PROBABILIDADE
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em
certas situações, prevermos a possibilidade de
ocorrência de determinados fatos.
Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a
primeira ideia que nos vem à mente é a da sua utilização
em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas.
Um bom exemplo é na área comercial, onde um site de
comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a
possibilidade de fraude por parte de um possível
comprador.
Para iniciarmos o estudo da
probabilidade, vamos a seguir
definir alguns conceitos
importantes sobre a matéria.
Experimento Aleatório
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos
a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível,
pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa.
Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for
um dado, o resultado será mais imprevisível ainda,
pois aumentamos o número de possibilidades de
resultado.
A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas
condições ou em condições semelhantes, que podem
apresentar resultados diferentes a cada ocorrência,
damos o nome de experimentos aleatórios.
Espaço Amostral
Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face
que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com
toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma
moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao
conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço
amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados
possíveis de ocorrer neste experimento.
Representamos um espaço amostral, ou espaço
amostral universal como também é chamado, pela
letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço
amostral por: S = { cara, coroa }
Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser
lançado for um dado, o espaço amostral será:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento
Quando lançamos um dado ou uma moeda,
chamamos a ocorrência deste fato de evento.
Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um
evento.
Em relação ao espaço amostral do lançamento de
um dado, veja o conjunto a seguir:
A = { 2, 3, 5 }
Note que A C S ( A está contido em S, A é um
subconjunto de S ). O conjunto A é a representação
do evento do lançamento de um dado, quando
temos a face para cima igual a um número primo.
Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são formados
por um único elemento do espaço amostral.
A = { 5 } é a representação de um evento
simples do lançamento de um dado cuja face para
cima é divisível por 5. Nenhuma das outras
possibilidades são divisíveis por 5.
Evento Certo
Ao lançarmos um dado é certo que a face que
ficará para cima, terá um número divisor de 720.
Este é um evento certo,
pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente
qualquer um dos números da face de um dado é
um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos
eles.
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um
evento certo pois ele possui todos os elementos
do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Exercício
1. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas
verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola
ser verde?
Solução:
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de
uma bola verde, matematicamente podemos representar a
resolução assim:
n(E)
P(E)=
n(S)
5
P(E)=
12
A probabilidade desta bola ser verde é 5/12
2. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a
probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face
para cima?
n(E)
P(E)=
Solução:
n(S)
Como cada moeda pode produzir dois
resultados distintos, três moedas irão
produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos,
ou seja, poderão produzir 8 resultados
distintos. Este é o nosso espaço
amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço
amostral, o evento que representa
todas as moedas com a mesma face
para cima possui
apenas 2 possibilidades, ou tudo cara
ou tudo coroa, então a probabilidade
será dada por:
2
P(E)=
8
A probabilidade
das três moedas
caírem com a
mesma face para
cima é igual
a 2/8, ou 0,25, ou
ainda 25%
3. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a
probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a
probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês
de tentativas?
Solução:
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em
um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A
probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a
1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.
A probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo
produto de todas as probabilidades individuais. Como a
mulher só deve engravidar no quarto mês, então a
probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à
probabilidade dela não engravidar no mês, logo:
P = 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024 ou seja 10,24%
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no
quarto mês é de 10,24%.
4. Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui
13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe
(ouros, copas, paus e espadas).
Qual é a probabilidade de que a carta sorteada seja um A?
Solução:
Como o baralho tem 13 x 4 = 52 cartas e 4 delas são
ases, a probabilidade de tirar um A é
4
1
=
52
13
4
1
=
52
13
5. Um sistema de segurança tem dois dispositivos que
funcionam de modo independente e que tem probabilidades
iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que
pelo menos um dos dois componentes não falhe?
Solução:
Como os componentes funcionam independentemente,
os eventos A = “o primeiro dispositivo falha” e B = “o
segundo dispositivo falha” são independentes. Logo, o
evento A ∩ B = “ambos falham” tem probabilidade
P (A ∩ B) = P (A) x P (B) = 0,2 x 0,3 = 0,06
e, assim, a probabilidade de que pelo menos um não
falhe é igual a
1 - 0,06 = 0,94.
6. Em um concurso de televisão, apresentam-se ao
participante 3 fichas voltadas para baixo, estando
representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas
encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O
participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo
as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao
desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta
ganhará um prêmio de R$ 200,00.
A probabilidade de o participante não ganhar qualquer
prêmio é igual a:
Solução:
A) 0
B) 1/3 O espaço amostral é composto por:
C) 1/4 E = {TVE, TEV, VET, VTE, ETV, EVT} »»» n(E) = 6.
D) 1/2 Seja A o evento não ganhar qualquer prêmio:
E) 1/6 A = {VET, ETV} »»» n(A) = 2.
n(A)
R(A) =
n(E)
n(E)
=
2
1
=
6
3
7. Em uma certa população, verificou-se que 40% das
pessoas concluíram o ensino fundamental; destas, apenas
20% concluíram o ensino médio. Escolhendo-se ao acaso
uma pessoa dessa população, a probabilidade de que ela
tenha concluído somente o ensino fundamental é:
A) 40%
B) 32%
C) 30%
Solução:
D) 12%
E) 8%
Se, das pessoas que terminaram
o fundamental, 20% concluíram
também o ensino médio, então
80% daquelas não o concluíram.
Para ter concluído somente o
ensino fundamental, a pessoa
deve tê-lo concluído e não ter
concluído o médio. Assim:
concluíram o fundamental e não
concluíram o médio
32
40 x 80
=
= 32%
100 100 100
8. A probabilidade de um nadador A queimar a largada em
uma competição é de 18%; para o nadador B essa
probabilidade é de 12%. Se os dois nadadores estão
disputando uma prova, qual é a probabilidade de que ao
menos um queime a largada?
Solução:
Probabilidade do A não queimar: 100% – 18% = 82%
Probabilidade do B não queimar: 100% – 12% = 88%
Probabilidade de A e B não queimarem:
82% x 88% = 72,16%
Então, a probabilidade de ao menos um queimar é:
1 – 72,16% = 100% – 72,16% = 27,84%
9. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A
probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou
número par é:
a) 60%
b) 70%
c) 80%
d) 90%
e) 50%
Solução:
n(U) = 100
n(U) = 100
A = maior que 40 → n(A) = 60
B = ser par → n(B) = 50
P(A) =
60
3
=
100
5
50
1
=
P(B) =
100
2
n(A ∩ B) = 30 .... existem 60 números maiores que 40
e a metade deles, 30, são pares, então ...
P(A ∩ B) =
30
3
=
100 10
10. Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas
(IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias
federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo
lugar no ranking de mortalidade por acidente.
A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4
mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas,
aproximadamente.
Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009.
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente
para investigação mais detalhada um dos atropelamentos
ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido
um atropelamento sem morte é
Solução:
A) 2/17
No período dado, em 24 de cada 34
B) 5/17
atropelamentos não ocorreram mortes. Assim,
C) 2/5
a probabilidade de o atropelamento escolhido
D) 3/5
para investigação ter sido sem morte é ....
E) 12/17
24 , ou seja, 12
34
17
11. Em uma reserva florestal existem 263 espécies de
peixes, 122 espécies de mamíferos, 93 espécies de répteis,
1 132 espécies de borboletas e 656 espécies de aves.
Disponível em: http:www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a
probabilidade de ser uma borboleta?
A) 63,31%
B) 60,18%
C) 56,52%
D) 49,96%
E) 43,27%
Solução:
263 + 122 + 93 + 1132 + 656 = 2266
1132
= 0,4996 ou 49,96%
2266
12. Uma pesquisa mostrou que 58% dos brasileiros
acreditam que há vida fora da Terra.
Qual é a probabilidade de se sortear uma pessoa que não
tenha essa crença?
P(ÑA) = 1 – P(A) = 1 – 0,58 = 0,42
Solução:
100% – 58% = 42%
13. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas
delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de
ambas terem os olhos azuis?
Solução:
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas
pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de
escolher duas alunas de olhos azuis entre as três.
Logo, a probabilidade procurada será igual a:
C3,2 =
3!
= 3
2!(3 – 2)!
10!
C10,2 =
= 45
2!(10 – 2)!
3
1
=
45
15
14. Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado
pela razão 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer
nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3
funcionários:
Solução:
a) Todos se acidentarem.
b) Probabilidade de nenhum se
b) Nenhum se acidentar.
acidentar.
Para os acidentados temos a
a) Probabilidade de
probabilidade de 1 em 30. Nesse
todos se acidentarem.
caso para os não acidentados
Como o risco é de 1
temos a probabilidade de 29 em
em 30 temos que:
30. Então:
1 x 1 x 1
29 x 29 x 29
P=
P
=
30 30 30
30 30 30
1
P=
24389
27000
P=
27000
P = 0,000037
P = 0,9033
P = 0,0037%
P = 90,33%
15. Uma companhia de seguros analisou a freqüência com
que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram
o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela:
Homens
Mulheres
Usaram o hospital
Não usaram o hospital
100
900
150
850
Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o
hospital?
100 + 150
P=
2000
Solução:
P=
250
2000
P = 0,125
P = 12,5 %
16. Dos funcionários de uma empresa, 60% são do sexo
masculino, 30% tem curso superior completo, e 20% são do
sexo masculino e tem curso superior completo. Se um
funcionário é selecionado aleatoriamente, qual a
probabilidade de que seja do sexo masculino ou tenha curso
superior completo?
Solução:
Considere
M: masculino
S: curso superior
MS: Masculino e Superior
P = P (M) + P (S) – P (M∩S) =
P = 0,60 + 0,30 - 0,20 =
P = 0,90 - 0,20
P = 0,70
P = 70%
17. A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de
prova é de 0,8, enquanto que a do outro B resolvê-la é 0,6.
Qual a probabilidade da questão ser resolvida se ambos
tentam resolvê-la independentemente?
Solução:
Note que não é pedido a probabilidade de ambos os
alunos resolverem a questão e sim da questão ser
respondida ou seja se um ou outro aluno responder a
questão será resolvida logo, como os eventos são
independentes.
P(A ∩ B) = 0,8 . 0,6 = 0,48 e como queremos P (A U B) , temos:
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P (A U B) = 0,8 + 0,6 - 0,48 = 0,92 ou 92%
18. Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotose
25 vão de ônibus para o trabalho.
Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a
probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o
trabalho?
Solução:
Questões
exploradas