Experimento Aleatório
• Experimento aleatório é um procedimento
cujo resultado é incerto
– Exemplos:
• Jogar uma moeda
• Sortear um número inteiro de um a cem
• Lançar um dado
Espaço amostral
(ou de probabilidades)
• O conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório é o espaço
amostral (S)
– Jogar uma moeda
• S = {cara, coroa}
– Sortear um número inteiro de um a cem
• S = {1,2,...,100}
– Lançar um dado
• S = {1,2,3,4,5,6}
Evento
• Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral
– E = {cara}
– E = {25, 27, 26}
– E = {3, 5, 1}
(sortear cara)
(sortear no. entre 24 e 28)
(lançar no. impar no dado)
União de eventos
• Ocorre quando pelo menos um dos eventos
A e B ocorre
AB
Interseção de Eventos
• Ocorre quando os dois eventos A e B
ocorrem simultaneamente
AB
Complemento do evento
• Ocorre quando não ocorre o evento a
A’
Eventos mutuamente excludentes
A e B são eventos mutuamente excludentes se a
ocorrência de um deles ocorre, implica
necessariamente na não-ocorrência do outro
(i.e., não há elementos comuns entre eles)
•Exemplo: os resultados cara e coroa ao
jogar uma moeda.
Probabilidade (objetiva)
• Proporção de ocorrência de um evento
• Freqüência relativa:
(resultados favoráveis) / (resultados possíveis)
• Assume valores entre 0 e 1
Probabilidade (subjetiva)
• Interpretação subjetiva: é uma estimativa do
que o indivíduo pensa que seja a viabilidade
de ocorrência de um evento.
– Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas
próximas 24 horas
Probabilidade da União
• Eventos mutuamente excludentes,i.e., P(A  B) =0
P(A  B) = P(A) + P(B)
• Eventos não excludentes
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
Probabilidade do complemento
• Complemento de A: qualquer evento que
não seja A
P(não A) = 1 – P(A), ou
P(A’) = 1 – P(A)
Probabilidade Condicionada
• Probabilidade de um evento A, dado que
aconteceu um outro evento B
P(A | B) = P(A  B) / P(B)
Probabilidade da Interseção
• Ocorrência simultânea de A e B
P(A  B) = P(A | B) * P(B)
Eventos independentes
• A e B são independentes se a ocorrência de um
deles não altera a probabilidade de ocorrência do
outro. Formalmente:
P(A | B) = P(A)
• Pela expressão anterior, se A e B são
independentes:
P(A  B) = P(A).P(B)
– Note que neste caso A  B denota a
possibilidade de ocorrência simultânea dos dois
eventos
Exercício:
Cálculos com probabilidade
União e interseção de eventos;
probabilidade condicional
Exercício em planilha de cálculo
Variável aleatória
• O resultado de um experimento aleatório é
designado variável aleatória (X)
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade associa
cada possível valor da variável aleatória (X)
à sua probabilidade de ocorrência P(X)
Tipos de Variável Aleatória
• Variável aleatória discreta
– Os resultados possíveis são finitos e podem ser
enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.)
• Variável aleatória contínua
– Os resultados possíveis são infinitos e não
podem ser enumerados (ex.: peso, altura,
rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)
Cálculos com distribuições de
probabilidade
•Distribuição binomial
•Distribuição normal
Distribuição Binomial (discreta)
• De cada 5 clientes que entram numa certa
loja, 2 realizam uma compra.
P(compra) = P(C) = 0,40
• Qual a probabilidade dos dois primeiros
clientes realizarem compras?
S = {(CC), (CC’), (C’C), (C’C’)}
Binomial: forma geral
• E se quisermos saber as probabilidades de X
compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos
100 primeiros?
P(x) = Cn, x px q(n-x)
Onde Cn,x = n! / (x!(n-x)!)
p = probabilidade de sucesso
q = (1 –p) = probabilidade de insucesso
Binomial: parâmetros
• Para uma variável com probabilidade de
sucesso p, em n tentativas:
• Média
 = np
• Desvio-padrão  = (npq)1/2
Exercício:
distribuição binomial
Funções de planilha:
Função DISTRBINOM
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Probabilidade
Distribuição Normal
média=moda=mediana
Distribuição Normal
• Expressão formal
1 x 
p ( x) 
exp 

2
2  
2
1
2
Distribição Normal: propriedades
• Área total sob a curva é 1
• Cálculos de probabilidades dentro de
intervalos (distr. Contínua)
• P(a  X  b) é a área sob a curva entre a e b
• Distribuição simétrica:
– P(X  a) = P(X  -a)
– P(X<μ) = 0,50 = 50%
Distribição Normal: mais propriedades
• P(a  X  b) = P(X  b) - P(X  a)
– Figura
• Maior concentração de freqüências no
centro da distribuição
• Cálculo das probabilidades notáveis sob a
curva normal: função DIST.NORM
– (11dist.prob)
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
95%
+3dp
+2dp
+1dp
média
-1dp
-2dp
68%
-3dp
Probabilidade
Distribuição Normal
Normal Reduzida
• Antes dos aplicativos de estatística, cálculos
da distribuição normal eram feitos com uma
tabela
• Essa tabela dava os valores da normal
reduzida ou padronizada
– Média zero
– Variância e desvio-padrão 1
• Hoje a normal reduzida não é mais tão
necessária, mas ajuda a perceber os valores
notáveis
Normal Reduzida
Distribuição Normal Padronizada
0,45
0,40
Probabilidade
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Exercício
• Braule: 11exercícios Braule
• Cálculo das probabilidades notáveis sob a
curva normal: função DIST.NORM