Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4)
Cálculo Numérico
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Fatoração LU (1)
 Seja o sistema linear Ax = b.
 Um processo de fatoração para a resolução do sistema
linear acima consiste em decompor a matriz A (matriz
dos coeficientes) num produto de dois ou mais fatores, e
resolver uma sequência de sistemas lineares que conduz
à solução do sistema original.
 Ou seja,
 Caso possa se fazer a fatoração A = CD, o sistema linear
Ax = b pode ser escrito como (CD)x = b.
 Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax= b é o
mesmo que resolver o sistema linear Cy = b e em seguida
solucionar o sistema Dx = y.
 Os processos de fatoração são vantajosos pois permitem
resolver qualquer sistema linear que tenha a matriz A
como matriz de coeficientes.
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Fatoração LU (2)
 A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais
empregados para se resolver sistemas lineares.
 Nessa fatoração, a matriz L é uma matriz triangular inferior
com diagonal unitária e a matriz U é uma matriz triangular
superior.
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Cálculo dos Fatores L e U (1)
 A obtenção dos fatores L e U por fórmulas dificulta o uso
de estratégias de pivoteamento, e por esta razão, para
se obter esses fatores será usado o processo de Gauss.
 Para exemplificar, seja o seguinte sistema linear e a
respectiva matriz A, apresentados a seguir,
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Cálculo dos Fatores L e U (2)
 Os multiplicadores da 1ª iteração do processo de Gauss
são apresentados a seguir,
 Para se eliminar x1 da linha i (i = 2,3,...), multiplica-se a
linha 1 por mi1 e subtrai-se o resultado da linha i.
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Cálculo dos Fatores L e U (3)
 Os coeficientes aij(0) são alterados para aij(1) , onde
 Isso equivale a pré-multiplicar a matriz A(0) pela matriz
M(0) onde M(0) é
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Cálculo dos Fatores L e U (4)
 Ou seja,
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Cálculo dos Fatores L e U (5)
 Portanto, M(0)A(0) = A(1) (que é a mesma matriz obtida no
final da 1ª iteração do processo de Gauss).
 Supondo que a22(1) não seja zero, o multiplicador m32 será
 Para se eliminar x2 da linha 3, multiplica-se a linha 2 por
m32 e subtrai-se o resultado da linha 3.
 Os coeficientes aij(1) são alterados para
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Cálculo dos Fatores L e U (6)
 As operações efetuadas na matriz A(1) são equivalentes a
pré-multiplicar A(1) por M(1), onde
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Cálculo dos Fatores L e U (7)
 Portanto, M(1)A(1) = A(2) (que é a mesma matriz obtida no
final da 2ª iteração do processo de Gauss).
 Tem-se então que
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Cálculo dos Fatores L e U (8)
 É fácil verificar que
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Cálculo dos Fatores L e U (9)
 Então,
 Ou seja,
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Cálculo dos Fatores L e U (10)
 Sintetizando,
 Fatorou-se a matriz A em duas matrizes triangulares L e U,
sendo que o fator L é triangular superior com diagonal
unitária e seus elementos lij para i > j são os
multiplicadores mij obtidos no processo de Eliminação de
Gauss; e
 O fator U é triangular superior e é a matriz triangular obtida
no final da fase de triangularização do Processo de
Eliminação de Gauss.
L
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U
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Teorema da Fatoração LU (1)
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Teorema da Fatoração LU (2)
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Cálculo dos Fatores L e U (11)
 Exemplo 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se
a Fatoração LU.
 Usando-se o Processo de Gauss, para se triangularizar a
Matriz A, tem-se na Etapa 1
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Cálculo dos Fatores L e U (12)
 Então tem a seguinte manipulação de linhas
 A matriz A(1) é
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Cálculo dos Fatores L e U (13)
 Como a21(1) e a31(1) são nulos, pode-se guardar os
multiplicadores nessas posições
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Cálculo dos Fatores L e U (14)
 Na 2ª Etapa tem-se
Multiplicadores nas posições aij = 0
 Tem-se então
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Cálculo dos Fatores L e U (15)
 Os fatores L e U são
 Solucionando-se L(Ux) = b
Lembrar do Teorema da Fatoração LU
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Cálculo dos Fatores L e U (16)
 Solucionando-se L(Ux) = b
Lembrar do Teorema da Fatoração LU
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Cálculo dos Fatores L e U (11)
 Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se
a Fatoração LU.
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Cálculo dos Fatores L e U (12)
 Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se
a Fatoração LU.
 Solução:
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (1)
 A estratégia de pivoteamento parcial na fatoração LU
requer a permutação de linhas na matriz A(k), quando
necessário.
 Para isso, é necessário
 Definir o que é uma matriz de permutação;
 Como usar o pivoteamento parcial na fatoração LU; e
 Analisar quais os efeitos das permutações na solução dos
sistemas lineares Ly = b e Ux = y.
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (2)
 Uma matriz quadrada de ordem n é denominada de
Matriz de Permutação quando ela pode ser obtida a partir
da Matriz Identidade de ordem n permutando-se suas
linhas (ou colunas).
 Fazendo-se a pré-multiplicação de uma matriz A por uma
matriz de permutação P obtém-se a matriz PA com as
linhas permutadas e esta permutação de linhas é a
mesma efetuada na matriz identidade para se obter a
matriz P.
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (3)
 Exemplo 2:
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (4)
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (5)
 Exemplo 3: Resolver o sistema linear a seguir usando-se
a Fatoração LU com pivoteamento parcial.
 Usando-se o Processo de Gauss, tem-se na Etapa 1
 Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (6)
 Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1
 Fazendo-se a eliminação na matriz A´(0) tem-se
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (7)
 Na 2ª Etapa, tem-se,
 Então deve-se fazer a permutação das linhas 2 e 3,
obtendo-se
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (8)
 Fazendo-se a eliminação tem-se,
 Os fatores L e U são
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (9)
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (10)
 Solução dos sistemas lineares,
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (11)
 Solução dos sistemas lineares,
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (12)
 Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se
a Fatoração LU com pivoteamento parcial.
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (13)
 Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se
a Fatoração LU com pivoteamento parcial.
 Solução:
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