Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 7: Noções Básicas sobre Erros (1)
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Aula 7 - 1/24
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Introdução (1)
 28 americanos foram mortos e 98 feridos por um míssil
Scud em 25 de fevereiro de 1991, na Guerra do Golfo.
 O sistema de defesa Patriot falhou em rastrear e
interceptar o míssil, por um problema de aproximação, e
esta, sendo acumulada por mais de 100 horas, gerou
uma falha na leitura de 0,34 seg.
 Esta falha "enganou” o sistema de defesa, informando
que o míssil estava a 687 m quando, na verdade, ele
estava a 137m.
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Introdução (2)
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Introdução (3)
 Ariane 5, em 4 de Junho de 1996.
 O foguete explodiu 40 segundos na sua viagem inaugural.
 Foi aproveitado um pacote de software de navegação do
Ariane 4 que não tinha erros.
 No módulo Sistema de Navegação Inercial - SNI uma
conversão de valores de 64-bits para 16-bits falhou.
 A falha no SNI levou o computador de bordo a modificar a
trajetória do foguee e isto causou a ativação da auto
destruição.
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Introdução (4)
 Ariane 5, em 4 de Junho de 1996.
 A concepção do foguete custou à Agência Espacial Europeia
10 anos e 7 bilhões de dólares.
 Explodiu 40 segundos após a descolagem, destruindo-se com
toda a sua carga (um conjunto de quatro satélites no valor de
500 milhões de dólares).
 O acidente deveu-se a um erro de overflow na conversão de
um valor representado em 64 bits com ponto flutuante para um
inteiro de 16 bits com sinal.
Filme
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Introdução (5)
 De uma maneira geral, a resolução de um problema de
qualquer área do conhecimento científico passa
inicialmente por uma fase de observação e entendimento
do fenômeno físico envolvido na qual, usando
conhecimentos já estabelecidos, busca-se, por meio de
simplificações, quando necessárias, a construção de um
modelo matemático que represente, com a maior
fidelidade possível, o problema que se deseja tratar.
 Esta etapa é caracterizada como Fase da Modelagem do
Modelo Matemático.
 Com o problema representado por intermédio de um
modelo matemático, busca-se, para a sua resolução, um
método exato quando possível, ou, quando não, um
método numérico aproximado.
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Introdução (6)
 Mesmo quando se utiliza na resolução do modelo
matemático um método exato (um método que apresenta
a solução exata para o modelo), pelo fato de este
envolver um número muito grande de operações
elementares (adição, multiplicação, subtração e divisão)
e, sendo estas processadas em equipamento com
capacidade limitada para armazenar dados, pode-se
cometer erros.
 Por outro lado, quando se opta, em razão da complexidade
do modelo matemático, pela resolução por meio de um
método numérico, além dos erros no processamento
anteriormente mencionados, pode-se também cometer
erros provenientes do fato de se utilizar, para a resolução
do modelo matemático, um algoritmo aproximado.
 Esta etapa é caracterizada como Fase de Resolução do
Modelo Matemático.
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Introdução (7)
 A figura abaixo ilustra as fases descritas anteriormente.
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Introdução (8)
 Serão apresentados os principais erros que podem
ocorrer na Fase da Resolução de um problema.
 Os erros cometidos devido à mudança da base de
processamento;
 Os erros de representação devido ao sistema utilizado
pelos computadores para armazenar dados numéricos;
 Os erros de arredondamento e truncamento; e
 Os erros absolutos e relativos.
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Erros na Fase de Modelagem (1)
 Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico
por meio de um método matemático, raramente se tem
uma descrição correta deste fenômeno.
 Normalmente, são necessárias várias simplificações do
mundo físico para que se tenha um modelo.
 Exemplo 1: Seja o estudo do movimento de um corpo
sujeito a uma aceleração constante.
 Tem-se a seguinte equação a seguir,
 Onde,
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Erros na Fase de Modelagem (2)
 Seja agora o problema de se calcular a altura de um
edifício usando uma bolinha de metal e um cronômetro.
 Ao soltar a bolinha do terraço do edifício esta levou 3
segundos para atingir o chão.
 Logo,
 Pergunta: Esse resultado é confiável?
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Erros na Fase de Modelagem (3)
 Erros na Fase de Modelagem são os erros decorrentes
de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o
fenômeno da natureza que se estiver observando possa
ser representado por um modelo matemático e que tenha
condições de ser tratado com as ferramentas
matemáticas disponíveis.
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Erros na Fase de Resolução (1)
 Erros na Fase de Resolução são os erros provenientes
da utilização de algum equipamento, como, por exemplo,
um computador, para se processar os cálculos
necessários à obtenção de uma solução para o modelo
matemático.
 Eles ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem
capacidade limitada para armazenar os dígitos
significativos de valores numéricos utilizados nas
operações elementares de adição, multiplicação,
subtração e divisão.
 Os erros nesta fase de resolução podem ser
classificados em Erros na Mudança de Base e Erros de
Representação.
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Erros na Mudança da Base (1)
 Os equipamentos computacionais digitais representam
os valores numéricos no sistema binário. Assim, quando
os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos
são lidos, estes são transformados em uma outra base
de representação.
 Muitas vezes esta transformação pode ser acometida de
erros, em razão da limitação da representação do
equipamento computacional que está sendo utilizado
para o processamento dos dados numéricos.
 Os números empregados no calculo computacional
podem ser de dois tipos:
 Números Inteiros; e
 Números em “Ponto Flutuante” (números
reais da
matemática, como por exemplo 3.56 → 0.356 x 10-1).
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Erros na Mudança da Base (2)
 Os computadores atuais representam os números
internamente no formato binário, como uma sequencia
de 0s e 1s.
 Apesar dessa representação ser conveniente para as
maquinas, ela é antinatural para os seres humanos, cujo
sistema de numeração é o decimal.
 No passado o sistema de numeração já foi também na
base 12 (por exemplo, contar nas falanges dos dedos) e na
base 60 (por exemplo, o sistema horário).
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Erros na Mudança da Base (3)
 Sistema de Numeração
 É o conjunto de símbolos utilizados para a representação
de quantidades e as regras que definem a forma de
representação.
 É determinado fundamentalmente pela base.
 Base
 Indica o número de símbolos que vão ser usados
(analogia com o alfabeto).
 Notação para indicar um número numa determinada
base
 Numero X na base B
 X(B) ou XB
 Exemplo 2: Número 2 na base 10.
 210
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Erros na Mudança da Base (4)
 Tipos de Sistemas de Numeração
 Há dois tipos de sistemas de numeração: Sistemas
Posicionais e Sistemas Não Posicionais.
 Sistemas Não Posicionais
 São aqueles sistemas de numeração em que o valor
atribuído a um símbolo não se altera, independente da
posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos
que está representando uma quantidade.
 Exemplo 3: Sistema de Numeração Romano
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
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Erros na Mudança da Base (5)
 Sistemas Posicionais
 São aqueles sistemas de numeração em que o valor
atribuído a um símbolo depende da posição em que ele
se encontra no conjunto de símbolos que está
representando uma quantidade.
 Exemplo 4: Sistema de Numeração Decimal.
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Erros na Mudança da Base (6)
 No sistema decimal cada posição tem um valor que
equivale a dez vezes o valor da posição que está
imediatamente a sua direita.
 Supondo que se designe uma casa para cada posição, o
valor da casa vai aumentando para a esquerda de 10 em
10 vezes.
 Assim se o valor da 1a casa da direita for 100, a 2a (à
esquerda) valerá 100 x 10 = 1000.
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Erros na Mudança da Base (7)
 Há vários Sistemas Posicionais disponíveis:
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Erros na Mudança da Base (8)
 Dado um número real N qualquer, é sempre possível
representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma
apresentada a seguir,
Onde
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, com n e m inteiros.
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Erros na Mudança da Base (8)
 Representação para a Base Binária
 Exemplo 5: (1011)2
 (1011)2 = 1×20 + 1×21 + 0×22 + 1×23
 Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é,
i = 0,1,2,3 e tem-se que a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0 e a3 = 1.
 Exemplo 6: (111,01)2
 (111,01)2 = 1×2-2 + 0×2-1 + 1×20 + 1×21 + 1×22
 Neste caso, o binário tem a parte inteira e a parte
fracionária, isto é, n = - 2 e m = 2 e tem-se que a-2 = 1,
a-1 = 0, a0 = 1, a1 = 1 e a2 = 1.
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Erros na Mudança da Base (8)
 Representação para a Base Decimal
 Exemplo 7: (231)10
 (231)10 = 1×100 + 3×101 + 2×102
 Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0,1,2 e
tem-se que a0 = 1, a1 = 3 e a2 = 2.
 Exemplo 8: (231,35)10
 (231,35)10 = 5×10-2 + 3×10-1 + 1×100 + 3×101 + 2×102
 Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e
parte fracionária, n = - 2 e m = 2 e tem-se que a-2 = 5,
a-1 = 3, a0 = 1, a1 = 3 e a2 = 2.
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Erros na Mudança da Base (8)
 Observação
 Dado um número real qualquer numa base b, pode-se
escrevê-lo em uma outra base b’, a partir de adequação
conveniente de seus coeficientes ai = 0, 1, 2, 3, ..., (b – 1) e
de uma potência adequada na nova base b’.
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