consistem nos autovetores e1, e2 , ..., ek , e da mesma
forma, definindo-se uma matriz ortogonal V, tal que
V = U′, ou seja,
 Defina-se ainda uma matriz Λ (lambda) formada
pelos autovalores λ1, ..., λk , ou seja,
 Pode-se escrever que
ou
Cálculo Numérico
Aula 6 - 15/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição Espectral (4)
 Para o caso de uma matriz de ordem 2, tem-se que
e
 Assim, uma matriz A de ordem 2 pode ser representada
por
Cálculo Numérico
Aula 6 - 16/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição Espectral (5)
 Exemplo 4: Para o caso da matriz A, apresentada a
seguir,
 Têm-se as matrizes U e Λ apresentadas a seguir
e
Cálculo Numérico
Aula 6 - 17/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (1)
 Seja a matriz x′Ax. Como se tem apenas termos
quadráticos x2i e termos cruzados xixj, essa matriz recebe
o nome de Forma Quadrática.
 Se uma matriz simétrica A de ordem k é tal que
 Então se diz que a matriz A é uma Matriz Definida
Positiva.
 Se uma matriz A de ordem k é definida positiva, então seus
autovalores são todos positivos, ou seja,
Cálculo Numérico
Aula 6 - 18/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (2)
 Exemplo 5: Seja a forma quadrática 6x12 + 4x1x2 + 3x22 ,
então
 Sabendo-se que
 Então a matriz A é definida positiva
Cálculo Numérico
Aula 6 - 19/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (3)
 Algumas propriedades:
 Se x′Ax ≥ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida
positiva;
 Se x′Ax < 0, ∀x não nulo, então a matriz A é definida
negativa; e
 Se x′Ax ≤ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida
negativa.
 Casos Especiais:
 Matriz Inversa - a inversa de uma matriz simétrica A de
ordem k pode ser obtida fazendo-se
ou
Cálculo Numérico
Aula 6 - 20/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (4)
 Matriz Raiz Quadrada - a Matriz Raiz Quadrada de uma
matriz A definida positiva de ordem k, é uma matriz tal que
A1/2A1/2 = A, e pode ser obtida fazendo-se
ou
 Em que a matriz Λ1/2 é dada por
Cálculo Numérico
Aula 6 - 21/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (5)
 Há outra relações que envolvem a matriz raiz quadrada:
 A−1/2 = (A−1/2 )−1 = UΛ −1/2 U′;
 A−1/2 A−1/2 = A−1.
 Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir.
 Então tem-se (de exemplo anterior) que
e
Cálculo Numérico
Aula 6 - 22/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (6)
 Fazendo-se
 Tem-se que
Cálculo Numérico
Aula 6 - 23/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (7)
 A matriz A1/2 é a matriz raiz quadrada de A, sendo que
 Fazendo-se
 Tem-se que
Cálculo Numérico
Aula 6 - 24/35
©Prof. Lineu Mialaret
Matriz Definida Positiva (8)
 E assim,
Cálculo Numérico
Aula 6 - 25/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (1)
 Seja A uma matriz de valores m x k. Há uma matriz
U de ordem m x n e uma matriz V de ordem k x k, ambas
ortogonais, tais que
 Em que a matriz Λ é uma matriz do seguinte tipo
 Onde r = rank de A e a matriz D é uma matriz diagonal
com os r valores singulares de A.
 Pode-se entender a decomposição em valores singulares
como uma expressão numa relação matricial que
depende do rank da matriz.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 26/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (2)
 Dado que m > k, então existem r constantes positivas λ1,
λ2 , ..., λr, r autovetores u1, u2, ..., ur de dimensão m x 1 e
r autovetores v1,v2, ..., vr , de dimensão k x 1 tal que
 Onde as matrizes definidas abaixo são ortogonais
 E a matriz Λr é uma matriz diagonal do tipo
Cálculo Numérico
Aula 6 - 27/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (3)
 Neste cenário, λ1, λ2 , ..., λr e u1, u2, ..., ur são pares de
autovalores e autovetores de AA′, obtidos de
 Em que λ1 > λ2 > . . . > λr > 0, são valores estritamente
positivos.
 Os vetores vi, por sua vez, estão relacionados aos
autovetores ui, i = 1, 2, ..., r, pela relação abaixo
 Alternativamente, vi, i = 1, 2, ..., r, são autovetores
associados aos mesmos autovalores positivos λ1 > λ2 > .
. . > λr > 0 de A′A.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 28/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (4)
 Desta forma, a decomposição em valores singulares
pode ser escrita pela expressão a seguir,
Cálculo Numérico
Aula 6 - 29/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (5)
 Exemplo 6: Seja a matriz A apresentada a seguir.
 Então tem-se AA′ é
Cálculo Numérico
Aula 6 - 30/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (6)
 Os autovalores de AA′ são
 Os autovetores associados são
 Os vetores v1 e v2 são obtidos como se segue
Cálculo Numérico
Aula 6 - 31/35
©Prof. Lineu Mialaret
Decomposição em Valores Singulares (7)
 Dessa forma, a matriz A pode ser escrita como se segue,
 Ou seja,
Cálculo Numérico
Aula 6 - 32/35
©Prof. Lineu Mialaret
Bibliografia (1)
 Referência Básica 1
 GERSTING,
J.
L.
Fundamentos Matemáticos
para Ciência da Computação.
5ª ed., Rio de Janeiro: LTC,
2004
Cálculo Numérico
Aula 6 - 33/35
©Prof. Lineu Mialaret
Bibliografia (2)
 Referência Básica 2
 LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Matemática Discreta. 2ª ed.,
São Paulo: Bookman, 2004.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 34/35
©Prof. Lineu Mialaret
Bibliografia (3)
 Referência Básica 3
 LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.
Álgebra Linear. 4ª ed., São
Paulo: Bookman, 2011.
Cálculo Numérico
Aula 6 - 35/35
©Prof. Lineu Mialaret