Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 13
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 13

Variáveis Aleatórias

Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias
Introdução
Seja o experimento de jogar 1 dado
Do que vimos até o momento podemos:
• Jogar repetidamente os dados e coletar dados amostrais;
• Descrever os resultados por gráficos como o histograma de
frequência;
• Calcular média, desvio padrão e outras estatísticas;
• Achar a probabilidade de cada resultado possível
Estatística descritiva
Teoria da probabilidade
• Achar a probabilidade de cada resultado possível
Variáveis Aleatórias
Introdução
Seja o experimento de jogar 1 dado
Agora nós vamos combinar os conceitos anteriores
Desenvolveremos o conceito de distribuição de
probabilidade
Elas descrevem o que provavelmente ocorrerá, em vez de o
que realmente ocorreu
Variáveis Aleatórias
Introdução
Até o momento, usamos valores observados que
tinham sido realmente coletados.
Agora, com as distribuições de probabilidade,
apresentaremos resultados possíveis junto com
as frequências relativas que esperamos
Variáveis Aleatórias
Introdução
Figura 4-1 triola
Variáveis Aleatórias
Experimento aleatório
É aquele que não é possível antecipar seu resultado,
apesar de conhecermos todos os resultados
possíveis que definem o espaço amostral do
experimento
Ao jogarmos um dado, sabemos os resultados
possíveis, mas não sabemos qual o próximo resultado, da
próxima jogada
Variáveis Aleatórias
Experimento aleatório

Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado
pertencerá a um espaço amostral S  cada resultado é um
ponto amostral

Agora, em vez de operar com S, usaremos o conceito de
variável aleatória, que recebe valores (números) de acordo
com os resultados de um experimento aleatório
Lançar uma moeda 2 vezes e estudar o no de “caras”:
Resultado do experimento
Cara
Coroa
Ponto amostral
Valor numérico

1
Valor correspondente
Variáveis Aleatórias
Variável aleatória
É uma variável (normalmente representada por x)
que tem um único valor numérico, determinado
por acaso, para cada resultado de um
experimento
Distribuição de probabilidade
É um gráfico,uma tabela ou fórmula que dá a
probabilidade para cada valor da variável
aleatória
Variáveis Aleatórias
Variável aleatória
qualitativa
Ponto amostral
discreta
característica
v.a.
quantitativa
contínua
S

Variáveis Aleatórias
Variável aleatória
S
X
E1
x1
E2
.
.
.
x2
.
.
.
Eventos
A cada evento do espaço
amostral S  associamos um valor
na variável X  variável aleatória X
Números
Exemplo: lançamento de
2 moedas
Se definirmos X =
= “nos de caras”, quais os
valores que X pode
assumir?
Variáveis Aleatórias
Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa)
S
KC
X
KK
2
CK
1
CC
0
1
A v.a. associa cada elemento do
espaço amostral S a um número real
É uma função formada por valores
numéricos definidos sobre o espaço
amostral de um experimento:

A cada resultado do experimento aleatório
corresponderá apenas um único valor
numérico da v.a.  CK corresponde ao no 1
somente

Entretanto, um valor numérico da v.a. poderá
corresponder a um ou mais resultados de um
experimento  o no 1 corresponde a KC e
CK
Variáveis Aleatórias
Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa)
X: número de caras em 2 lances de moeda
KK
KC
CK
CC
S
X = 0  CC
X = 1  KC  CK
X = 2  KK
0
1
2
imagem
CK corresponde ao no 1 somente
Entretanto , o no 1 corresponde a KC e CK
Variáveis Aleatórias

O passo fundamental para entendermos uma v.a. é
associar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o que
se chama de uma distribuição de probabilidades

A distribuição de probabilidades fica caracterizada pelos
valores da v.a. X e pela regra, ou função, que associa a
cada valor uma probabilidade

Essa função, chamada de função de probabilidade, é
representada por f(x). No exemplo anterior, temos:
Valores de X
0
1
2
Probabilidade
1/4
1/2
1/4
Variáveis Aleatórias
Distribuição de probabilidade
Exemplo: Lançamento de 2 moedas
S
KC
X
1
P(X)
0,50
KK
2
0,25
CK
1
0,50
CC
0
0,25
X
0
P(X)
1/4 0,25
1
1/2 0,50
2
1/4 0,25
Variáveis Aleatórias
Distribuição de probabilidade
Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Gráfico da distribuição de probabilidade da v.a.
No de caras
Variáveis Aleatórias
Exemplo: Lançamento de 2 moedas
Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa)
X: número de caras em 2 lances de moeda
KK
KC
CK
CC
S
0
1
2
0,00
imagem
0,25
0,50
Imagem P(X)
Variáveis Aleatórias
Distribuição de probabilidade
Requisitos para que uma função seja chamada de
distribuição de probabilidade
1) Podemos associar números a eventos do espaço
amostral  v.a.;
2) Para cada número podemos associar uma
probabilidade tal que esta esteja entre zero e
1,0;
3) Soma de todas as probabilidades é 1 ou 100%
Variáveis Aleatórias
Exemplo: f(x) = x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2
aleatoriamente) determina uma distribuição de
probabilidade?
f(0) = 0/3 = 0,0
f(1) = 1/3
f(2) = 2/3
 f(x)

0
3

1
3

2
3

Cada valor de f(x) está entre 0 e 1
f(x) é um exemplo de distribuição de
probabilidade
3
3
1
Variáveis Aleatórias
Variável aleatória  Classificação
Discreta
Tem ou um no finito de valores, ou uma
quantidade enumerável de valores, onde
“enumerável” se refere ao fato de que podem
existir infinitos valores, mas que podem ser
associados a um processo de contagem
Contínua
Tem infinito valores , e esses valores podem
ser associados com medidas em uma
escala contínua, de modo que não há pulos
ou interrupções
Variáveis Aleatórias
Exemplos:

Seja x o número de ovos que uma galinha põe em um dia.
Essa é uma variável aleatória discreta porque são
possíveis apenas os valores 0, 1, 2, e assim por diante.
Nenhuma galinha põe 2,345 ovos, valor que seria
possível se os dados proviessem de uma escala contínua

Seja x a quantidade de leite que uma vaca produz em um
dia. Essa é uma variável aleatória contínua porque pode
assumir qualquer valor em um intervalo contínuo.
Durante um único dia, uma vaca pode produzir uma
quantidade de leite que pode ser qualquer valor entre 0 e
5 litros. Seria possível obter 4,1234 litros, porque a vaca
não é restrita a quantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5
litros.
Distribuição Discreta de Probabilidade
Definição formal

Uma distribuição discreta de probabilidade de uma v.a.
X é uma relação dos distintos valores xi de X juntamente
com as probabilidades associadas f(xi)
Onde:

f ( xi )  P ( X  xi )
Para que uma função f(x) seja uma distribuição de
probabilidade, é necessário que:
f ( x)  0

f ( x)  1
P ( X  x)  f ( x)
Distribuição Discreta de Probabilidade
Exemplo
 Consideremos a soma dos pontos que aparecem na jogada de dois
dados. Sabemos que os valores possíveis da soma X, com suas
probabilidades associadas P(X = x) são:
x
f(x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Podemos calcular probabilidades do tipo:
P ( X  5) 
1
36
2

36
3

36
P ( X  8)  P ( X  9) 
4

36
4

36
P (6  X  8) 
5
36

6
36


10
36
3

36
5
36
 f(2) + f(3) + f(4) + f(5)

16
36
2
36

1
36

10
36
 f(9) + f(10) + f(11) + f(12)
 f(6) + f(7) + f(8)
Distribuição Discreta de Probabilidade

Para calcularmos probabilidades associadas a uma
variável aleatória, temos basicamente de saber calcular
as probabilidades dos eventos:
P ( X  x)

e
P( X  x)
Outras probabilidades calculam-se como combinações
dessas duas. Assim, no exemplo apresentado:
P ( X  9)  1  P ( X  8)
P (6  X  8)  P ( X  8)  P ( X  6)  P ( X  8)  P ( X  5)
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo
O Espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e
cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é
definida como segue:
Resultado a b
x
c
0 0 1,5
d
e
f
1,5 2
3
Resposta:
f(0) = P(X=0) = 1/6 + 1/6 = 1/3
f(1,5) = P(X=1,5) = 1/6 + 1/6 = 1/3
f(2) = P(X=2) = 1/6
f(3) = P(X=3) = 1/6
Determine a função de
probabilidade de X.
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo
Use a função probabilidade do exemplo anterior para determinar as
seguintes probabilidades:
a) P(X = 1,5);
b) P(0,5<X<2,7);
c) P(X>3);
d) P(0≤X<2);
e) P(X = 0 ou X = 2).
Resposta:
a)
P(X = 1,5) = 1/3
b)
P(0,5<X<2,7) = P(X = 1,5) + P(X = 2) = 1/6 + 1/3 = 1/2
c)
P(X>3) = 0
d)
P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3
e)
P(X = 0 ou X = 2) = 1/3 + 1/6 = 1/2
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Gráficos como o apresentado abaixo são chamados histogramas de
probabilidade
Observe na figura que P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3
Trata-se de uma soma de áreas.
O que isto tem haver com integral? Veremos adiante ...
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Representação gráfica de uma distribuição de probabilidade
0,8
0,7
0,6561
0,6
0,5
Exemplo:
0,4
0,2916
0,3
0,2
0,0486
0,1
P(X = 0) = 0,6561
0,0036
0,0001
3
4
0
0
1
2
1,0
P(X = 1) = 0,2916
0,9
0,8
P(X = 3) = 0,0036
0,7
Probabilidade (%)
P(X = 2) = 0,0486
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
P(X = 4) = 0,0001
0,1
0,0
0
1
2
X
3
4
Aplicações
O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c,
d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável
aleatória é definida como se segue:

resultado
a
b
x
0
1,5
c
d
e
f
1,5
2
2
2
Determine a função de probabilidade de X.
f (0)  P ( X  0)
f (1, 5)  P ( X  1, 5)
 f (1, 5)  1 / 6  1 / 6  1 / 3
 f (0)  1 / 6
f (2)  P ( X  2)
 f (2)  1 / 6  1 / 6  1 / 6  1 / 2
Aplicações
Considerando a função de probabilidade do caso anterior,
determine as seguintes probabilidades:

a) P(X = 0)
b) P(0,7<X<1,7)
resultado
a
b
x
0
1,5
f(0)=1/6
c) P(0≤X<1,9)
c
d
e
f
1,5
2
2
2
f(1,5)=1/3
f(2)=1/2
d) P(X = 0 ou X = 2)
a) P(X = 0) = f(0) = 1/6
e) P(X = 3,5)
b) P(0,7<X<1,7) = P(X=1,5) = 1/3
Único valor no intervalo
Aplicações
Considerando a função de probabilidade do caso anterior,
determine as seguintes probabilidades:

a) P(X = 0)
b) P(0,7<X<1,7)
c) P(0≤X<1,9)
resultado
a
b
x
0
1,5
f(0)=1/6
c
d
e
f
1,5
2
2
2
f(1,5)=1/3
f(2)=1/2
d) P(X = 0 ou X = 2)
e) P(X = 3,5)
c) P(0≤X<1,9) = P(X=0)+ P(X=1,5)
= 1/6 + 1/3 = 1/2
d) P(X = 0 ou X = 2) = P(X=0) + P(X=2)
= 1/6 + 1/2 = 2/3
e) P(X=3,5) = 0
Distribuição Contínua de Probabilidade
Introdução

Até agora, temos lidado com distribuições discretas de
probabilidade

Distribuições discretas → Espaço amostral com número
finito ou infinito contável de pontos

Se o espaço amostral contém um número infinito nãoenumerável de pontos, temos de trabalhar com
distribuições contínuas de probabilidade

Variáveis aleatórias contínuas → Distribuições
contínuas
Distribuição Contínua de Probabilidade
Como calcular
probabilidades com
Distribuições para VA
contínuas
Distribuição Contínua de Probabilidade
Imagine um relógio que somente marque as
horas abaixo:
0
3
9
P (X = 3) = ?
X = “Hora”
6
¼ ou 25%
Distribuição Contínua de Probabilidade
0
10
E agora ?
2
P (X = 3) = ?
3
9
8
4
6
1/8 ou 12,5%
Distribuição Contínua de Probabilidade
0
10
2
Agora imagine
milhões de pontos!
3
9
P (X = 3) = ?
8
4
6
P (X = 3)
0
Distribuição Contínua de Probabilidade
Refazendo a pergunta: Relógio Real
P (0 < X < 3) = ?
¼ ou 25%
P (3 < X < 9) = ?
½ ou 50%
Distribuição Contínua de Probabilidade
FIZEMOS O CÁLCULO
OBSERVANDO A ÁREA!
É ASSIM QUE FUNCIONA COM
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Distribuição Contínua de Probabilidade
Variável aleatória contínua

Se uma variável puder assumir qualquer valor num
intervalo real, é uma variável aleatória contínua

v. a. discretas  atribuímos uma probabilidade a um
determinado valor da variável

v. a. contínuas  podem assumir infinitos valores em um
intervalo  pensamos na probabilidade de ocorrência
associada a um intervalo
Distribuição Contínua de Probabilidade
Variável aleatória contínua
Nomenclatura
Distribuições
de
probabilidades
distribuições discretas  função
de probabilidade f(x)
distribuições contínuas função
densidade probabilidade também f(x)

A função densidade de probabilidade fornece um valor
para cada possível valor (infinito) da variável X

No entanto, os valores de f(x) não representam as
probabilidades associadas a x
Distribuição Contínua de Probabilidade
Função Densidade de Probabilidade
Ao invés disso, a área (isto é, a integral) sob a
função de densidade de probabilidade em um
determinado intervalo fornece a probabilidade de
ocorrência de um valor dentro desse intervalo
Distribuição Contínua de Probabilidade
Função Densidade de Probabilidade
É uma função que satisfaz:


a) 
f ( x )dx  1

b) f ( x )  0
b
c) P ( a  X  b ) 

f ( x ) dx Área sob a curva f(x) de a a b para quaisquer a e b
a
f(x)
P(a < X < b)
a
b
X
Distribuição Contínua de Probabilidade
Variável aleatória contínua
f(x)
P(a < X < b)
a
b
X
Da definição de densidade, segue que, para uma
v.a. contínua, a probabilidade de um único ponto
é zero, isto é: P(X = a) = 0 para qualquer número
a
Distribuição Contínua de Probabilidade
Exemplo
Seja X uma variável aleatória contínua com espaço ℵ = {x: 0 < x < 1}. Seja
f(x) = cx2 para todo x ∈ ℵ, onde c é uma constante a determinar. Qual o valor
de c?
1
 cx
0
2
dx 
cx
3
3
1
0

c
1 c  3
3
Logo c = 3 é a constante necessária para fazer de f(x) uma
densidade em ℵ, isto é, para fazer com que a densidade
integre a um no intervalo (0,1)
Distribuição Contínua de Probabilidade
Exemplo
Faça a variável aleatória contínua X denotar a corrente em um fio delgado de
cobre, medida em miliampéres. Suponha que a faixa de X seja [0, 20] e
considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05
para 0 ≤ x ≤ 20. Qual é a probabilidade de que uma medida de corrente seja
menor que 10 miliampéres? Qual é a probabilidade de uma medida de
corrente ficar entre 5 e 15 {P(5<X<15)}?
10
F(x) = 0,05
P ( X  10 ) 

10
f ( x ). dx   0 , 05 .dx  0 , 05 .(10  0 )  0 ,50
0
f(x)
0
15
P ( 5  X  15 ) 
5
0,05
0

5
10 15 20
x
15
f ( x ). dx   0 , 05 .dx  0 , 05 .(15  5 )  0 , 50
5
Distribuição Contínua de Probabilidade
Exemplo
Faça a variável aleatória contínua X denotar o diâmetro de um orifício
perfurado em uma placa com um componente metálico. O diâmetro que se
quer atingir, o chamado diâmetro alvo, é 12,5 milímetros. A maioria dos
distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetro maiores. Dados
históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma
função densidade de probabilidade f(x) = 20 e-20(x-12,5), x ≥ 12,5. Se uma peça
com diâmetro maior que 12,60 milímetros for descartada, qual será a
proporção de peças descartadas? A função densidade e a probabilidade
requerida são mostradas na figura abaixo. Uma peça é descartada se X >
12,60.
f(x)
12,5
12,6
x
Distribuição Contínua de Probabilidade
Resposta
f(x)
12,5
12,6
P ( X  12 , 60 ) 


x
f ( x ). dx 
12 , 6
P (12 ,5  X  12 , 60 ) 


20 .
 20 ( x  12 , 5 )
dx   
 20 ( x  12 , 5 )
12 , 6

12 , 6
12 , 5
f ( x ). dx 

 0 ,135
12 , 6

12 , 6
12 , 5
20 .
 20 ( x 12 , 5 )
dx   
 20 ( x 12 , 5 )
12 , 6
 0 ,865
12 , 5
P (12 ,5  X  12 , 6 )  1  P ( X  12 , 6 )  1  0 ,135  0 ,865
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